4.5 导数的综合运用（精练）（教师版）.docx

1、4.5 导数的综合运用（精练）1（2023四川成都石室中学校考模拟预测）已知函数.(1)若，求实数a的值；(2)已知且，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）因为，所以函数定义域为，.因为，且，所以是函数的极小值点，则，所以，得.当时，当时，当时，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，满足条件，故.（2）由（1）可得，.令，则，所以，即，所以.证毕.2（2023安徽校联考模拟预测）已知函数，(1)当时，恒成立，求的取值范围；(2)求证：对一切的，【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由知，记，则，在上单调递增当时，对恒成立，在上单调递增，符合题意；当时，且在上单调递增，所

2、以x趋向正无穷趋向正无穷，故存在，使得，从而，单调递减，不合题意综上，的取值范围为（2）当时，由（1）知，对一切恒成立，即对一切恒成立，令，则，即，3（2023四川凉山三模）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)当，若两个不相等的正数m，n，满足，证明：【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】（1）函数的定义域为，当时，函数在上为增函数；当时，令，得（舍去）或，当时，；当时，；函数在上为减函数，在上为增函数（2）当时，且，函数在上为增函数，有两个不相等的整数m，n满足，不妨设，要证明，即证，即证，又即证，即证，即证，令，则，即证，令，则， 函数在上为增函数，得证4（2023四川绵阳四川

3、省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数(1)求在处的切线方程；(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【解析】（1）时，；又，则，切线方程为：，即（2），则，又令，当，即时，恒成立，在区间上单调递增，在区间上单调递增，（不合题意）；当即时，在区间上单调递减，在区间上单调递减，（符合题意）；当，即时，由，使，且时，在上单调递增，（不符合题意）；综上，的取值范围是；5（2023河北模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析.(2)【解析】（1）函数，则，当，即时，恒成立，即在上单调递增；当，即

4、时，令，解得，+0极大值综上所述，当是，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）等价于，令，当时，所以不恒成立，不合题意.当时，等价于，由（1）可知，所以，对有解，所以对有解，因此原命题转化为存在，使得.令，则，令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，故在上单调递减，当时，故在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围是.6（2023山东青岛统考模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若存在，使成立，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，所以曲线在处的切线的斜率，又，切线方程为.与轴的交点分别是，切线与坐标轴围成的三角形的

5、面积（2）存在，使即，即.即存在，使成立.令，因此，只要函数在区间的最小值小于即可下面求函数在区间的最小值.，令，因为，所以为上的增函数，且.在恒成立在递调递增，函数在区间的最小值为，得.7（2023云南校联考三模）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)若有2个不同的零点，求证：.【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明见解析【解析】（1）当时，则，定义域为，又，所以当时，即单调递减，当时，即单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明：因为定义域为，则有2个不同的零点等价于有个不同的实数根，令，则，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以在处取得极大值即最大

6、值，即，又，当时，当时，且时，所以，且，因为，是方程有个不同的实数根，即，两式相除得，令，则，所以，又，因此要证，只需证明，又，所以只需证明，即证，因为，所以即证，令，则，所以在上单调递增，则，即当时成立，命题得证.8（2023四川成都四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若函数有两个零点，且(1)求a的取值范围；(2)若在和处的切线交于点，求证：【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）当，在上单调递减，不可能两个零点；当时，令得，单调递增，单调递减，时，单调递减，单调递增，所以，即时，恒成立，当且仅当时取等号，所以，而，所以；有唯一零点且有唯一零点，满足题意，综上：；（2）曲线在和处的切线分

7、别是，联立两条切线得，由题意得， 要证，即证，即证，即证，令，即证，令，在单调递减，得证综上：9（2023海南海南华侨中学校考模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若存在，且，使得，求证：.【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.(2)证明见解析【解析】（1）函数的定义域为，令，得或，在上，在上，在上，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知，设，则，因为，所以，在上单调递增.又，所以当时，即.因为，所以，所以，因为在上单调递增，且，所以，即.设，则.因为，所以，在上单调递增，又，所以当时，即，因为，所以，所以.因为在上单调递增，且，所以，即.由

8、得，由得，所以.10（2023内蒙古赤峰校考模拟预测）已知函数.(1)若有两个零点，的取值范围；(2)若方程有两个实根、，且，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）解：函数的定义域为.当时，函数无零点，不合乎题意，所以，由可得，构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，由可得，列表如下：增极大值减所以，函数的极大值为，如下图所示：且当时，由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，故实数的取值范围是.（2）证明：因为，则，令，其中，则有，所以，函数在上单调递增，因为方程有两个实根、，令，则关于的方程也有两个实根、，且，要证，即证，即证，即证，由已知，所以，整理可得

9、，不妨设，即证，即证，令，即证，其中，构造函数，其中，所以，函数在上单调递增，当时，故原不等式成立.11（2023河南校联考模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数有两个零点，证明：.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)证明见解析【解析】（1）当时，的定义域为，则，因为，则，所以，当时，则单调递增；当时，则单调递减；所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）若函数有两个零点，则，即，两式相减，可得，两式相加得，要证，只要证，即证，即证，只须证，即证，即证，令，则由得，故须证，令，则，当时，所以在上单调递增，所以当时，即成立，故原不等式成立

10、.12（2023陕西统考二模）已知函数(1)若，证明：；(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解【解析】（1）当时，定义域为令，则当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，所以，得；（2）因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；由当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；当时，在上有，在上有，所以在上单调递增，在上单调递减不妨设令则当时，则在上单调递增所以故，因为所以，又，则，又在上单调递减，所以，则1（2023四川成都石室中学校考模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】由有意义可知

11、，.由，得.令，即有.因为，所以，令，问题转化为存在，使得.因为，令，即，解得；令，即，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.又，所以当时，.因为存在，使得成立，所以只需且，解得.故选：.2（2023重庆沙坪坝高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】D【解析】由题意可知，的定义域为，因为对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得，所以函数在上没有最小值，当时，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减.当时，取得最大值为，值域为，在内无最小值，因此.当时，令，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减.当时，取得

12、最大值为，显然，即，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图所示当时，有两个根，不妨设，当或时，；当或时，；所以在和上单调递减，在和上单调递增.所以在与处都取得极小值，所以，不符合题意，当时，当且仅当，时取到等号，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增.当时，取得最小值为，不符合题意，综上所述，实数a的取值范围为故选：D.3（2023吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数有两个大于1的零点，则的取值范围可以是（）ABCD【答案】D【解析】因为函数有两个大于1的零点，所以在不单调.由得，当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合题意；当时，显然在上单调递增，而，当时，当时，所以在上单

13、调递增，不符合题意，此时可排除ABC；当时，因为，所以存在，使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值.而，当趋向正无穷时，趋向正无穷，所以当函数有两个大于1的零点时，只要即可，设，则，所以单调递增；设，则，当时，单调递减；对于D，当时，由知，当时，所以，满足题意；故选：D.4（2023重庆统考模拟预测）（多选）已知，当时，存在b，使得成立，则下列选项正确的是（）ABCD【答案】ABC【解析】对A，由,令,所以,令,其对称轴为,故函数在上单调递增,所以,当时,即时,则函数单调递增,所以.当时,即时,存在,使得,即,当时,则函数单调递减,所以0,与矛盾,综上,，A正

14、确;对B，由可得与在上存在分隔直线,，则在处的切线方程分别为:,所以,可得,故B正确;对C，取得,所以,得,故C正确,对D，由C知，故D错误.故选：ABC.5（2023河北邯郸统考三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是_【答案】【解析】曲线在点处的切线方程为，由于直线与圆相切，得（*）因为曲线与圆有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根，即方程有三个不相等的实数根.令，则曲线与直线有三个不同的交点.显然，.当时，当时，当时，所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；且当时，当时，因此，只需，即，解得.故答案为：6（2023四川校联考模拟预测）已知函数的导函数为.(1)当时，求函

15、数的极值点的个数；(2)若函数有两个零点，求证：.【答案】(1)极值点的个数为2(2)证明见解析【解析】（1）当时，定义域为，令，则.所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以，所以存在唯一的，使得，所以当时，时，时，所以在处取得极小值，在处取得极大值，所以函数的极值点的个数为2.（2）.因为函数有两个零点，不妨设，所以，所以，解得.要证明，即证明，分式上下分别除以，即证明，令，即证明，即证明.令，则，令，则，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以对，所以，所以成立.7（2023安徽合肥合肥一中校考模拟预测）已知函数有两个极值点，且.(

16、1)求的取值范围；(2)若，证明： 【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】（1）在上有两个变号零点，即有两个不等实根，设，当时，当时，则在上单调递增，在上单调递减，而，且当，恒有成立，于是，且，即有，又，则，令，求导得，即在上单调递减，从而，所以.（2）由（1）知，方程的两个实根，即，亦即，从而，设，又，即，要证，即证，即证，即证，即证，即证，即证，即证，令，设，则在上单调递增，有，于是，即有在上单调递增，因此，即，所以成立.8（2023春云南昆明高三昆明一中校考阶段练习）已知函数，其中，.(1)证明：；(2)若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）设，因为，所

17、以，所以，所以在上单调递增，所以；（2），令，因为，又，所以，若在上恒成立，则为必要条件，即.下证充分性当时，由（1）知，所以只需证明，也只需证明，令，令，所以，令所以，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以，即，所以，所以成立.综上可得a的取值范围为.9（2023山东聊城统考三模）已知函数(1)讨论的单调性；(2)证明：当，且时，【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】（1），当，即时，在区间单调递增当，即时，令，得，令，得，所以在区间单调递增；在区间单调递减当，即时，若，则，在区间单调递增若，令，得，令，得，所以在区间单调递减；在区间单调递增综上，时，在区间单调递增；

18、在区间单调递减；时，在区间单调递增时，在区间单调递减、在区间单调递增（2）证明：要证，即证，即证令，则，所以在区间单调递增，所以时，即时，令，则在时恒成立，所以，且时，单调递增，因为时，且，所以，且时，即所以，且时，10（2023江西江西省丰城中学校联考模拟预测）已知函数，(1)若在上恒成立，求a的取值范围；(2)证明：【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）必要性：在上恒成立，则，故，故，若，则，则存在区间使函数单调递减，故，不成立；充分性：当时，设，则在恒成立，故在上单调递增，故，成立.综上所述：.（2），即在上恒成立，取，则，即，累加得到，即，得证.11（2023河南安阳统考三模）已

19、知函数.(1)证明：曲线在点处的切线经过坐标原点；(2)若，证明：有两个零点.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）由已知得，所以，又因为，由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线方程为，即，恒过坐标原点.（2），令，得.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以.因为，所以，又，由零点存在定理知在上有一个零点，即在内只有一个零点.因为，所以，令，当时，在上单调递增，所以，即，又，由零点存在定理知在上有一个零点，即在内只有一个零点，综上，有两个零点.12（2023全国统考高考真题）已知(1)若，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围【答案】(1)答案见解析.(2)【解析】

20、（1）令,则则当当,即.当,即.所以在上单调递增,在上单调递减（2）设设所以.若,即在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以.所以,使得,即,使得.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为.13（2023春广东茂名高三统考阶段练习）已知函数，(1)判断和的单调性；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）解：由函数，可得，若时，在定义域上单调递减；若时，令，解得，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；又由函数的定义为，且，令，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，取得极大值，也为最大值，所以，所以在上单调递减.

21、（2）解：由不等式，即在内恒成立，即在内恒成立，令，可得，令，可得，令，可得；令，可得，所以在单调递减，在单调递增，又由，所以在 中存唯一的使得，在中存在唯一的使得，即有，因为在单调递减，在单调递增，所以当时，；当时，；当时，；当时，；又由，所以当时，；当时，；当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以时，时，因为，可得所以，即，所以，代入和，则有，同理可得，所以，所以函数在上的最小值，既可以在处取得，也可以在处取得，所以，所以，即实数的取值范围是.14（2023江苏无锡江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数，.(1)当时，证明：在上恒成立；(2)判断函数的零

22、点个数.【答案】(1)证明见详解(2)答案见详解【解析】（1）当时，所以，所以在上单调递增.故，所以，即在上恒成立.（2），其定义域为：.当时，令得：.若，所以为减函数；若，所以为增函数.所以，所以此时没有零点；当时，令得：，或.若，所以为增函数；若，所以为减函数；若，所以为增函数.所以的极大值为，极小值为.此时时，时，.所以此时有个零点；当时，所以在单调递增.此时时，；时，.所以此时有个零点；当时，令得：，或.若，所以为增函数；若，所以为减函数；若，所以为增函数.所以的极大值为，极小值为.此时时，时，所以有个零点.综上所述：当时，没有零点；当时，有个零点.15（2023山东烟台统考三模）已知

23、函数，其中(1)讨论方程实数解的个数；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）由可得，令，令，可得，当，函数单调递减，当，函数单调递增，所以函数在时取得最小值，所以当时，方程无实数解，当时，方程有一个实数解，当时，故，而，设，则，故在上为增函数，故，故有两个零点即方程有两个实数解.（2）由题意可知，不等式可化为，即当时，恒成立，所以，即，令，则在上单调递增，而，当即时，在上单调递增，故，由题设可得，设，则该函数在上为减函数，而，故.当即时，因为，故在上有且只有一个零点，当时，而时，故在上为减函数，在上为增函数，故，而，故，故因为，故，故符合，综上所述，

24、实数的取值范围为16（2023四川绵阳四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知函数，(1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值；(2)若函数对恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1)在处取得最小值，(2)【解析】（1）当时，定义域为，所以，令得，所以，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，函数在处取得最小值，.（2）因为函数对恒成立所以对恒成立，令，则，当时，在上单调递增， 所以，由可得，即满足对恒成立；当时，则，在上单调递增， 因为当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；当时，令得令，恒成立，故在上单调递增，因为当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于时，趋近于负无穷，所以，使得，所以，

25、当时，单调递减，当时，单调递增，所以，只需即可；所以，因为，所以，所以，解得，所以，综上所解，实数a的取值范围为17（2023浙江温州乐清市知临中学校考模拟预测）已知函数(1)若函数有两个极值点，求整数a的值；(2)若存在实数a，b，使得对任意实数x，函数的切线的斜率不小于b，求的最大值【答案】(1)(2)【解析】（1）由题设，令，所以，又有两个极值点，所以有两个不同零点，即在上有两个根，所以与有两个交点，而，令，易知在上递减，所以使，即，故上，即，上，即，故在上递增，上递减，趋向于时趋向，趋向于时趋向，所以，则，且，综上，即，又为整数，所以，经检验满足题设.（2）由题设，使恒成立，令，即使在

26、上恒成立，所以在上恒成立，令，在上递增，且，所以，故在处的切线为，令，则在上递增，而，故上，递减，上，递增，所以，即在上恒成立，综上，对任意恒成立，只需，即，仅当时等号成立，故的最大值.18（2023重庆统考模拟预测）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，求a的最大整数值【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】（1）函数的定义域为，求导得，当，即时，恒成立，此时在上单调递减；当，即时，由解得，由解得，由解得或，此时在上单调递增，在和上单调递减；当，即时，由解得或(舍)，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上

27、单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，当时，在上单调递减，此时在上至多有一个笭点，不待合题意，由于是整数，必有，当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，取，有，当时，若在上有两个零点，则，因为，令，则，令，则，即在上单调递增，又，则存在唯一的，使得，当时，此时，若，则，令，则在上单调递增，又，当时，此时，因此，则当时，成立，所以的最大整数值为.19（2023广东汕头金山中学校考三模）已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)当时，证明：对任意的，；(3)讨论函数在上零点的个数.【答案】(1)的增区间是，减区间是(2)证明见解析(3)答案见解析【解析】（1）当

28、时，.当，所以在上单调递增；当，所以在上单调递减.所以的增区间是，减区间是.（2）当时，则.设，则.由（1）知时，所以，所以，即在单调递增，所以，所以在单调递增，所以.（3）当时，所以.由（2）知，此时，所以没有零点.若时，的导函数.令，则.令，则.当时，在上恒成立，所以，即在上单调递增.又，所以在上存在唯一零点，记作.则当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增.当时，所以在上恒成立，所以在上单调递增.综合，可得当时，单调递减；当时，单调递增.又因为，所以，当时，；又，所以存在唯一实数，使得.所以当时，此时单调递减；当时， ，此时单调递增.又因为，所以时，所以在上没有零点.由（1）知时，

29、则.又，在上单调递增，所以在上存在唯一零点.所以，在上存在唯一零点.综上，当时，在上无零点；当时，在上存在唯一零点.20（2023广东广州统考三模）已知函数，(1)求函数的单调区间；(2)讨论函数的零点个数【答案】(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是(2)答案见解析【解析】（1）解：由，可得，令，解得，当时，则，可得，在单调递减；当时，则，可得，在单调递增； 故函数的单调递减区间是，单调递增区间是（2）解：由，得，因此函数的零点个数等价于函数与的图象的交点个数，因为，所以的递增区间是，递减区间是，所以当时，取最大值，由（1）可知，当时，取最小值，当 ，即时，函数与的图象没有交点，即函数没

30、有零点；当，即时，函数与的图象只有一个交点，即函数有一个零点； 当，即时，函数有两个零点，理由如下：因为，所以，由函数零点存在定理，知在内有零点.又在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，所以在上只有一个零点. 又因为，所以的图象关于直线对称，因为的图象关于直线对称，所以与的图象都关于直线对称，所以在上只有一个零点. 所以，当时，有两个零点.21（2023河南洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数.(1)当时，求的极值；(2)若关于的方程在内有解，求的取值范围.【答案】(1)极小值为，无极大值(2)【解析】（1）当时，所以，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，无极大

31、值.（2）已知在内有解，设为在内的一个零点，由，知在，内都不单调设，则在，内均存在零点，即至少有两个零点.，当时，在上单调递减，不可能有两个及以上零点，舍去；当时，在上单调递增，不可能有两个及以上零点，舍去；当时，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在最小值.若有两个零点，则，而，令，则，则，在上单调递增，在上单调递减.所以，即恒成立，由，得，即的取值范围是.22（2023云南校联考模拟预测）已知函数，.(1)求函数的极值；(2)请在下列中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选给分）.若恒成立，求实数的取值范围；若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围.【答案】(1)极大值为，无

32、极小值(2)选，；选，的取值范围为【解析】（1）函数的定义域为，解得，当时，单调递增；当时，单调递减；所以，无极小值.（2）若选：由恒成立，即恒成立，整理得：，即，设函数，则上式为，因为恒成立，所以单调递增，所以，即，令，则，当时，；当时，；所以在处取得极大值，的最大值为，故，即.故当时，恒成立.若选择：由关于的方程有两个实根，得有两个实根，整理得，即，设函数，则上式为，因为恒成立，所以单调递增，所以，即，令，则，当时，；当时，；所以在处取得极大值，的最大值为，又因为所以要想有两个根，只需要，即，所以的取值范围为.23（2023重庆统考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值(1)求实数a

33、；(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：【答案】(1)(2)证明见详解【解析】（1）由题意可得：，显然，当时，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得在处取到最大值；当时，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得在处取到最小值，不合题意；综上所述：，在处取到最大值.因为的定义域为，且，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得在处取到最大值；由题意可得：，解得.（2）由（1）可得：在上单调递减，在上单调递增，在处取到最大值，且当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，可得直线与曲线至多有两个交点；在上单调递增，在上单调递

34、减，在处取到最大值，且当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，可得直线与曲线至多有两个交点；若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，则，此时直线与曲线、均有两个交点，构建，构建，且，则，可得在上单调递减，在上单调递增，在处取到最大值，构建，则，因为，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，即，当且仅当时，等号成立，可得：当时，则，所以；当时，且在上单调递增，则，可得，所以；当时，且在上单调递减，则，可得，所以；综上所述：当时，；当时，；当时，.结合题意可得：直线与曲线的两个交点横坐标为，与的两个交点横坐标为，且，当，可得，即，可得，即，因为在上单调递增，且，则，可得所以；当，

35、可得，即，可得，即，因为在上单调递增，且，则，可得，所以；综上所述：，即.24（2023湖南校联考二模）已知函数(1)求的最小值；(2)证明：方程有三个不等实根【答案】(1)0(2)证明见解析【解析】（1）设，则，当时，单调递减；当时，单调递增，故的最小值为，因为在定义域内单调递增，所以的最小值为；（2）由可得，整理可得，设，令，则，由得因此，当时，单调递减；当时，单调递增由于，故，又由，由零点存在定理，存在，使得，有两个零点1和，方程有两个根和，则如图，时，因为，故方程有一个根，下面考虑解的个数，其中，设，结合的单调性可得：在上为减函数，在上为增函数，而，故在上有且只有一个零点，设，故，故即

36、，而，故在上有且只有一个零点，故有两个不同的根且，综上所述，方程共有三个不等实根25（2023湖南娄底统考模拟预测）已知函数（其中），(1)证明：函数在区间上单调递增；(2)判断方程在R上的实根个数【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1），设，则，因为，所以，所以在上为增函数，所以，当且仅当时，取得等号，所以函数在区间上单调递增.（2）方程在R上的有且仅有1个实根.证明如下：方程，即，即，令，则，因为当时，则在区间上无零点，所以只需证明在区间上有且只有一个零点.若，当时，则在区间上单调递增，又因为，所以在区间上有且只有一个零点；若，由，得，由，得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，又

37、因为，令，则，令，因为，所以，所以在区间上为增函数，所以，所以在区间上为增函数，所以，即，所以在区间上有且只有一个零点.综上所述：当时，在区间上有且只有一个零点.即方程在R上的有且仅有1个实根.26（2023广东汕头统考三模）设，(1)证明：；(2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，求证：，成等比数列.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）因为，所以等价于，即，令，则只需证，设，则，当时，单调递减；当时，单调递增；故，即成立，所以成立，即得证；（2）记，则，当时，；当时，故在内单调递增，在内单调递减，故；记，则，当时，当时，故在内单调递增，在内单调递减，故.所以函数与函数

38、有相同的最大值，画出与的图象如下图：可知，且，又当时，故，当时，直线与两条曲线和各有两个不同的交点，则直线与曲线的两个交点分别位于区间和，而直线与曲线的两个交点分别位于区间和，构造，当时，；当时，当时，1-x0，故在内单调递减，又，结合零点存在性定理可知：在内存在唯一零点，故曲线和在有唯一一个公共点，由图可得：若直线与两条曲线和共有三个不同的交点，其中，即，即，由，又，结合在内单调递增，故，由，又，结合在内单调递减，故，故，故，成等比数列.27（2023浙江绍兴统考模拟预测）已知函数，a为实数(1)求函数的单调区间；(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，证明：【答案】(1)递减区间为，

39、递增区间为.(2)证明见解析【解析】（1）函数的定义域为，令，所以，得， 当，当，故函数递减区间为，递增区间为.（2）因为函数在处取得极值，所以，得，所以，得，令，因为，当时，所以函数在单调递减，在单调递增，且当时,当时,故.先证，需证.因为，下面证明.设,则,故在上为增函数,故,所以,则,所以,即得，下面证明：令，当时，所以成立,所以，所以.当时，记,所以时，所以为减函数得,所以,即得.所以得证，综上，.28（2023江西景德镇统考模拟预测）已知函数(1)若函数在定义域上单调递增，求的最大值；(2)若函数在定义域上有两个极值点和，若，求的最小值【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因为，其中

40、，则，因为函数在上单调递增，对任意的，即，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，所以，故，所以，的最大值为.（2）解：由题意可知，设，由可得，则，可得，所以，令，其中，所以，令，其中，则，因为，由，可得，由可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，又因为且，所以，当时，即，当时，即，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，.29（2023新疆校联考二模）已知函数，其中为自然对数的底数(1)若有两个极值点，求的取值范围；(2)记有两个极值点为、，试证明：【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）解：因为，设，则，若有两个极值点，则有个变号零点当时，

41、在上递增，至多有一个零点，不符合题意，舍去；当时，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，若使得有个变号零点，则，即，即，解得，此时，令，其中，所以，所以，函数在上单调递增，所以，故，由零点存在定理可知，函数在、上各有一个变号的零点，设函数在、上的零点分别为、，当或时，；当时，.此时函数有两个极值点，合乎题意.综上所述，.（2）证明：欲证，即证，由于、为的零点，则，可得，令，则，解得，所以只需证明：，即证：，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递减，则，所以，即得证，故.30（2023内蒙古赤峰校联考一模）已知函数（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；（2）若函数有两个极值点，求证：【答案】（1）当时，；当时，；当时，；（2）证明见解析【解析】（1）因为，当时，因为，所以，所以函数在上单调递增，则；当，即时，所以函数在上单调递增，则；，当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；当，即时，函数在上单调递减，则综上，当时，；当时，；当时，.（2）要证，只需证：，若有两个极值点，即函数有两个零点，又，所以是方程的两个不同实根，即，解得，另一方面，由，得，从而可得，于是不妨设，设，则因此，要证，即证：，即当时，有，设函数，则，所以为上的增函数注意到，因此，于是，当时，有所以成立，