5.5.2 简单的三角恒等变换-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）.docx

1、5.5.2简单的三恒等变换【考点梳理】考点一半角公式sin ，cos ，tan .考点二辅助角公式辅助角公式：asin xbcos xsin(x).【题型归纳】题型一：降幂公式的化简求值问题1（2021浙江高一期末）已知则（）ABCD2（2021江苏扬州高一期中）已知（1）求的值；（2）已知，求的值3（2022湖南宁乡市教育研究中心高一期末）已知，且满足，求：的值题型二：辅助角公式的应用4（2022浙江杭州四中高一期末）已知函数.设，.(1)求的最小正周期；(2)求的值.5（2022北京师大附中高一期末）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)求在区间0，上的最值.6（2022北京高一期末

2、）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调递增区间；(3)若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.题型三：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题7（2022宁夏银川二中高一期末）（1）已知，且，求；（2）化简：.8（2022辽宁东北育才学校高一期中）已知函数，(1)化简；(2)若，求的值9（2022江苏苏州高一期末）已知函数.(1)若函数的图象过点，且，求的值；(2)若，且，求的值.题型四：三角恒等式判断三角形的形状10（2022北京二中高一阶段练习）在中，则一定是（）A等腰三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形11（2022辽宁辽师大附中高一

3、阶段练习）若在中，则的形状为（）A直角三角形B等边三角形C等腰三角形D等腰直角三角形12（2022河北邢台高一阶段练习）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则ABC的形状为()A正三角形B等腰直角三角形C直角三角形D等腰三角形题型五：三角恒等式变换中化简问题13（2022北京高一期末）已知函数，.(1)求函数的最大值；(2)若函数，求函数的单调递增区间.14（2022浙江杭州高级中学高一期末）设函数(1)求的最小正周期及其图像的对称中心；(2)若且，求的值.15（2022辽宁丹东高一期末）已知.(1)证明：；(2)当时，讨论函数的单调性；(3)若，证明：函数在上有且仅有两个零点.

4、题型六：三角恒等式变换中证明问题16 （2021上海松江高一期末）（1）已知角终边上有一点的坐标是，其中，求的值（2）证明恒等式：17（2021上海高一课时练习）证明下列三角恒等式.（1）；（2）.18（2020湖北武汉高一期末）已知且.（）求证：.（）求的最大值.【双基达标】一、单选题19（2022江苏南通高一期末）若，则（）ABCD20（2022江苏南通高一期末）函数图象的一条对称轴方程为（）ABCD21（2022全国高一课时练习）函数的最小正周期是（）ABCD22（2022全国高一单元测试）设，则有（）ABCD23（2022安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知，则（）ABCD24（2022

5、湖北黄石高一期末）已知，则（）ABCD25（2022陕西西安高一期末）（1）计算：；（2）已知，求的值.26（2022浙江高一期中）已知函数(1)求的最小正周期和单调增区间；(2)当时，求.【高分突破】一、单选题27（2022全国高一）函数的最小正周期为（）ABCD28（2022陕西宝鸡市渭滨区教研室高一期末）若，则 （）ABCD29（2022全国高一专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的最小值为（）ABCD30（2022全国高一单元测试）已知函数，则（）A的最小正周期为B在区间上单调C的图象关于直线对称D的图象关于点对称31（2022四川成都高一期末（理）算下列式子，结

6、果为的是（）ABCD32（2022山东潍坊高一期末）已知函数，若的图像在区间上有且只有2个最低点，则实数的取值范围为（）ABCD33（2022陕西榆林市第十中学高一期末）若，则（）ABCD二、多选题34（2022湖北黄石高一期末）已知函数，则下列说法中正确的是（）A的最大值为2B的最小正周期为C的图像关于直线对称D的图像关于点对称35（2022江苏兴化市楚水实验学校高一阶段练习）下列化简结果正确的是（）ABCD36（2022山东淄博高一期末）已知函数，下列结论正确的是（）A是周期函数B的图象关于原点对称C的值域为D的单调递减区间为，37（2022辽宁大连高一期末）下列各式正确的是（）ABCD3

7、8（2022贵州黔东南高一期末）关于函数，下列说法中错误的是（）A其表达式可写成B曲线关于点对称C在区间上单调递增D，使得恒成立39（2022辽宁葫芦岛高一期末）几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割底与腰之比为黄金分割比（）的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36的等腰三角形例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形的边长为，则下列结论正确的是（）ABCD对任意的，三、填空题40（2022广东深圳市华美外国语（国际）学校高一期中）若，则_.41（2022西藏拉萨高一期末）已知函数，则下列结论中正

8、确的是_函数的最小正周期为时，取得最大值在上单调递增的对称中心坐标是42（2022全国高一）若是第三象限角，且，则_.43（2022全国高一）化简：_.44（2022全国高一）若函数在上的值域为，则的取值范围为_45（2022全国高一）已知函数图象的一条对称轴为，且函数在上单调，则的最小值为_.四、解答题46（2022江苏南通高一期末）已知，(1)求和的值(2)若，求的大小47（2022浙江永嘉中学高一）已知函数，且为奇函数.(1)求的解析式；(2)若方程在上有四个不同的实数解，求的值.48（2022全国高一）已知函数.(1)求函数的单调增区间；(2)求函数在区间上的最大值与最小值，以及此时的

9、取值.49（2022全国高一）化简：(1)；(2).50（2022全国高一）已知(1)求的值域；(2)若对任意的恒成立，求的取值范围51（2022云南红河高一期末）已知函数(1)求的最小正周期；(2)若方程的解为，求的值【答案详解】1B【解析】先根据已知求出，再化简代入得解.【详解】由得，故.所以.故选：B【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值常用的方法有：“三看三变”，“三看”指的是看角、看名、看式，“三变”指的是变角、变名、变式.要根据已知条件，灵活选择方法求解.2（1）；（2）【分析】（1）由已知求得，再由倍角公式、同角三角函数基本关系式化弦为切求解的值；（2）求解一元二次方程可得，由两角和

10、的正切求，结合角的范围可得的值【详解】解：（1）由已知得，所以，；（2）由，可得或，则，因为，则，则，所以3【分析】根据二倍角公式，结合题意，可求得的值，根据降幂公式，两角和的正弦公式，化简整理，根据齐次式的计算方法，即可得答案.【详解】因为，整理可得，解得或因为，所以则4(1)；(2)【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式对进行化简，即可得到答案；（2）利用得到，结合的范围求出，由即可求得答案（1），所以的最小正周期为；（2）因为，所以，因为，所以， 因为，所以，所以5(1)（kZ）(2)最大值为1，最小值为-.【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三

11、角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案；（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.【详解】（1）=.因为ysinx的单调递增区间为（kZ），令（kZ），得（kZ）.所以的单调递增区间为（kZ）.（2）因为x0，所以2x.当2x=，即x时，最大值为1，当2x=，即x时，最小值为-.6(1)(2)(3)【分析】（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简，用周期的计算公式即可求解；（2）整体代入正弦函数的单调递增区间中，求解不等式即可；（3）画出图象，根据图象交点个数即可求解.（1）由得，故最小正周期为,（2）由，解得，故的单调递增区间为（3）令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且

12、，则问题等价于在有两个根，由的图象可知：当时，有两个根.故7（1）；（2）.【分析】（1）判断角的范围，利用同角的三角函数关系求得 ，,将化为,即可利用两角差的正弦公式求得答案;（2）利用诱导公式以及三角恒等变换公式，即可化简求值.【详解】（1），,又 ， , ，, ;（2） .8(1)(2)【分析】（1）结合三角恒等变换的知识化简的解析式.（2）利用平方的方法求得正确答案.【详解】（1），所以， .（2），两边平方得，.9(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换整理化简，根据题意代入整理得，结合角的范围求解；（2）根据题意代入整理，以为整体运算求解，注意根据角的范围判断三角函数值的符号【详

13、解】（1）因为.所以.因为函数的图象过点，所以.因为，所以，所以，解得.（2）因为，所以.因为，所以.所以，又，所以.因为，所以，所以.10A【分析】利用两角和与差的余弦公式即可求解.【详解】由已知得,，, , 即，故选：.11C【分析】利用诱导公式及二倍角公式得到，再由两角和差的余弦公式得到，即可得解；【详解】解：因为，即所以，即，即，所以，所以，即，因为，所以，所以，即，所以为等腰三角形；故选：C12C【分析】利用三角恒等变换化简已知条件可得B，故可判断三角形形状.【详解】由知，在ABC中，即ABC为直角三角形故选：C13(1)(2)【分析】（1）有二倍角的余弦公式化简，由二次函数的性质求

14、数的最大值；（2）由三角恒等变换化简，令，即可求出函数的单调递增区间.（1）设.于是，.当时，.（2）令，则.因此，函数的单调递增区间为.14(1)，对称中心为(2)【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得，再由的取值范围，求出的范围，即可求出，最后根据及两角和的余弦公式计算可得.【详解】（1）解：因为，即，所以的最小正周期为令，解得，所以函数的对称中心为（2）解：因为，即，所以，因为，所以，所以，所以15(1)证明见解析(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简即可得到结果；（2）采用整体对应的方式进行求解即可

15、；（3）将问题转化为与的图象在上的交点个数问题，作出图象，采用数形结合的方式可得结论.(1).(2)当时，当或，即或时，单调递减；当，即时，单调递增；综上所述：在和上单调递减；在上单调递增.(3)在的零点个数等价于与的图象在上的交点个数；，大致图象如下图所示，当时，由图象可知：与有有且仅有两个不同的交点，函数在上有且仅有两个零点.16（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据角终边上的点坐标求、，进而求即可；（2）利用二倍角正余弦公式、同角的弦切关系，即可证恒等式.【详解】（1）当时，点到原点的距离为，由三角比的定义得：，；（2）证明：17（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）分

16、别从左边，右边化简，即可证明；（2）左边，右边分别化弦即可求证.【详解】（1）左边；右边左边，原等式成立.（2）左边，右边，左边右边，原等式成立.18（）见解析（）【解析】（）根据两角和的余弦公式将展开，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式即可化简得到；（）根据，再根据基本不等式即可求出最大值【详解】（）由得，所以，即（）因为而，所以的最大值为【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的数学运算能力，转化能力，以及逻辑推理能力，属于中档题19A【分析】结合二倍角公式、诱导公式，由即可转化求值【详解】故选：A20C【分析

17、】由和差公式化简函数，由整体法令，即可求解.【详解】，令，即，故函数图象的一条对称轴方程为故选：C21B【分析】将解析式用正余弦的和差角公式展开化简，即可得到结果.【详解】因为所以，故选: B.22C【分析】利用辅助角公式化简，利用倍角公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】，.因为函数在上是增函数，所以.故选：C.23D【分析】利用倍角公式，即得.【详解】因为，所以.故选：D.24A【分析】将化为，利用诱导公式以及二倍角的余弦公式，化简求值，可得答案.【详解】因为，所以,故选：A.25（1）；（2）.【分析】（1）根据诱导公式，辅助角公式以及二倍角公式即可解出；（2）根据诱导公式，商

18、数关系即可解出【详解】（1）.（2），则.26(1)最小正周期为，单调递增区间为(2)【分析】（1）先化简，再由周期公式可得周期，由可解得递增区间；（2）由可得，进而得，则，即可求解【详解】（1）因为，所以的最小正周期为，由，得；所以单调递增区间为.（2）因为，所以，即，又，则，又，则，那么，从而.27C【分析】由降幂公式和诱导公式即可得到，再通过即可求解.【详解】因为，所以故选：C28A【分析】根据，利用二倍角的余弦公式求得，即可求得，化简，即可得答案.【详解】因为，故，解得 ，则，故，故选：A29A【分析】化简函数的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，

19、即可求得的最小值.【详解】因为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，因为函数为偶函数，则，解得，则当时，取最小值.故选：A.30C【分析】首先利用二倍角公式以及辅助角公式将函数，然后利用性质解题.【详解】对于选项A，的最小正周期，A选项错误；对于选项B，由解得，B选项错误； 对于选项C，由解得，当时，所以的图象关于直线对称，选项C正确；对于选项D，由解得，当时，所以，的图象关于点对称，D选项错误.故选：C.31B【分析】分别利用两角和和差，二倍角公式，化简三角函数，即可判断选项.【详解】A.原式，故A错误；B.，所以，故B正确；C. ，故C错误；D. ，故D错误.故选：B32C【分

20、析】利用辅助角公式化简为，根据的范围，可求出的范围，根据题意分析可得，计算可求出答案.【详解】由题意，因为，所以，解得：.故选：C.33A【分析】化简得出，等式两边平方可得出关于的方程，结合的取值范围可求得的值.【详解】由可得，则，因为，等式两边平方可得，即，解得.故选：A.34ABC【分析】将解析式经过恒等变换后化为，再对其性质逐一判断即可.【详解】因为，所以的最大值为2，故A正确.最小正周期是，故B正确.将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确.当时，所以的图像关于点对称故D错误.故选: ABC.35ACD【分析】由正切倍角公式即可判断A选项；由诱导公式及正弦倍角公式即可判断B选项；由

21、辅助角公式即可判断C选项；由正切和角公式即可判断D选项.【详解】对于A，A正确；对于B，B错误；对于C，C正确；对于D，D正确.故选：ACD.36AC【分析】利用函数周期的定义可判断A选项；利用函数的奇偶性可判断B选项；考查函数在上的值域，可判断C选项；求出函数的单调递减区间，可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，故函数为周期函数，A对；对于B选项，为偶函数，B错；对于C选项，由A选项可知，函数是周期函数，且周期为，不妨考虑函数在上的值域即可，当时，则，因为函数为偶函数，故函数在上的值域也为，因此，函数的值域为，C对；对于D选项，考虑函数在上单调递减区间，当时，且，由可得，由可得，由可得，所

22、以，函数在上的递减区间为，递增区间为、，由于函数为偶函数，故函数在上的减区间为、，因此，函数的单调递减区间为、，D错.故选：AC.37AC【分析】结合三角恒等变换对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，所以，A选项正确.B选项，B选项错误.C选项，C选项正确.D选项，D选项错误.故选：AC38ABD【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，可判断选项A；当时，求出函数值，可判断选项B；利用区间范围以及整体代换，判断单调性，可得选项C正确；利用最小正周期的定义结合函数解析式判断选项D【详解】 ， ，所以A不正确；当时，有，所以B不正确；当时，有，因为，所以C正确；的最小正周期，若，使

23、得恒成立，说明是f(x)的一个周期，而，与“f(x)最小正周期为”矛盾，因此D不正确故选：ABD39ACD【分析】依题意，即，再根据所给定义及三角恒等变换公式一一计算可得；【详解】解：依题意，即，在中，由正弦定理可得，所以，因为，所以，所以，即，故A正确；又，、，所以，即，所以，即，所以，故C正确，B错误；因为，所以，则，所以，故D正确；故选：ACD40【分析】根据二倍角的正弦公式先化简，再利用同角三角函数间的基本关系求解即可.【详解】解：若，则，故答案为：.【点评】本题考查二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，属于基础题.41【分析】利用二倍角和辅助角公式化简可得，根据正弦型函数最小正

24、周期、最值点、单调性和对称中心的求法依次判断各个选项即可.【详解】；对于，的最小正周期，正确；对于，当时，此时不取最大值，错误；对于，当时，此时单调递增，正确；对于，令，解得：，此时，的对称中心为，错误.故答案为：.42【分析】利用两角差的正弦公式化简已知条件，求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，结合降幂公式求得.【详解】，由于是第三象限角，所以，所以.故答案为：43【分析】由诱导公式与三角恒变换公式求解即可【详解】，.又，且，.，.故答案为：44【分析】根据辅助角公式，可得，根据函数的值域及单调性，分析计算，即可得答案.【详解】由题意得，因为，所以，令，解得；令，解得，所以当时，函数值是

25、，当时，函数值是，当时，函数值是；因为函数在上单调递增，在上单调递减，且值域为，所以的取值范围故答案为：45【分析】由题可知当时，函数应该取到最值，结合辅助角公式可先求得，结合，两点关于对称中心对称，求出的通式，即可求解.【详解】由题意，其中，因为对称轴，所以，即，解得，所以，对称轴方程为，又因为在上具有单调性，且，设，则线段的中点为函数的对称中心，由，可得，所以， ，当时，取最小值，此时，即，时取最小值. 故答案为：.46(1)，；(2)【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得，以及求值；（2）条件等式由诱导公式可得，即可由和差公式求得，结合范围即可.（1），；（2），.47(1)

26、；(2).【分析】（1）根据降幂公式、奇函数的性质进行求解即可；（2）根据正弦函数的性质，结合整体思想进行求解即可.（1）为奇函数的图像关于点对称，；（2），方程，即方程在上有四个不同的实数解，则或，即或，当，即时，则，当，即， ，所以.48(1)(2)当，最大值为；当，最小值为.【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由，得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.（1）解：由函数，令，解得，所以函数的单调增区间为.（2）解：由（1）知因为，可得，当时，即，函数取得最大值，最大值为；当时，即，函数取得最小值，最小值为.49(1)(2)【分析】（1）先求出的范围，再利用

27、二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可，（2）利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可.（1）因为，所以，所以原式.（2）因为，所以.又因为，且，所以原式，因为，所以，所以.所以原式.50(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得对任意的恒成立，参变分离可得对任意的恒成立，再利用二倍角公式、同角三角函数基本关系及对勾函数的性质计算可得.（1）解：即，所以.（2）解：由得对任意的恒成立，因为，所以，即对任意的恒成立，只需要，又，令，当时，所以，其中，即，则或（舍去），又函数在上单调递减，所以在上单调递减，当时，所以51(1)(2)【分析】（1）由三角恒等变换化简，由最小正周期的定义即可求出答案.（2）方程的解即为与的交点的横坐标，由对称关系数形结合即可求出答案.（1）的最小正周期为.（2），则， ，则与的交点的横坐标为如图：不妨设由对称关系得：解得,解得 ，