4.3.2.1等比数列的前n项和公式教案——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

1、第四章 数列4.3 等比数列4.3.2.1 等比数列的前n项和公式一、教学目标1、理解并掌握等比数列的前项和公式及其推到过程；2、会用等比数列的前项和公式解决有关等比数列的简单问题；3、培养学生进一步解方程的能力，以及整体代换思想的应用能力，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题.二、教学重点、难点重点：探索并掌握等比数列的前项和公式难点：等比数列前项和公式推导思路的获得，灵活应用等比数列前项公式.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，

2、揭示课题【古代情景】国际象棋起源于古印度，相传国王要重赏国际象棋发明者-他的宰相，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第1格内赏他1粒麦子，第2格内赏他2粒麦子，第3格内赏他4粒麦子依此类推，每一格上的麦子数都是前一格的2倍，直到第64个格子，国王一听，觉得没有多少，就答应了.【问题一】实际上国王能满足宰相的要求吗？【现代情景】四海商贸公司的叶总找到光华银行的罗总商谈贷款事宜，期限一个月.罗总：在一个月中，我第一天给你一万，以后每天比前一天多给你一万，共三十天.叶总：如何还款？罗总：有一种还款方案，你可以试一试.叶总：请讲.罗总：叶总：我知道了，就是我第一天还你一分钱，以后每天还的钱是前一天的两倍，三十

3、天还完.罗总：你回去考虑一下，没有问题就签订合同.【问题二】叶总能签下这份合同吗？（二）阅读精要，研讨新知【思考】贷款金额与还款方式产生的金额对等吗？贷款金额：（万元）（已经有等差数列的公式）还款金额： （分）（结果未知）【发现】还款方式构成等比数列，求取等比数列的前项和是关键.【求和方法一】设，则 两式相减得， 所以（分）（万元）【求和方法二】因为 所以（分）（万元）【贷款与还款差额】（万元）很明显：叶总还能签合同吗？【问题】能否采用上述方法推导等比数列的前项和公式？【方法一】设等比数列的公比为，则等比数列的前项和满足 （写法：模式） （通过乘以公比产生错位）两式相减得 （错位相减法）当时，

4、当时，【方法二】设等比数列的公比为，则等比数列的前项和满足所以 （结论同上）【方法三】（视学生情况介绍，需要利用等比定理）由等比数列的定义，根据等比的性质，有，即 （结论同上）等比数列的前项和当时，当时，【国王的赏赐笑话】64个棋盘格子的麦粒总数为，如果1000颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7 000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言，赏赐就是一个笑话.【例题研讨】阅读领悟课本例7、例8、例9（用时约为3-5分钟，教师作出准确的评析.）例7已知数列是等比数列.（1）若，求； （2）若,求；（3）若，求.解：（1）由

5、已知及公式，（2）由已知，因为，所以， 所以 （3）由已知，所以.例8已知等比数列的首项为,前项和为.若.求公比.解：若,则，所以当时，由得，所以 例9已知等比数列的公比,前项和为.证明成等比数列，并求这个数列的公比.证明：当时，所以成等比数列.当时，所以为常数，所以成等比数列，公比为.等比数列的前项和的性质若数列是等比数列，且，则也成等比数列【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1. 等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ）。A.29 B.31 C.33 D.36 解：由已知，又，所以所以，故选B2. 等比数列

6、的前项和为,则_.解：方法一：设等比数列的公比为,因为,所以,解得,所以 方法二：由等比数列前项和性质，又，所以构成首项为2，公比为2等比数列，所以答案:163. 设正项等比数列的前项和为,且,若,则等于()A. 63或120B.256 C.120 D.63解：由已知，又，解得或又，所以数列递减，所以，又，所以，因此，故选C4. 等比数列的公比不为1，若,且对任意的，都有成等差数列，则的前5项和_.解：由已知，,令可得,即解得或 (舍去), 则答案：11（四）归纳小结，回顾重点等比数列的前项和当时，当时，若数列是等比数列，且，则也成等比数列（五）作业布置，精炼双基1.完成课本习题4.3 3、5、6、7、8、92.阅读课本中国古代数学家求数列和的方法3.预习4.4 数学归纳法五、教学反思：（课后补充，教学相长）