5.3.3函数的最大（小）值教学设计-（新教材 新高考高中数学）-2021-2022学年高二上学期数学（人教A版（2019）选择性必修第二册）.docx

1、5.3.3 函数的极值与最大(小)值（一）教学内容 函数的极值与最大(小)值（二）教材分析 函数的极值与最值是函数的一个重要性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养（三）学情分析 1.认知基础：函数的极值与最值（四）教学目标 1.知识目标：了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.2、能力目标：体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系3、素养目标：1.数学抽象：求函数极值的方法2.逻辑推理：导数值为零与函数极值的关系3.数学

2、运算：运用导数求函数极值4.直观想象：导数与极值的关系（五）教学重难点 重点：求函数最值的方法及其综合应用难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系(六)教学思路与方法（七）课前准备 多媒体（八）教学过程 一、温故知新1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法：解方程 f(x)=0.当 f(x0)=0 时：如果在 x0 附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0，那么 f(x0)为极大值；如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，那么 f(x0)为极小值；二、探究新知我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果 x0 是函数 y=f(x)

3、的极大（小）值点，那么在 x=x0 附近找不到比 f(x0)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果 x0 是某个区间上函数 y=f(x)的最大（小）值点，那么 f(x0)不小（大）于函数 y=f(x)在此区间上所有的函数值。探究 1：函数 y=f(x)的在区间a,b的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；极小值：f(x1)、f(x3)、f(x5)；探究 2：那么 f(x)在区间a,b的内最大值、最小值呢?最大值：f(a);最小值：f(x3)探究 3：观察a,b上的函数 y=f(x)和

4、 y=g(x)的图象，它们在a,b上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)温故知新，提出问题，引导学生探究运用导数研究函数的最值。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养。1函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值与最小值连续不断问题 1：函数的极值与最值的区别是什么？函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能

5、有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值2求函数 f(x)在闭区间a，b上的最值的步骤(1)求函数 yf(x)在区间(a，b)上的_；(2)将函数 yf(x)的_与_处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_极值；各极值；端点；最大值；最小值1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 f(x)在区间a，b上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小 值就是最大(小)值()(4)

6、若函数 yf(x)在区间a，b上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点()解析：(1)函数在闭区间a，b上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确(3)因为 y 最大值y 极值，y 最小值y 极值，故错误(4)正确答案(1)(2)(3)(4)三、典例解析通过特例，体会函数极值与最值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。例 6:求()在0,3的最大值与最小值.解：因为 ()()令 0,解得：又因为 f(0)=4,f(3)=1所以,当 x=

7、0 时，函数 f(x)在0,3上取得最大值 4，当 x=2 时，函数 f(x)在0,3上取得最小值-.求函数最值的着眼点从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.单调区间取端点,当图象连续不断的函数 fx在a，b上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.跟踪训练 1.求下列各函数的最值(1)f(x)3x39x5，x2，2；(2)f(x)sin 2xx，x2，2.解(1)f(x)9x299(x1)(x1)，令 f(x)0 得 x1 或 x1.当 x 变化时，f(

8、x)，f(x)变化状态如下表：x2(2，1)1(1，1)1(1，2)2f(x)00f(x)111111从表中可以看出，当 x2 时或 x1 时，函数 f(x)取得最小值1.当 x1 或 x2 时，函数 f(x)取得最大值 11.(2)f(x)2cos 2x1，令 f(x)0，得 cos 2x12，又x2，2，2x，通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握运用导数求函数最值的一般方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。2x3.x6.函数 f(x)在2，2 上的两个极值分别为f 6 32 6，f 6 32 6.又 f 2 2，f 2 2.比较以上函数值可得 f(x)max2，f(x)m

9、in2.例 7:给定函数()().（1）判断函数()的单调性，并求出()的极值；（2）画出函数()的大致图像；（3）求出方程()=()的解的个数.解：（1）函数的定义域为 因为 ()()()()()()令()0,解得：()、()的变化情况如表所示所以，()在区间(，)上单调递减，在区间(，)上单调递增。当 时，()有极小值()=（2）令()=0，解得：当 时，()0;当 时，()0.所以()的图像经过特殊点 A(),B(),C().当 时，与一次函数相比，指数函数 呈爆炸性增长，从而 当 时，(),()根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示（3）方程()=()的解的个数为函数 ()的图像与直

10、线 的交点个数。由（1）及图可得，当 时，有最小值()所以，方程()=的解得个数有如下结论；当 时，解为 0 个当 或 时，解为 1 个当 0 时，解为 2 个函数()的图像直观地反映了函数()的性质，通常可以按如下步骤画出函数()的大致图像（1）求出函数()的定义域；（2）求导数()及函数()的零点；（3）用零点将()的定义域为若干个区间，列表给出()在各个区间上的正负，并得出()单调性与极值；（4）确定()图像经过的一些特殊点，以及图像的变化趋势；（5）画出()的大致图像.例 8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 分,其(单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售 1mL

11、 的饮料制造商可获得 0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是 6cm.(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?解：由题意可知，每瓶饮料的利润是 ()=()所以 ()()令 ()0,解得=2.当 ()时，()2 时，()0,()单调递增，即半径越大，利润越高；当半径 2 时，()0,()单调递减，即半径越大，利润越低。（1）半径为 6cm 时，利润最大（2）半径 2cm 时，利润最小，这时()0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润时负值。1优化问题生活中经常遇到求、等问题，这些问题通常称为优化问题2解决优化问题的基本思路利润最大

12、；用料最省；效率最高函数；导数跟踪训练 2请你设计一个帐篷如图所示，它的正视图和侧视图都是由矩形和三角形构成的图形，俯视图是正六边形及其中心与顶点的连线构成的图形试问：当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？并求出最大体积解：依题意，该帐篷的下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥，如图所示设帐篷的顶点为 O，底面中心为 O1，OO1 为 x m，帐篷的体积为 V(x)m3，且 1x4.由题设可得正六棱锥的底面边长为 32x2 82xx2(m)，故底面正六边形的面积为 6 34(82xx2)23 32(82xx2)(m2)，故 V(x)3 3

13、2(82xx2)13x1 32(1612xx3)，则 V(x)32(123x2)令 V(x)0，解得 x12，x22(舍去)当 1x0，V(x)为增函数；当 2x4 时，V(x)0，V(x)为减函数所以当 x2 时，V(x)取得最大值，且最大值为 V(2)16 3.综上可得，当帐篷的顶点到底面中心的距离为 2 m 时，帐篷的体积最大，最大体积为 16 3 m3.三、达标检测1函数 yln xx 的最大值为()Ae1 Be Ce2 D10A 令 y1ln xx20 xe.当 xe 时，y0；当 0 xe 时，y0，所以 y 极大值e1，因为在定义域内只有一个极值，所以 ymaxe1.2设函数 f

14、(x)x3x222x5，若对任意 x1，2，都有 f(x)m，则实数 m 的取值范围是_，72 f(x)3x2x20，x1 或 x23.f(1)112，f 23 15727，f(1)72，f(2)7，m72.3已知 a 是实数，函数 f(x)x2(xa)，求 f(x)在区间0，2上的最大值解 f(x)3x22ax.令 f(x)0，解得 x10，x22a3.当2a3 0，即 a0 时，f(x)在0，2上单调递增，从而 f(x)maxf(2)84a.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。当2a3 2，即 a3 时，f(x)在0，2上

15、单调递减，从而 f(x)maxf(0)0.当 02a3 2，即 0a3 时，f(x)在0，2a3 上单调递减，在2a3，2 上单调递增，从而 f(x)max84aa，a综上所述，f(x)max84aa，a4.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(

16、x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值解(1)由题设，隔热层厚度为 x cm，每年能源消耗费用为C(x)k3x5，再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x)403x5.而建造费用为 C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)20 403x56x 8003x56x(0 x10)(2)f(x)62 400 x2，令 f(x)0，即2 400 x26，解得 x5，x253(舍去)当 0 x5 时，f(x)0，当 50，故 x5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)65 80015570.所以，当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元四、小结求 f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；通过总结，让学生进一步巩固（2）将 f(x)的各导数值为零的点的函数值与 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值五、课时练本节所学内容，提高概括能力。