4.5 增长速度的比较-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版).docx

1、4.5增长速度的比较学 习 目 标核 心 素 养1了解和体会函数模型在实际生活中的广泛应用(一般)2理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较(重点)3会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题(难点)1通过三种不同增长的函数模型差异的学习，培养逻辑推理的核心素养2借助函数模型的应用，提升数学建模的核心素养.杰米是百万富翁，一天，他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中(这个月有31天)，每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍”杰米说：“真的？你说话算数？”合同开始生效了，杰米欣喜若狂第一天杰米

2、支出1分钱，收入10万元第二天杰米支出2分钱，收入10万元，到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出10元2角3分到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得1万多元杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变第22天杰米支出2万多，收入10万，到第28天，杰米支出134万多，收入10万结果，杰米在一个月(31)天内得到310万元的同时，共付给韦伯2千1百多万元！杰米破产了问题1：写出杰米每天收入y(单位：分)与天数x的函数关系式提示y107(xN*)问题2：写出杰米每天支出y(单位：分)与天数x的函数关系式提示y2x1(xN*)1用平均变化率比较函数值变化的快慢(1

3、)定义：函数yf(x)在区间x1，x2(x1x2时)或x2，x1(x2x1时)上的平均变化率为.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比(3)理解：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位(4)应用：比较函数值变化的快慢拓展(1)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若xx2x1，则ff(x2)f(x1)；若xx1x2，则ff(x1)f(x2)(2)平均变化率可正可负，也可为零但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等比如，f(x)x2在区间2,2上的平均变化率为0，但f(x)x2在2,2上的图像先下降后上升，值域是0,42三种函数增长速度的比较

4、(1)在区间(0，)上，函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上(2)随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度越来越慢(3)存在一个x0，当xx0时，有axxnlogax.3增长率问题增长率问题是日常生活中常见的问题，计算公式为yN(1p)x，若某月的产值是b，月增长率为p，则此月开始第n个月后的产值是 b(1p)n.1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若f(x)2x1，自变量每增加1个单位，函数值将增加1个单位()(2)增加速度是不为0

5、的常数的函数模型是线性增长模型()(3)指数函数f(x)ax(a0且a1)的增长速度一定比线性增长速度大()(1)(2)(3)(1)自变量每增加1个单位，函数值将增加2个单位(2)线性增长的增长速度是不变的(3)当a1时，指数增长速度比线性增长速度大2下列函数中，增长速度最快的是()Ay2 020xByx2 020Cylog2 020xDy2 020xA比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.3已知增函数f(x)的图像如图，则它的一个可能的解析式为()Ay2By4Cylog3(x1)Dyx(x0)B由于过(1,2)点，排除C，D；由图像与直线y4无限接近，y4，排除A

6、，所以选B.4函数yf(x)2x25在区间2,2x上的平均变化率为_82xff(2x)f(2)2(2x)25(2225)8x2(x)2，82x，即平均变化率为82x.比较函数值增加的快慢【例1】已知函数y4x，分别计算函数在区间1,2与3,4上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值的变化规律思路探究按照平均变化率的公式进行计算，再说明变化率解因为，所以y4x在区间1,2上的平均变化率为12，在区间3,4上的平均变化率为192，所以当自变量每增加1个单位时，区间的左端点越大，函数值增加越快平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用(1)计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率

7、的大小比较函数值增加的快慢(2)平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响1已知函数yx22x3.(1)分别计算函数在区间1,2与3,4上的平均变化率，分析当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律；(2)记A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)，D(4，f(4)，判定直线AB与直线CD斜率的相对大小解(1)x2x12，所以在区间1,2上的平均变化率为1，在区间3,4上的平均变化率为5，所以自变量每增加1个单位，区间长不变的条件下，端点之和越大，函数值增加越快(2)直线AB的斜率为1，直线CD的斜率为5，直

8、线AB的斜率小于直线CD的斜率比较函数平均变化率的大小【例2】(教材P39例2改编)已知函数f(x)3x，g(x)2x，h(x)log3x，比较这三个函数在区间a，a1(a1)上的平均变化率的大小思路探究计算出平均变化率，再利用指数函数、对数函数的性质比较大小解因为23a，2，log3，又因为a1，所以23a2316，log3log3log32log331，因此在区间a，a1上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小不同函数平均变化率大小的比较计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率，利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小2已知函数f(

9、x)4x，g(x)5x，分别计算这两个函数在区间2,3上的平均变化率，并比较它们的大小解48，100，所以在区间2,3上，f(x)的平均变化率比g(x)的小函数增长速度的应用角度一增长曲线的选择【例3】高为H，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数Vf(h)的大致图像是() AB CD思路探究根据鱼缸的形状，判断h变化时水的体积V变化的快慢，选择曲线类型B当hH时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图像，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图像，综合分析

10、可知选B.角度二函数变化率大小的应用【例4】函数f(x)2x和g(x)x3的图像如图所示设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小思路探究首先判断x1，x2的范围，再判断6和2 020在哪个区间内，从而得到f(6)与g(6)，f(2 020)与g(2 020)的大小最后四个值进行排序解(1)C1对应的函数为g(x)x3，C2对应的函数为f(x)2x.(2)f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，1x12,

11、9x210，x16x2,2 020x2.从图像上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，f(6)g(6)当xx2时，f(x)g(x)，f(2 020)g(2 020)又g(2 020)g(6)，f(2 020)g(2 020)g(6)f(6)由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图像上升的快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数函数3(1)若1x0，则不等式中成立的是()A5x5x0.5xB5x0.5x5xC5x5x0.5xD0.5x5x5x(2)函数f(x)lg x，g(x)0.3

12、x1的图像如图所示试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)(1)B画出y15x，y25x，y30.5x的图像如图，所以1x0时，5x0.5x5x.(2)解C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.当xx1时，g(x)f(x)；当x1xx2时，f(x)g(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，f(x)g(x).一、知识总结1平均变化率的求法：根据定义，求出xx2x1，ff(x2)f(x1)，进而求出.2平均变化率大小比较常用方法(1)作商；(2)作差；(3)

13、用临界值3几种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型(3)当要求增长速度比较均匀时，常常选用一次函数模型(4)幂函数模型yxn(n0)，可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快二、方法归纳数学建模三、常见误区实际问题应有定义域并作答1yx21在1,1x上的平均变化率是()A2B2x C2xD2(x)2C依题意，所求平均变化率为2x.故选C.2如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率等于()A1B1C2D2A由图易知f(1)3，f(3)1，因

14、此1.故选A.3函数f(x)x2在x0到x0x之间的平均变化率为k1，在x0x到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系为()Ak1k2Bk1k2Ck1k2D无法确定Dk12x0x，k22x0x.因为x可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定故选D.4已知函数f(x)x2x，则f(x)从1到0.9的平均变化率为_29因为f(1)(1)2(1)2，f(0.9)(0.9)2(0.9)1.71，所以平均变化率为2.9.5已知函数f(x)x2x在2,2x(x0)上的平均变化率不大于1，求x的范围解f(x)在2,2x上的平均变化率为3x.所以由3x1可得x2.又因为x0，所以x(0，)