4.4 相似三角形的性质【九大题型】（举一反三）（北师大版）（学生版）.docx

1、专题4.4 相似三角形的性质【九大题型】【北师大版】【题型1 利用相似三角形的性质求角度】2【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】2【题型3 利用相似三角形的性质求面积】3【题型4 利用相似三角形的性质求周长】4【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】4【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】6【题型7 尺规作图作相似三角形】7【题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】8【题型9 新定义中的相似三角形】9【知识点1 相似三角形的性质】相似三角形的对应角相等如图，则有相似三角形的对应边成比例如图，则有（为相似比）相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成

2、比例，都等于相似比如图，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有相似三角形周长的比等于相似比如图，则有相似三角形面积的比等于相似比的平方如图，则有【题型1 利用相似三角形的性质求角度】【例1】（2022湖南永州柳子中学九年级期中）已知ABCDEF，若A=50，E=70，则F的度数为（）A30B60C70D80【变式1-1】（2022江苏常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，ABCDAC，B31，D117，则BCD的度数是（）A32B48C64D86【变式1-2】（2022全国九年级专题练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形ABC和EDF，则ABC+A

3、CB的度数为（）A135B90C60D45【变式1-3】（2022云南楚雄九年级期末）如图，点A、B、C、D四点共线，PBC是等边三角形，当PABDPC时，APD的度数为（）A120B100C110D125【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】【例2】（2022全国九年级课时练习）如图，在ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在CD上取一点F，使CBFABE，则DF的长是（）A8.2B6.4C5D1.8【变式2-1】（2022全国九年级专题练习）如图，ABCDEF，相似比为12，若BC1，则EF的长是（）A1B2C3D4【变式2-2】（2022全国九年级专题练习）已知ABCDE

4、F， ABC的三边长分别为2，14，3， DEF的其中的两边长分别为1和7，则第三边长为_【变式2-3】（2022吉林长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中x=_【题型3 利用相似三角形的性质求面积】【例3】（2022陕西渭南九年级阶段练习）若ABCDEF，ABC与DEF的面积比为25:36，则ABC与DEF的对应边的比是（）A5:6B6:5C25:36D36:25【变式3-1】（2022河南新乡九年级期末）ABC与ABC的位似比是1:2，已知ABC的面积是3，则ABC的面积是（）A3B6C9D12【变式3-2】（2022河北石家庄九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩

5、大为原来的_倍【变式3-3】（2022河南鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在RtABC中，BAC90，AB3，BC5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作ADE，使ADEABC，则ADE的最小面积等于_【题型4 利用相似三角形的性质求周长】【例4】（2022湖南株洲九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（）A425B845C21D28【变式4-1】（2022重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为1的正方形组成的网络，ABC与A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且ABCA1B1C1，

6、则ABC与A1B1C1的周长之比是（）A1：2B1：4C2：3D4：9【变式4-2】（2022辽宁阜新市第四中学九年级阶段练习）已知ABCDEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么DEF的周长是_【变式4-3】（2022辽宁鞍山二模）已知ABCABC，且AB=2AB若ABC的周长是18cm，那么ABC的周长是_cm【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】【例5】（2022北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知AE平分BAC，ABAD=AEAC(1)求证：E=C；(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长【变式5-1】（2022上海测试编辑教研五八年级期末）如图

7、，在ABC中，点D、点E分别在AC、AB上，点P是BD上的一点，联结EP并延长交AC于点F，且A=EPB=ECB(1)求证：BEBA=BPBD；(2)若ACB=90，求证：CPBD【变式5-2】（2022山东东平县江河国际实验学校二模）如图，点D，E分别在ABC的边BC，AC上，连接AD，DE（1）若C=BAD，AB=5，求BDBC的值；（2）若点E是AC的中点，AD=2AE， 求证：1=C【变式5-3】（2022湖北恩施二模）如图，在ABC中，D、E、F分别是边AC，AB，BC上的点，DEBC，DFAB(1)求证：B=EDF(2)若CF13BC，求SDFCSAED的值【题型6 利用相似三角形

8、的判定与性质证明对应线段成比例】【例6】（2022全国九年级课时练习）如图，已知ADE的顶点E在ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，FEA=B，DAF=EAC(1)若AF=BF=4，求AE；(2)求证：DFDE=CECB【变式6-1】（2022江苏九年级专题练习）已知矩形ABCD的一条边AD8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA（1）求证：OCPD=OPAP；（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长【变式6-2】（2022全国九年级专题练习）如图，在ABC中，AB=AC，D是边BC的延长线上一点，E是边AC上一点，且E

9、BC=D求证：CEAB=BCBD；【变式6-3】（2022湖南益阳九年级期末）如图，在ABC中，BAC90，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EFAB，EGAC，垂足分别为F，G(1)求证：EGAD=CGCD；(2)FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；【题型7 尺规作图作相似三角形】【例7】（2022山东烟台八年级期末）尺规作图：如图，已知ABC，且ABAC（只保留作图痕迹，不要求写出作法）(1)在AB边上求作点D，使DB=DC；(2)在AC边上求作点E，使ADEACB【变式7-1】（2022山东济宁二模）如图，在ABC中，BAC=90,B

10、D平分ABC(1)求作CDE使点E在BC上，且CDECBD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若BA=3,ABC=60，求CE长【变式7-2】（2022陕西宝鸡一模）如图，在等腰ABC中，ABAC，点D是AC边上一定点请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得ABCPCD（保留作图痕迹，不写作法）【变式7-3】（2022江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，A=B(1)请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： 过点D作AB的平行线交BC于点F； P为AB边上的一点，且DAPPBC，请找出所有满足条件的点；(2)在（1）的条

11、件下，若AD2，BC3，AB6，则AP 【题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】【例8】（2022安徽合肥二模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点O(1)请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“”符号写出这对相似三角形：(2)线段AO的长为_【变式8-1】（2022河南南阳九年级期末）（1）如图，ABC的三个顶点都在方格纸的格点上在方格纸内画ABC，使ABCABC，相似比为2:1，且顶点都在格点上（2）ABC的面积是_【变式8-2】（2022浙江温州九年级专题练习）请在如图所示的网格中，运

12、用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）(1)在图1中画出线段AB的中垂线(2)如图2，在线段AB上找出点C，使AC:CB=1:2【变式8-3】（2022浙江温州九年级期中）如图，在88的方格中，ABC的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上(1)请在图1中画一个三角形，使它与ABC相似，且相似比为2：1(2)请在图2中画一个三角形，使它与ABC相似，且面积比为2：1【题型9 新定义中的相似三角形】【例9】（2022陕西渭南九年级期末）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”(1)如

13、图1，在四边形ABCD中，ABC=70，AB=AD，ADBC，当ADC=145时求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；(2)如图2，四边形ABCD中，CA平分BCD，BC=3，CD=2，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，求AC的长【变式9-1】（2022福建厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”在ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，ABBD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC

14、，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a2b，和a24c24acab1求a，b之间的等量关系；若AE是ABD的中线求证：ACE是“和谐三角形” 【变式9-2】（2022江苏常州九年级期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”(1)在ABC中，A=30如图1，若B=100，请过顶点C画出ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；如图2，若B =90，BC=1，则ABC的“形似线段”的长是 (2) 如图3，在DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长【变式9-3】（2022安徽合肥二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题请通过这种方法解答下列问题：(1)如图1，ABC中，AD是角平分线，且AB2=BDBC，求证：ABC是倍角三角形；(2)如图2，已知ABC是倍角三角形，且A=2C，AB=8，BC=10，求AC的长；(3)如图3，已知ABC中，A=3C，AB=8，BC=10，求AC的长