5.2 函数的表示方法-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）.docx

1、5.2 函数的表示方法【考点梳理】考点一：函数的表示方法考点二：分段函数1一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数2分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集3作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象【题型归纳】题型一：已知函数类型求解析式（待定系数法）1已知是一次函数，则（）ABCD2已知二次函数满足，则（）A1B7C8D163已知是一次函数，且，则的解析式为A或B或C或D或题型二：换元法求函数解析式4已知，则的解析式为（）ABCD5若函数，且，则实数的值为（）AB或CD36若，则的解析式

2、为（）ABCD题型三：方程组法求函数解析式7若函数满足，则（）A7BC4D8已知函数的定义域为，且满足，则（）ABCD9已知函数满足，则（）AB3CD题型四：求分段函数的解析式或者值10设函数，则（）ABCD11已知函数,求的值（）ABCD12已知函数若，且，则（）AB0C1D2题型五：分段函数的性质及其应用13设函数，则满足的 x 的取值范围是（）ABCD14已知函数，则的解集为（）ABCD15已知函数，其中，则（）A2B4C6D7题型六：分段函数的值域或者最值问题16已知函数，关于函数的结论正确的是（）AB的值域为C的解集为D若，则x的值是1或17已知函数，若，则（）AB6CD18已知函数

3、以下关于的结论正确的是（）A若，则B的值域为C在上单调递增D的解集为题型七：函数表示的综合问题19求下列函数的解析式.(1)已知二次函数满足，求的解析式；(2)已知函数满足，求的解析式.20（1）已知函数是一次函数，且满足，求的解析式；（2）已知函数求，若，求的值21（1）已知是二次函数，且满足，求函数的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是R上的函数，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.【双基达标】一、单选题22已知函数，若，则（）A1或B或C或5D1或523设函数，满足，则函数的值域为（）ABCD24已知函数，则（）A0B1CD25已知 (1)画出的图象；(2)若，求的值

4、；(3)若，求的取值范围.26已知二次函数满足，且.(1)求的解析式；(2)设，求的最小值.【高分突破】一：单选题27世界公认的三大著名数学家为阿基米德牛顿高斯，其中享有“数学王子美誉的高斯提出了取整函数表示不超过的最大整数，例如.已知，则函数的值域为（）ABCD28已知，则有（）A B C D29已知，则（）ABCD30已知函数，若，则实数a（）ABC2D931设集合，函数，若，且，则的取值范围是（）AB（，）CD（，132已知函数，若，则（）ABCD33已知函数在区间上的值域为，对任意实数都有，则实数的取值范围是（）ABCD二、多选题34已知函数，则关于函数的结论正确的是（）A的定义域为R

5、B的值域为CD若，则x的值为35如图是函数的图像，则下列说法正确的是（）AB的定义域为C的值域为D若，则或236已知函数，则（）AB若，则或C的解集为D，则37德国数学家狄利克雷（18051859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0，以下关于狄利克雷函数的性质正确的有：（）AB的值域为C定义域为D三、填空题38

6、已知函数，若，则_.39已知，则使成立的x的取值范围是_40已知，则的值域为_.41已知函数，则_.42函数，若恒成立，则实数的取值范围为_四、解答题43已知，.(1)求的值；当时，求；(2)当时，求的解析式；(3)求方程的解.44（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是二次函数，且满足，求函数的解析式；（4）已知，求的解析式45（1）已知，求函数的解析式；（2）已知是二次函数，且满足，求函数的解析式；（3）已知，求函数的解析式；（4）已知的定义在R上的函数，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式【答案详解】1D【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解

7、作答.【详解】依题意，设，则有，解得，所以.故选：D2B【分析】采用待定系数法先求解出的解析式，然后即可计算出的值.【详解】设，因为，所以，化简可得：，所以，所以，所以，所以，所以，故选：B.3A【解析】设，由题意可得，即，求出和的值，即可得的解析式.【详解】设，则，即对任意的恒成立，所以，解得：或，所以的解析式为或，故选：A【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，

8、要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.4C【分析】利用换元法，可得答案.【详解】令，即，则，由，则，故的解析式为.故选：C.5B【分析】令，配凑可得，再根据求解即可【详解】令（或），.故选；B6C【分析】利用换元法，令，则，代入，求出，再将换成即可，注意函数的定义域.【详解】解：令，则，则，函数的解析式为.故选：C.7A【分析】令代入原式，再进行运算消去，从而可得解析式，从而解得结果.

9、【详解】，取代入， 由2+可得：， ， ， ，所以，则.故选：A.8C【分析】对于求函数解析式的题目，可使用方程组法，将原方程与令后得到得方程组成方程组，解出即可【详解】因为，所以，得，即，所以故选：C.9A【分析】以代得到等式，通过解方程求出的解析式，运用代入法求值即可.【详解】以代得： ，于是有，解得：，所以，故选：A10D【分析】代入分段函数解析式依次计算，.【详解】由题意，得，则.故选：D11A【分析】利用分段函数直接有里及外求出函数的值【详解】，.故选：A12C【分析】根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果.【详解】由题意知，又，所以，所以，解得.故选：C13B【分析】化简

10、函数解析式，分区间讨论化简不等式求其解.【详解】，当且时，不等式可化为， ，当且时，不等式可化为， 满足条件的不存在，当且时，不等式可化为， 满足条件的不存在，当且时，不等式可化为，满足的 x 的取值范围是，故选：B.14B【分析】根据分段函数的解析式写出当和时的、，解不等式即可.【详解】当时，则可化为，解得，又，所以当时，则可化为，解得，又，所以综上，故选B15D【分析】利用分段函数的意义求值.【详解】，其中，.故选:D16B【分析】根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可；【详解】解：因为，函数图象如下所示：由图可知，故A错误；的值域为，故B正确；由解得，故C错误；，即，解得，故

11、D错误；故选：B17D【分析】分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于的等式，求出的值，代值计算可得的值.【详解】因为，所以，函数在和上均为增函数，因为，所以，可得，由题意可得，即，解得，合乎题意，所以，.故选：D.18B【分析】A选项逐段代入求自变量的值可判断;B选项分别求各段函数的值域再求并集可判断;C选项取特值比较大小可判断不单调递增;D选项分别求各段范围下的不等式的解集求并集即可判断.【详解】解:A选项:当时, 若,则;当时, 若,则,故A错误;B选项: 当时, ;当时, ,故的值城为,B正确;C选项: 当时, ,当时, ,在上不单调递增,故C错误;D选项: 当时, 若,则;当时, 若

12、,则,故的解集为,故D错误;故选:B.19(1)(2)【分析】（1）设，代入，让两边系数相等即可；（2）把用替代，两个式子联立，消去，即得解.（1）设，故，解得，（2）在中把用替代，得，由联立消去得，.20（1）；（2）4；3；或1【分析】（1）根据待定系数法，设，再根据题意列式求解即可；（2）直接根据分段函数解析式求解即可；讨论在三个分段区间中的解析式再逐个求解即可.【详解】（1）设，则：，故，即，故，.所以（2）函数，当时，解得，成立；当时，解得或（舍）；当时，解得（舍去）故的值为或121（1）；（2）；（3）.【分析】（1）待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条

13、件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数.（2）方程组法：已知关于与的表达式，构造出另外一个等式，通过解方程组求出.（3）特殊值法（赋值法）：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式.【详解】（1）设，由得：c1.由得：，整理得，则，.（2）， ，2得：，.（3）令，则，.22A【分析】分类讨论求分段函数对应函数值的自变量值即可.【详解】当时，得：；当时，得：；综上，或.故选：A23B【分析】首先根据待定系数法求得，从而得到，再利用换元法求解值域即可.【详解】，所以，即.，令，即.所以，.当时，即的值域为.故选：B24B【分析】根据分段函数解析式计

14、算可得.【详解】解：因为，所以，所以故选：B25(1)作图见解析(2)(3)【分析】(1)根据二次函数的性质及常数函数的作图法，作出图象即可；(2)分或时和时分别求解，再取并集即可；(3)结合(2)和图象即可得答案.（1）解：函数的对称轴，当时，；当时，；当时，则的图象如图所示.（2）解：，由题意可得：当或时，无解；当时，由，可得，解得.（3）解：由于，结合此函数图象可知，使的的取值范围是26(1)(2)【分析】（1）用待定系数法求解二次函数解析式.（2）写出解析式，讨论二次函数对称轴位置，确定的最小值.（1）设，因为，所以，则，因为，所以，解得故解析式为：（2），化解可得：，由此可知对称轴为

15、 当，即时，当，即时，当，即时，故27B【分析】根据题意，设，将解析式变形，分析的取值范围，结合取整函数的定义，分析可得答案【详解】解：根据题意，设，则，在区间上，且为增函数，则有，在区间上，且为增函数，则有，综合可得：的取值范围为或，又由，则的值域为，2，.故选：B28B【分析】利用换元法即可求函数的解析式，注意新元的范围.【详解】设，则，所以函数的解析式为，故选：B.29D【分析】利用换元法求解函数解析式.【详解】令，则，；所以.故选：D.30C【分析】由函数的解析式可得，求解可得答案【详解】函数，则，即，解可得：.故选：C31B【分析】按照分段函数先求出，由和解出的取值范围即可.【详解】

16、，则，解得，又故选：B.32A【分析】根据分段函数，分，由求解.【详解】因为函数，且，当时，即，解得或，当时，无解，综上：，所以，故选：A33D【分析】根据关于对称，讨论与的关系，结合其区间单调性及对应值域求的范围.【详解】由题设，易知：关于对称，又恒成立，当时，则，可得；当时，则，可得；当，即时，则，即，可得；当，即时，则，即，可得；综上，.故选：D.【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质，讨论其对称轴与给定区间的位置关系，结合对应值域及求参数范围.34BD【分析】对A根据解析式判断定义域，对B结合单调性求出值域，对C代值即可求出，对D利用函数值分段讨论求出.变量的值.【详解】由题意知函数的

17、定义域为，故A错误；当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确；当时，故C错误；当时，当时，故D正确；故选：BD.35CD【分析】结合函数的图像和定义域，值域等性质进行判断即可【详解】由图像值，故A错误；函数的定义域为，故B错误；函数的值域为，故C正确；若，则或2，故正确故选：36BCD【分析】对于A，根据解析式先求，再求，对于B，分和两种情况求解，对于C，分和两种情况解不等式，对于D，求出函数的最大值判断.【详解】对于A，因为，所以，所以A错误，对于B，当时，由，得，得，当时，则，得，得或（舍去），综上或，所以B正确，对于C，当时，由，得，解得，当时，由，得，解得，综上，

18、的解集为，所以C正确，对于D，当时，当时，所以的值域为，因为，所以，所以D正确，故选：BCD37CD【分析】根据狄利克雷函数逐一判断即可.【详解】因为是无理数，所以，故A错误；的值域为，故B错误；定义域为，故C正确；当为有理数时，也为有理数，所以此时，当为无理数时，也为无理数，所以此时，所以对都有，故D正确，故选：CD38【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得.【详解】解：因为，且，所以或，解得或无解；故答案为：39【分析】解不等式组或，即得解.【详解】解：，或，或，即，使成立的x的取值范围是故答案为：40【分析】先求出，再结合二次函数的性质即可得出值域.【详解】解：令，则，所以，所

19、以，故的解析式为，其值域为.故答案为：.41#1010.75【分析】观察所求结构，考察的值，然后可得.【详解】因为，所以.故答案为：42【分析】先利用基本不等式求得当时的最小值，由恒成立，得代入数值即可求解.【详解】当时，当且仅当即时取等号，函数，若恒成立，则，即，解得，故答案为：.43(1)；(2)(3)或【分析】（1）根据自变量的范围选择对应的解析式代入求解；（2）讨论范围求出解析式；（3）利用（2）先将方程化简一下，再求解.（1）当时，故.（2）由（1）知，当时，.当时，故.当时，故.所以当时，的解析式为（3）由（2）可知，所以方程为解得或.44（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1

20、）根据已知函数代入直接求解即可，（2）利用换元法或配凑法求解，（3）利用待定系数法求解，设，然后根据已知条件列方程求出即可，（4）利用方程组法求解，用x替换中的x，将得到的式子与原式子联立可求出.【详解】（1）因为，所以（2）方法一设，则，即，所以，所以方法二因为，所以（3）因为是二次函数，所以设由，得c1由，得，整理得，所以，所以，所以（4）用x替换中的x，得，由，解得45（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）直接用换元法即可求得解析式.（2）直接用待定系数法即可求得解析式.（3）直接用构造方程组法即可求得解析式.（4）直接用赋值法即可求得解析式.【详解】（1）方法一 设，则，即，所以，所以（）.方法二 因为，所以（2）因为是二次函数，所以设由，得由，得，整理得，所以，所以所以（3）因为，所以，得，所以（4）方法一 令，则，所以方法二 令，则，即，令，则