4.5 相似三角形的应用【九大题型】（举一反三）（北师大版）（学生版）.docx

1、专题4.5 相似三角形的应用【九大题型】【北师大版】【题型1 杠杆问题】1【题型2 建筑物问题】3【题型3 树高问题】4【题型4 河宽问题】5【题型5 影长问题】6【题型6 实验问题】8【题型7 九章算术】10【题型8 实际生活抽象出相似】11【题型9 三角形内接矩形问题】13【题型1 杠杆问题】【例1】（2023吉林白城校联考三模）如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了在图中，杠杆的D端被向上翘起的距离BD=9cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA=3OB（AB与CD相交于点O），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的C点向下压 cm【变式1-

2、1】（2023春河南南阳九年级统考期末）如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起5cm，已知AB:BC=10:1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 cm【变式1-2】（2023春安徽合肥九年级合肥市第四十五中学校考期中）如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1COA，过点A1作A1DOA，垂足分别为点C、DOB1COA1D； OAOC=OBOD；OCG=ODF1；

3、F=F1其中正确的说法有（ ）A1个B2个C3个D4个【变式1-3】（2023春江苏泰州九年级阶段练习）如图1，在ABC中，G是BC的中点，E是AG的中点，CE的延长线交AB于D，求AD：BD（1）解：过G作GFAB，交CD于F请继续完成解答过程：（2）创新求解：利用“杠杆平衡原理”解答本题：（如图2）设G点为杠杆BC的支点，B端所挂物体质量为1kg；则C端所挂物体质量为1kg，G点承受质量为2kg；当E点为杠杆AG的支点，则A端所挂物体质量为2kg；再以D为杠杆AB的支点时，AD：BD=1kg：2kg=1：2应用：如图3，在ABC中，G是BC上一点，E是AG上一点，CE的延长线交AB于D，且

4、=，=2，求AD：BD解：设G点为杠杆BC的支点，B端所挂物体质量为6kg，则C端所挂物体质量为 kg，G点承受质量为 kg；当E点为杠杆AG的支点，则A端所挂物体质量为 kg；再以D为杠杆AB的支点时，AD：BD= 【题型2 建筑物问题】【例2】（2023春江苏九年级专题练习）如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB=3米，FD=4米，DE=5米，EG=1.

5、5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG，请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC【变式2-1】（2023春山东济南九年级期末）小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）设小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求这座建筑物的高度【变式2-3】（2023春四川达州九年级校考期末）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯

6、C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方计算小亮在路灯D下的影长；计算建筑物AD的高【题型3 树高问题】【例3】（2023春陕西咸阳九年级统考期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点C处，他在点F处正好在镜中看到树尖A的像；第二次他把镜子放在点C处，他在点F处正好在镜中看到树尖A的像已知ABBF，EFBF，EFBF，小军的眼睛距地面1.7m（即EF=EF=1.7m），量得CC=1

7、2m，CF=1.8m，CF=4.2m求这棵古松树的高度AB（镜子大小忽略不计）【变式3-1】（2023春江苏盐城九年级校联考期末）我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作海岛算经中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合问岛高几何？译文：今要测量海岛上一座山峰AH的高度，在B处和D处树立标杆BC和DE，标杆的高都是3丈，B和D两处相隔1000步（1丈=10尺，1步=6尺），并且AH，CB和DE在同一平面内从标杆BC后退123步的F处可以看到顶峰A和标

8、杆顶端C在同一直线上；从标杆ED后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上则山峰AH的高度是 【变式3-2】（2023春九年级单元测试）如图所示，在离某建筑物4m处有一棵树，在某时刻，1.2m长的竹竿垂直地面，影长为2m，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m，则这棵树高约有多少米()A6.4米B5.4米C4.4米D3.4米【题型4 河宽问题】【例4】（2023春安徽安庆九年级统考期中）如图所示，一条河流的两岸互相平行，沿南岸有一排大树，每隔4米一棵，沿北岸有一排电线杆，每两根电线杆之间的距离为80米，一同学站在距南岸9米的点P处，正好

9、北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住，那么这条河流的宽度是 米【变式4-1】（2023春江苏苏州九年级苏州市振华中学校校考期末）如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度EF在河对岸有一棵高4米的树GF，树GF在河里的倒影为HF，GF=HF，小斌在岸边调整自己的位置，当恰好站在点B处时看到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点C到水面EF的距离CE=0.8米，AB=1.6米，BC=2.4米，ABBC，CEEF，FHEF，GFEF，BCEF，视线AH与水面EF的交点为D，请你根据以上测量方法及数据求河的宽度EF【变式4-2】（2023春河南南阳九年级统考期中）学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明

10、和小颖两位同学想通过所学计算桥AF的长如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DEBC经测量，BC=120米，DE=200米，且点E到河岸BC的距离为60米已知AFBC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度【变式4-3】（2023陕西西安校考模拟预测）如图，为了估算河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点2米远的B点，立一根长为1米的标杆AB，在河对岸的岸边有一块高为2.5米的安全警示牌MF，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即PM=PN，两岸均高出水平面1.25米，即DE=FP=1.25米

11、，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？【题型5 影长问题】【例5】（2023春安徽蚌埠九年级统考期中）在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为（）A6.93米B8米C11.8米D12米【变式5-1】（2023春安徽安庆九年级安庆市第四中学校考期中）为了测量学校旗杆的高度AB，数

12、学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测 量方案如下：如图，首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行1.8米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F处竖立了一根高1.6米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.4米，DF为3.3米，已知ABBH，EDBH，GFBH，点B、C、D、F、H在一条直线上（1）直接写出ABBC= ；（2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆AB的高度【变式5-2】（2023春安徽亳州九年级蒙城县第六中学阶段练习）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同

13、的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m计算小亮在路灯D下的影长；计算建筑物AD的高【变式5-3】（2023春江苏南通九年级校考阶段练习）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米小明：

14、测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米（1）在横线上直接填写甲树的高度为_米，乙树的高度为_米（2）请求出丙树的高度【题型6 实验问题】【例6】（2023春江西景德镇九年级统考期中）两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验他们的做法是：在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像小宇在学习了小孔成像的原理后，利用如图所示装置来观察小孔成像的现象已知一根点燃的蜡烛距小孔（P）20cm，光屏在距小孔30cm处，小宇测得蜡烛的火焰高度为4cm，则光屏上火

15、焰所成像的高度为（）A8cmB6cmC5cmD4cm【变式6-1】（2023春陕西西安九年级校考开学考试）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m，点F到地面的高度CF=1.5m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4m，墙到木板的水平距离为CD=4m已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上求灯泡到地面的高度AG【变式6-2】（2023陕西西安校考一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射

16、光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧：入射角i等于反射角r，这就是光的反射定律【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m，点FE到地面的高度CF=1.5m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4m，木板到墙的水平距离为CD=4m图中A，B，C，D在同一条直线上，求灯泡到地面的高度AG【变式6-3】（2023春河北唐山九年级校考期末）某校九年级一班的一节数学活动课安排了测量操场上竖直的悬挂国旗的

17、旗杆的高度甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中BO=60米，OD=3.4米，CD=1.7米；乙组测得图中，CD=1.5米，同一时刻影长FD=0.9米，EB=18米；丙组测得图中，CDEFAB，lAD，AD=90米，EF=0.2米，人的臂长l为0.6米，请你任选两种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度【题型7 九章算术】【例7】（2023河北统考二模）九章算术的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木问邑方几何？”大意是： 如图，四边形EFGH是一座正方形小城，北门A位于FG的中点，南门B位于EH的

18、中点从北门出去正北方向20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C处的树木，则正方形小城的边长为（）A105步B200步C250步D305步【变式7-1】（2023春福建泉州九年级晋江市第一中学校考期中）九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为（）米A5B4C3D2【变式7-2】（2023春浙江九年级专题练习）九章算术中有这样一道题：如图，今有山AB位于树的西面，山高AB为

19、未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺，人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，则山AB的高为（保留到整数，1丈=10尺）（）A162丈B163丈C164丈D165丈【变式7-3】（2023春九年级单元测试）九章算术中记载了一种测距的方法如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形ABCD，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线BE与边DC相交于点F，如果测得FC=4米，那么塔与树的距离AE为 米【题型8 实际生活抽象出相似】【例8】（2023春全

20、国九年级专题练习）图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽AB=1.2厘米，托架斜面长BD=6厘米，它有C到F共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位C到B的距离为2.4厘米将某型号手机置于托架上（图2)，手机屏幕长AG是15厘米，O是支点且OB=OE=2.5厘米（支架的厚度忽略不计）当支架调到E档时，点G离水平面的距离GH为 cm【变式8-1】（2023春浙江温州九年级校考阶段练习）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（）A25 mmB20mmC

21、15 mmD8mm【变式8-2】（2023春浙江湖州九年级统考期末）如图1是一个家用折叠梯子，使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，已知踏板宽BF=20cm，BC=CD=DE=EL=25cm，将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，此时，踏板可以看作与支架AL重合，将梯子垂直摆放时，点A离地面的高度AL为 cm图3是图1的简略视图，若点H恰好在点A的正下方，此时点A到地面LM的高度是 【变式8-3】（2023九年级单元测试）将一本高为17cm（即EF=17cm）的词典放入高（AB）为16cm的收纳盒中（如图1）恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处8cm，若此时将词典无滑动向右

22、倒，书角H的对应点H恰为CD中点（1）收纳盒的长BC= ；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有 本书可与边BC有公共点【题型9 三角形内接矩形问题】【例9】（2023春河南平顶山九年级校考期中）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD=2FA，若盲区EB的长度是6米，求车宽FA的长度【变式9-1】（2023春河北邯郸九年级统考期中）如图1，课本中有一道例题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB

23、，AC上设PN=xmm，用x的代数式表示AE= mm，由PN/BC，可得APNABC，再利用相似三角形对应高的比等于相似比，可求得PN= mm拓展：原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图2，此时，PN= mm【变式9-2】（2023春河北石家庄九年级石家庄二十三中校考阶段练习）有一块锐角三角形余料ABC，边BC为15cm，BC边上的高为12cm，现要把它分割成若干个邻边长分别为5cm和2cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为5cm的边在BC上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 【变式9-3】（2023全国九年级

24、专题练习）阅读理解：如图1，AD是ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EF/BC，可以得到以下结论：AHAD=EFBC拓展应用：(1)如图2，在ABC中，BC3，BC边上的高为4，在ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化请完成下表：排数/排0123隔板长度/厘米160_若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；在的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？