4.1比例线段（3）.docx

1、4.1 比例线段（3）黄金比为0.618，黄金分割是分一条线段，黄金比是一个比值，注意它们的区别和联系1.已知线段a=4，b=16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于(B).A.10B.8C.-8D.82.已知C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BCAB，则下列式子成立的是(B).3.美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值接近0.618时会给人一种美感.已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为(D).A.6cmB.10cmC.4cmD.8cm4.已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10cm，则PQ长为(C).A.

2、5（-1）B.5（+1）C.10（-2）D.5（3-）5.如图所示，P是线段AB的黄金分割点，且PAPB，如果S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1与S2之间的大小关系是(A).A.S1=S2B.S1S2C.S1S2D.不能确定（第5题）（第7题）6.已知线段a=9，c=4，如果线段b是a，c的比例中项，那么b= 6 .7.为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案.方小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图所示为小琦同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕

3、像下部的高度应设计为 1.24 m（精确到0.01m，参考数据1.414，1.732，2.236）.8.已知C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，BC=3-，则AB的长为 2 9.已知C，D是线段AB的黄金分割点，AB=10，求线段AC与CD的长.（第9题）【答案】C，D是线段AB的黄金分割点，AC=AB=5-5，BD=AB=5-5.AD=AB-BD=15-5.CD=AC-AD=5-5-（15-5）=105-20.（第10题）10.如图1所示为一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形.按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么矩

4、形EFDC还是黄金矩形吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由【答案】矩形EFDC是黄金矩形.理由如下：四边形ABEF是正方形，AB=DC=AF.=，=,即F是线段AD的黄金分割点.=.=.矩形EFDC是黄金矩形.11.乐器上的一根琴弦AB=60cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是AB的黄金分割点（ACBC），则AC的长为(C).A.（90-30）cmB.（30+30）cm C.（30-30）cmD.（30-60）cm12.如图所示，P为线段AB的黄金分割点（PBPA），四边形AMNB、四边形PBFE都为正方形，且面积分别为S1，S2.四边形APHM、四边形APEQ都为矩形，且

5、面积分别为S3，S4.下列说法中，正确的是(B).A.S2=S1B.S2=S3C.S3=S4D.S4=S1（第12题）（第14题）13.已知线段AB及AB上一点P，P为AB的黄金分割点.给出下列结论：AP2=ABPB；AP=AB；PB=AB；=；=.其中正确的是(A).A.B.C.D.14.顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形.如图所示，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角相等，则图中的黄金三角形有 20 个15.（1）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP，PB，使APPB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且=，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为 .（2）如图所示，在R

6、tABC中，B=90，AB=2BC，现以点C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于点D，再以点A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于点E.求证：E是线段AB的黄金分割点. （第15题）【答案】(1) (2)设BC=a，则AB=2a，AC=a.由题意得CD=BC=a，AE=AD=a-a，BE=AB-AE=3a-a.=，=.=，即E是线段AB的黄金分割点.（第16题）16.如图所示，AB是O的直径，点C在O上，BOC=108，过点C作直线CD分别交直线AB和O于点D，E，连结OE，DE=12AB，OD=2（1）求CDB的度数（2）我们把有一个内角等于36的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（

7、或者底边长与腰长的比）等于黄金比写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由.求弦CE的长.在直线AB或CD上是否存在点P（点C，D除外），使POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由【答案】(1)AB是O的直径，DE=AB，OA=OC=OE=DE.则EOD=CDB，OCE=OEC.设CDB=x，则EOD=x，OCE=OEC=2x.BOC=108，CDB+OCD=108.x+2x=108，x=36.CDB=36.(2)有三个：DOE，COE，COD.OE=DE，CDB=36，DOE是黄金三角形.COD是黄金三角形，OCOD=.OD=2，OC=-1

8、.CD=OD=2，DE=OC=-1.CE=CD-DE=2-（-1）=3-.（第16题答图）存在，有三个符合条件的点P1，P2，P3，如答图所示，以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB，CD得到点P1，P2;以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合.17.【山西】宽与长之比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连结EF；以点F为圆心、FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GHAD，交AD的延长线于点H，则下列矩形中，属于黄金矩形的是(D)

9、.（第17题）A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGHD.矩形DCGH18.【辽阳】勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美.如图所示，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3P2P3）依此类推，则APn的长度是 （）n （第18题）19.如图1所示，点C将线段AB分成两部分，若=，点C为线段AB的黄金分割点某研究小组由黄金分割点联想到黄金分割线，给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S

10、1，S2，如果=，那么称直线l为该图形的黄金分割线如图2所示，在ABC中，D是AB的黄金分割点（1）研究小组猜想：直线CD是ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E，过点D作DFCE，交AC于点F，连结EF（如图3所示），则直线EF也是ABC的黄金分割线.请你说明理由（第19题）【答案】(1)直线CD是ABC的黄金分割线.理由如下：D是AB的黄金分割点，=.，.直线CD是ABC的黄金分割线.(2)三角形AB边的中点D把AB分成相等的两条线段，即AD=BD，.三角形的中线不是该三角形的黄金分割线.(3)DFCE，SFDE=SFDC，SDEC=SFEC.SAEF=SADC，S四边形BEFC=SBDC.直线EF是ABC的黄金分割线.