4.4 因式分解章末题型过关卷（北师大版）（教师版）.docx

1、第4章 因式分解章末题型过关卷【北师大版】参考答案与试题解析一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1（3分）（2022秋山西大同八年级统考期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解并且正确的是（）Ax2-x+1=x-12Ba+ba-b=a2-b2Cx3-4x=xx+2x-2Dx2+2x-1=xx+2-1【答案】C【分析】根据多项式因式分解的意义，逐个判断得结论【详解】解：A、左右两边不相等，故此选项错误，不符合题意；B、整式的乘法，故此选项错误，不符合题意；C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项正确，符合题意；D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项错误，不符合题意

2、，故选：C【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子2（3分）（2022秋重庆沙坪坝八年级重庆八中校考期末）已知a+b=-3,ab=7，则多项式a2b+ab2-a-b的值为（）A24B18C-24D-18【答案】D【分析】先将a2b+ab2-a-b进行因式分解，然后整体代入求值即可【详解】解：a+b=-3,ab=7，a2b+ab2-a-b=ab(a+b)-(a+b)=(a+b)(ab-1)=(-3)(7-1)=-18故选：D【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解的应用，解决

3、本题关键是正确完成分解因式3（3分）（2022秋陕西渭南八年级统考期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y，a-b，2，x2-y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2ax2-y2-2bx2-y2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A爱我中华B我游中华C中华美D我爱游【答案】A【分析】先对2ax2-y2-2bx2-y2进行因式分解，再根据题意，即可得到答案【详解】2ax2-y2-2bx2-y2=2x2-y2a-b=2x-yx+ya-b，信息中的汉字有：华、我、爱、中结果呈现的密码信息可能为：爱我中华故选：A【点睛】本题主要考查多项式的

4、因式分解，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键4（3分）（2022秋山东滨州八年级统考期末）下列各式：-x2-y2；-14a2b2+1；a2+ab+b2；-x2+2xy-y2；14-mn+m2n2，能用公式法分解因式的有（）A2个B3个C4个D5个【答案】B【分析】利用平方差公式与完全平方公式逐一把各因式分解因式，从而可得答案.【详解】解：-x2-y2不能分解因式，故不符合题意；-14a2b2+1=12-12ab2=1+12ab1-12ab,故符合题意；a2+ab+b2不能分解因式，故不符合题意；-x2+2xy-y2=-x2-2xy+y2=-x-y2,故符合题意；14-mn+m2n2

5、=12-mn2,故符合题意；故选B【点睛】本题考查的是利用公式法分解因式，掌握“平方差公式与完全平方公式分解因式”是解本题的关键.5（3分）（2022春河北唐山七年级统考期末）在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（）嘉琪：添加8x，16x2+18x=4x12陌陌：添加64x4，64x4+16x2+1=8x2+12嘟嘟：添加-1，16x2+1-1=16x2=4x2A嘉琪和陌陌的做法正确B嘉琪和嘟嘟的做法正确C陌陌和嘟嘟的做法正确D三位同学的做法都不正确【答案】A【分析】利用完全平方公式分解即可【详解】解：添加8x，16x2+18x=4x

6、12，故嘉琪的表述是正确的；添加64x4，64x4+16x2+1=8x2+12，故陌陌的表述是正确的；嘟嘟的表述不是完全平方公式，故是错误的，故选：A【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键6（3分）（2022秋湖北十堰八年级统考期末）已知x2+x+1=0，则x2021+x2020+x2019+x+1的值是()A0B1C1D2【答案】A【分析】把x2021+x2020+x2019+x+1分组，每三个数作为一组，再每组提取公因式，再整体代入求值即可【详解】解：x2+x+1=0，而2021+13=674, x2021+x2020+x2019+x+1=(x2021

7、+x2020+x2019)+(x2+x+1) =x2019(x2+x+1)+(x2+x+1) =0. 故选A【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用，因式分解的应用，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“把要求值的代数式进行分组，再提取公因式分解因式”是解本题的关键7（3分）（2022春浙江宁波七年级校联考期末）下列各数中，不能整除803-80的是（）A78B79C80D81【答案】A【分析】直接利用提取公因式以及平方差公式分解因式，进而得出答案【详解】解：8038080（8021）80（80+1）（801）808179，故不能整除80380的是78，故选：A【点睛】本题主要考查了提取公因式以及

8、平方差公式分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键8（3分）（2022春河北唐山七年级统考期末）已知a、b、c为ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，a2+b2c2，是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰或直角三角形D等腰直角三角形【答案】B【分析】先等式右边移项，再将等式左边分解因式可求得a2=b2或a2+b2=c2，由a2+b2c2，可得a=b，进而判定三角形的形状【详解】解：a2c2-b2c2=a4-b4，c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)，c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0，(a2-b2)c2-(a2+b2)=0，a2-b2=0或c2-(

9、a2+b2)=0，a2=b2或a2+b2=c2，a2+b2c2，a2=b2，a=b（舍去负值），ABC是等腰三角形故选：B【点睛】本题主要考查因式分解的应用，等腰三角形的判定，将等式化为a2=b2或a2+b2=c2是解题的关键9（3分）（2022秋河南周口八年级校考期末）设m、n是实数，定义一种新运算：mn=(m-n)2下面四个推断正确的是（）Amn=nmB(mn)2=m2n2C(mn)p=m(np)Dm(n-p)=(mn)-(mp)【答案】A【分析】各式利用题中的新定义判断即可【详解】解：根据题中的新定义得：Amn=m-n2，nm=n-m2，故推断正确；B(mn)2=m-n22=m-n4，m

10、2n2=m2-n22=m+nm-n2=m+n2m-n2，故推断不正确；C(mn)p=m-n2p=m-n2-p2，m(np)=mn-p2=m-n-p22，故推断不正确；Dm(n-p)=m-n-p2=m-n+p2，(mn)-(mp)=m-n2-m-p2=m-n+m-pm-n-m-p=2m-n-pp-n，故推断不正确故选：A【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键10（3分）（2022秋广东广州七年级统考期末）满足(a-b)2+(b-a)a-b=ab(ab0)的有理数a和b，一定不满足的关系是（）Aab0Ca+b0Da+b0【答案】A【分析】分ab与ab两种情况讨论，针

11、对这两种情况运用完全平方式、去绝对值符号，进行因式分解，进一步利用不等式的性质求解即可【详解】解：当ab时，则a-b2+b-aa-b=a-b2+b-aa-b=a-b2-a-b2=0=ab，与ab0矛盾，故排除；当ab时，则a-b2+b-aa-b=a-b2+b-ab-a=2a-b2=ab，2a2-4ab+2b2=ab，2a2-5ab+2b2=0，（2ab）（a2b）0，2ab或a2b，当b2a且ab时，则baa0，ba0，可能满足的是ab0，ab0；当a2b且ab时，则abb0，ab0，可能满足的是：ab0，ab0，故一定不能满足关系的是ab0，故选：A【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，不等

12、式的性质本题的切入点是就a、b的大小讨论，再分解因式利用不等式的性质求解二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11（3分）（2022秋上海徐汇七年级上海市徐汇中学校联考期末）分解因式：(x-5)(3x-2)-3(x-5)=_【答案】(x-5)(3x-5)#3x-5x-5【分析】提取公因式x-5，同类项合并即可解得【详解】(x-5)(3x-2)-3(x-5)=(x-5)(3x-2-3)=(x-5)(3x-5)【点睛】此题考查了分解因式，解题的关键是熟悉提取公因式法12（3分）（2022秋北京大兴八年级统考期末）请你写出一个整式A，使得多项式x2+A能因式分解，这个整式A可以是_【答案】2x

13、+1（答案不唯一）【分析】直接逆用完全平方公式即可求解【详解】解：完全平方公式的一般形式：a+b2=a2+2ab+b2，当A=2x+1时，x2+A=x2+2x+1=x+12，故答案为：2x+1（答案不唯一）【点睛】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解的方法13（3分）（2022秋山东烟台八年级统考期末）若2x+1是多项式2x2+5x+m的一个因式，则m=_【答案】2【分析】设多项式2x2+5x+m的另一个因式是ax+b，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，计算对比得出答案【详解】解：设多项式2x2+5x+m的另一个因式是ax+b，2x+1ax+b=2

14、ax2+2b+ax+b=2x2+5x+m，2a=2，2b+a=5，即a=1，b=2，m=b，m=2，故答案为：2【点睛】本题考查了因式分解的意义，利用整式的系数得出另一个因式是解决问题的关键14（3分）（2022秋湖北荆州八年级统考期末）甲、乙两个同学分解因式x2+mx+n时，甲看错了m，分解结果为(x+9)(x-2)；乙看错了n，分解结果为(x-5)(x+2)，则正确的分解结果为_【答案】(x-6)(x+3)【分析】根据题意分别运算(x+9)(x-2)和(x-5)(x+2)，确定m、n的值，然后进行因式分解即可【详解】解：甲看错了m，分解结果为(x+9)(x-2)，由(x+9)(x-2)=x

15、2+7x-18，可知 n=-18，又乙看错了n，分解结果为(x-5)(x+2)，由(x-5)(x+2)=x2-3x-10，可知m=-3，x2+mx+n=x2-3x-18，x2-3x-18=(x-6)(x+3)，正确的分解结果为(x-6)(x+3)故答案为：(x-6)(x+3)【点睛】本题主要考查了整式乘法运算以及因式分解的知识，解决本题的关键是理解题意，求出m、n的值15（3分）（2022秋湖北孝感八年级统考期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：x+y2+2x+y+1解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=A+12再将“A”还原，得原式=x+y+12上述

16、解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将a2+b2a2+b2-4-5分解因式的结果是_【答案】a2+b2-5a2+b2+1【分析】令A=a2+b2，代入后因式分解后，再将A还原即可得到答案【详解】解：令A=a2+b2，则原式=AA-4-5=A2-4A-5=A-5A+1，再将A还原，原式=a2+b2-5a2+b2+1，故答案为：a2+b2-5a2+b2+1【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法16（3分）（2022秋山东济宁八年级校考期末）若a、b是ABC的两条边的长度，且满足a2+b2-6a-8

17、b=-25，则ABC面积的最大值是_【答案】6【分析】利用因式分解得到a-32+b-42=0，利用非负性，求出a,b的值，再根据两条边互相垂直时，三角形的面积最大，进行求解即可【详解】解：a2+b2-6a-8b=-25，a2+b2-6a-8b+25=0a-32+b-42=0，a-320,b-420，a-3=0,b-4=0，a=3,b=4，设：AC=b,BC=a，直角三角形的斜边大于直角边，BC边上高AC，当ACBC时，ABC的面积最大，最大值为12ab=1234=6；故答案为：6【点睛】本题考查因式分解的应用，以及非负性熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关

18、键三解答题（共7小题，满分52分）17（6分）（2022秋山东八年级统考期末）因式分解：（1）12xyz-6x2y2（2）-a4+25（3）2a-b2+8ab（4）a2+2ab+2ac+b+c2【答案】（1）6xy(2z-xy);（2）(5+a2)(5+a)(5-a);（3）(2a+b)2;(4)(a+b+c)2.【分析】（1）原式提取公因式即可得到结果； （2）原式变形后，连续用平方差公式分解即可得到结果；（3）原式变形后，用完全平方公式分解因式即可；（4）原式使用分组分解，二三项分为一组提取公因式后即可用完全平方公式得到结果；【详解】解：（1）12xyz-6x2y2，=6xy(2z-xy)

19、.（2）-a4+25，=25-a4，=(5+a2)(5-a2)，=(5+a2)(5+a)(5-a)（3）2a-b2+8ab，=4a2-4ab+b2+8ab，=4a2+4ab+b2，=(2a+b)2.（4）a2+2ab+2ac+b+c2=a2+2a(b+c)+b+c2，=a+b+c2.【点睛】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键18（6分）（2022秋河南鹤壁八年级校考期中）下面是某同学对多项式x2-3x+4x2-3x+6+1进行因式分解的过程解：设x2-3x=m原式=m+4m+6+1（第一步）=m2+10m+25（第二步）=m+52（第三步）=x2-3x+

20、52（第四步）回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_A提取公因式B平方差公式C完全平方公式(2)请你模仿以上方法尝试对多项式x2+2xx2+2x+6+9进行因式分解【答案】(1)C(2)x2+2x+32【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；（2）设x2+2x=m，则原式转化为mm+6+9，分解因式得m+32，最后回代即可求解【详解】（1）解：m2+10m+25=m+52，该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式故选：C（2）解：设x2+2x=m，原式=mm+6+9=m2+6m+9=m+32=x2+2x+32【点睛】本题考查了利用完全平方公式因式分解，换元法等知识，

21、熟知完全平方公式，理解题目中示例是解题关键19（8分）（2022秋贵州遵义八年级统考期末）分解因式x2-4y2-2x+4y，观察发现，前两项符合平方差公式，后两项可以提公因式，变可以将式子因式分解，过程如下：x2-4y2-2x+4y=x+2yx-2y-2x-2y=x-2y+x+2y-2，这样的因式分解方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：(1)因式分解：a2+5a-b2-5b；(2)已知ABC的三边a，b，c满足a2-ab-ac+bc=0，判断ABC的形状【答案】(1)a+b+5a-b(2)ABC是等腰三角形或等边三角形，理由见解析【分析】（1）第一项和第三项可以用平方差公式分解因式，

22、第四项和第二项可以提公因数分解因式，据此求解即可；（2）先把所给条件式分解因式得到a-ca-b=0，即可得到a=b或a=c，由此即可得到答案【详解】（1）解：a2+5a-b2-5b=a2-b2+5a-b=a+ba-b+5a-b=a+b+5a-b；（2）解：ABC是等腰三角形或等边三角形，理由如下：a2-ab-ac+bc=0，a2-ab-ac-bc=0，aa-b-ca-b=0，a-ca-b=0，a-c=0或a-b=0，a=b或a=c，当a=b，ac时，ABC是等腰三角形；当a=c，ab时，ABC是等腰三角形；当a=b，a=c时，ABC是等边三角形【点睛】本题主要考查了分解因式，因式分解的应用，等

23、腰三角形的判定，等边三角形的判定，熟知分解因式的方法是解题的关键20（8分）（2022秋江西赣州八年级统考期末）仔细阅读下面的例题：例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式及m的值解：设另一个因式为x+n，得x2+5x+m=(x+2)(x+n)，则x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n，n+2=5，m=2n，解得n=3，m=6，另一个因式为x+3，m的值为6依照以上方法解答下列问题：（1）若二次三项式x2-5x+4可分解为(x-1)(x+a)，则a=_；（2）若二次三项式2x2+bx-6可分解为(2x+3)(x-2)，则b=_；（3）已知二次三项式2x2+9x-k有

24、一个因式是2x-1，求另一个因式以及k的值【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为x+5，k的值为5【分析】（1）将(x-1)(x+a)展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；（2）（2x+3）（x2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9xk（2x1）（x+n），可知2n19，kn，继而求出n和k的值及另一个因式【详解】解：（1）(x-1)(x+a)x2+（a1）xax2-5x+4，a15，解得：a4；故答案是：4（2）（2x+3）（x2）2x2x62x2+bx6，b1故答案是：1（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x

25、k（2x1）（x+n），则2x2+9xk2x2+（2n1）xn，2n19，kn，解得n5，k5，另一个因式为x+5，k的值为5【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式21（8分）（2022秋河南周口八年级校考期末）如图，用一张如图A的正方形硬纸板、三张如图B的长方形硬纸板、两张如图C的正方形硬纸板拼成一个长方形（如图D）(1)请用不同的式子表示图D的面积（写出两种即可）；(2)根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式【答案】(1)a+ba+2b，a2+3ab+b2(2)a2+

26、3ab+b2=a+ba+2b【分析】（1）图D的面积可以看做一个大长方形面积；也可以看做一个边长为a的正方形，三个长为a宽为b的小长方形，两个边长为b的正方形面积之和；（2）根据图D的面积不同求法结合因式分解的定义即可求解【详解】（1）解：图D的面积可以看做一个长为a+2b，宽为a+b的长方形的面积：a+ba+2b，也可以看做一个边长为a的正方形，三个长为a宽为b的小长方形，两个边长为b的正方形面积之和：a2+3ab+b2；（2）解：由（1）得a2+3ab+b2=a+ba+2b【点睛】本题考查了因式分解的几何背景，用不同式子表示出图D的面积是解题关键，注意因式分解是“将一个多项式化为几个整式的

27、积的形式”，不要写反了22（8分）（2022秋安徽芜湖七年级统考期末）在小学我们学习过：对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除(1)请你判断112233_（填能或不能）被3整除；(2)为什么可以用各数位上的数字之和判断一个数能不能被3整除呢？小明先选了一个能被3整除的四位数“1326”试着进行推理：1326=10001+1003+102+16=999+11+99+13+9+12+6=9991+993+92+1+3+2+6“33331+333+32”能被3整除，当“1+3+2+6”能被3整除，原数就能被3整除现在，设abcd是四位数，其个位、十位、百位

28、、千位上的数字分别是d，c，b，a，请你借鉴小明的思路，证明：若“a+b+c+d”能被3整除，则abcd能被3整除；(3)定义：一个自然数按从右往左的第1、3、5、7、数位，我们称为奇位，按从右往左的第2、4、6、8、数位，我们称为偶位，例如：一个四位数，其个位与百位即奇位，十位与千位为偶位奇位和就是把所有位于奇位上的数字相加，偶位和就是把所有位于偶位上的数字相加请证明，若abcd的奇位和与偶位和的差能被11整除，则abcd能被11整除【答案】(1)能(2)见解析(3)见解析【分析】（1）将原数分解后判断即可；（2）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论；（3）仿照（2）将原数分解因式

29、，得到11与某数相乘即可得到结论【详解】（1）解：(1+1+2+2+3+3)3=4各个数位上的数字和可以被3整除，即112233能被3整除；故答案为：能（2）证明：abcd=1000a+100b+10c+d=999+1a+99+1b+9+1c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3333a+33b+3c+a+b+c+d，3333a+33b+3c能被3整除，若“a+b+c+d”能被3整除，则abcd能被3整除；（3）证明：abcd=1000a+100b+10c+d=1001-1a+99+1b+11-1c+d=1001a+99b+11c+-a+b-c+d=1191a+9b+c+d+b-c+

30、a，1191a+9b+c能被11整除，若“d+b-c+a”能被11整除，即若abcd的奇位和与偶位和的差能被11整除，则abcd能被11整除【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键23（8分）（2022秋河北邯郸八年级校考期末）阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的

31、问题或求代数式的最大值， 最小值等例分解因式：x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；又例如：求代数式2x2+4x-6的最小值：2x2+4x-6=2x2+2x-3=2(x+1)2-8；又(x+1)20；当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：a2-4a-5=_；(2)已知ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2-4a+b2-12b+40=0求边长c的最小值；(3)当x、y为何值时，多项式-x2+2xy-2y2+6y+7有最大值？并求出这个最大值【答案】

32、(1)(a+1)(a-5)(2)5(3)x=y=3时，最大值为16【分析】（1）根据阅读材料，先将a2-4a-5变形为a2-4a+4-9，再根据完全平方公式写成a-22-9，然后利用平方差公式分解即可；（2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值；（3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；【详解】（1）解：原式= a2-4a+4-9= a-22-9= a-2+3a-2-3=(a+1)(a-5)；故答案为：(a+

33、1)(a-5)（2）a2+b2-4a-12b+40=0，a2-4a+4+b2-12b+36=0，(a-2)2+(b-6)2=0，a-2=0b-6=0 解得：a=2b=6，a、b、c是 ABC的三边长，4c8，又c是整数，c=5,6,7；边长c的最小值是5；（3）-x2+2xy-2y2+6y+7=-x2-2xy+y2-y2-6y+9+9+7=-(x-y)2-(y-3)2+16，(x-y)20，(y-3)20；-(x-y)2-(y-3)2+1616，当x-y=0y-3=0 时, 即 x=y=3时，-x2+2xy-2y2+6y+7取得最大值为16【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤注意在变形的过程中不要改变式子的值