6.1 平行四边形的性质（解析版）.docx

1、6.1 平行四边形的性质课堂知识梳理1.平行四边形的对边平行且相等。2.平行四边形相邻的角互补，对角相等3.平行四边形的对角线互相平分。4.平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。5.常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，这条直线二等分此平行四边形的面积。（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。课后培优练 培优第一阶基础过关练1下列说法错误的是（）A平行四边形是中心对称图形 B平行四边形是轴对称图形 C平行四边形的对角线互相平分 D平行四边形对角相等 【答案】B【详解】解：平行四边形是中心对称图形，正确，故A不符合要求；平行四边形是轴对称图形，错误，故B符合要求；平行

2、四边形的对角线互相平分，正确，故C不符合要求；平行四边形对角相等，正确，故D不符合要求；故选：B2（2023春河南洛阳八年级统考期中）在ABCD中，A的度数:B的度数=2:3，则D=（）A36B108C72D60【答案】B【详解】解：由平行四边形的性质可得，A+B=180，D=B，A:B=2:3，B=35180=108，D=108，故选：B3（2023湖南邵阳校联考二模）如图，在ABCD中，AB=13，AD=5，ACBC，则ABCD的面积为（）A30B60C65D652【答案】B【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC=5，ACBC，ACB=90，在RtABC中，由勾股定理得AB2-

3、BC2=132-52=12，ABCD的面积为BCAC=512=60，故选：B4（2023春北京海淀八年级清华附中校考期中）如图，在ABCD中，AECD于点E，B=60，则DAE等于（）A15B30C45D60【答案】B【详解】解：在ABCD中，B=60，D=B=60，AECD，DAE=90-D=30故选B5（2023春湖南永州八年级统考期中）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=7，OCD的周长为19，则ABCD的两条对角线的和是（）A12B13C26D24【答案】D【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，AB=7，AB=CD=7，BD=2DO，AC=2OC，OCD的周长为19，O

4、D+OC=19-7=12，BD=2DO，AC=2OC，平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2DO+OC=24，故选：D6（2023春北京大兴八年级统考期中）如图，在ABCD中，AB=3，BC=5，BD的垂直平分线交BD于点E，交AD于点F，连接BF，则ABF的周长是（）A6B8C9D10【答案】B【详解】解：EF是BD的垂直平分线FD=FB，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，ABF的周长是AB+AF+FB=AB+AF+FD=AB+AD=AB+BC=3+5=8，故选：B7（2023春浙江杭州八年级期中）如图，在ABC中，AB=AC点E，F，D分别在AB，AC，BC上，且AEDF

5、是平行四边形若CFD和DEB的周长分别为5和10，则ABC的周长是_【答案】15【详解】解：CFD和DEB的周长分别为5和10，CF+CD+FD=5，DE+EB+DB=10，CF+DE+CD+DB+FD+EB=15，AEDF是平行四边形，AE=DF，AF=DE，CF+AF+CD+DB+AE+EB=15，ABC的周长是15，故答案为：158（2022春浙江宁波八年级校考期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE和BF分别平分DAB和CBA，交CD于E，F，AE与BF相交于点P若AD=6，DC=10，则EF的长为 _【答案】2【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，ABDC，DEA=EAB，AE

6、平分DAB，DAE=BAE，DAE=DEA，AD=DE，AD=6，DC=10，DE=AD=6，EC=DC-DE=10-6=4，四边形ABCD是平行四边形，ABDC，AD=BC=6，CFB=FBA，BF平分CBA，CBF=FBA，CFB=CBF，BC=FC=6，EF=FC-EC=6-4=2故答案为：29在平面直角坐标系中，点A-2，0，B2，3，C0，4，点D为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标_【答案】4，7或0，-1或-4，1【详解】解：分三种情况：BC为对角线时，CD平行且等于AB，可知点D的坐标为4，7；AB为对角线时，AC平行且等于BD，可知

7、点D的坐标为0，-1；AC为对角线时，AB平行且等于CD，可知点D的坐标为-4，1；综上所述，点D的坐标可能是4，7或0，-1或-4，1，故答案为：4，7或0，-1或-4，110（2023陕西西安高新一中校考模拟预测）如图，在ABCD中，E，F为对角线AC所在直线上的两个点，且AE=CF，连接BE，DF求证：BE=DF【答案】证明见解析【详解】解：AE=CF，AE+AC=CF+AC，即CE=AF四边形ABCD为平行四边形，BC=AD，BCAD，ACB=CAD，即ECB=FAD，ECBFAD(SAS)，BE=DF11（2023山东菏泽统考一模）如图，E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，A

8、D=CE求证：ABCDCE【答案】见解析【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD,AB=CD，B=DCE，又AD=CEBC=CE在ABC和DCE中，AB=DCB=DCEBC=CE，ABCDCESAS培优第二阶拓展培优练12如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 _cm2【答案】16【详解】解：O是平行四边形两条对角线的交点，平行四边形ABCD是中心对称图形，OEFOHM，四边形OFBG四边形OMDN，四边形OGCH四边形ONAE，S平行四边形ABCD=2阴影部分的面

9、积=28=16（cm2）故答案为：1613在平面直角坐标系中，已知点A5,0，B-1,-3，C2,-5，以A，B，C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是_（写出所有情况）【答案】（2，2），（8，-2），（-4，-8）【详解】解：如图，当四边形ACBD为平行四边形时，D（2，2）；当四边形ABCD为平行四边形时，D（8，-2）；当四边形ABDC为平行四边形时，D（-4，-8）；故答案为：（2，2），（8，-2），（-4，-8）14如图，在RtABC中，B=90，BAC=60，AB=1，点D在BC边上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，当DE的最小时，平行四边形ADCE面积为_.【答案

10、】32【详解】解：在RtABC中，B=90，BAC=60，AB=1BCA=30AC=2AB=2，四边形ADCE是平行四边形CO=12AC=1，DE=2OD故当DE取最小值时，OD也取最小值，根据“在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短”当ODBC时，OD取最小值BCA=30此时OD=12CO=12根据勾股定理可得：CD=CO2-OD2=32SCDO=12CDOD=38平行四边形ADCE面积=4SCDO=32.故答案为32.15如图，在ABCD 中，A60，AB8，AD6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则

11、 AE 的长为 【答案】143或285【详解】设点A落在BC边上的A点如图1，当AC=13BC=2时，AB=4，设AE=x，则AE=x，BE=8-x过A点作AM垂直于AB，交AB延长线于M点，在RtABM中，ABM=60，BM=2，AM=23在RtAEM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=285即AE=285；如图2，当AB=13BC=2时，设AE=x，则AE=x，BE=8-x过A点作AN垂直于AB，交AB延长线于N点，在RtABN中，ABN=60，BN=1，AN=3在RtAEN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=143即AE=143；所以AE的长为5.

12、6或143故答案为5.6或14316如图所示，平行四边形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1,平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为邻边作平行四边形ABC2O2,，依次类推，则平行四边形ABCnOn的面积为_【答案】52n-1【详解】解：四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O，SABO1=14SABCD，又SABC1O1=2SABO1，SABC1O1=121SABCD，同理可得SABC2O2=12SABC1O1=1212SABCD=122SABCD，SABC3O3=12SABC2O2=12122

13、SABCD=123SABCD，以此类推有：SABCnOn=12nSABCD，而SABCD=10SABCnOn=12nSABCD=12n10=52n-1，故答案为：52n-117在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=EF=CF，连接BE、DF(1)如图1，求证：BE=DF(2)如图2，连接DE，BF，在不添加任何辅助线条件下，请直接写出图2中所有与四边形BEDF面积相等的三角形【答案】(1)见解析(2)ABF,BCE,CDE,ADF【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,ABCD，BAE=DCF，AE=CF，BAEDCFSAS，BE=DF；（2）解：BAEDCF

14、，AEB=CFD，AEB+AEB=CFD+CFD=180FEB=EFD，BEFD，BE=DF，四边形BEDF为平行四边形，SBEDF=2SBEF=2SDEF，AE=EF=CF，SABF=2SBEF,SBCE=2SBEF,SADF=2SDEF,SCDE=2SDEF，与四边形BEDF面积相等的三角形有：ABF,BCE,CDE,ADF18（2023河北衡水校联考模拟预测）如图，在ABCD中，E是BC边上一点，连接AE、AC、ED，AC与ED交于点O，AE=AB，求证：(1)AC=DE(2)OE=OC【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）ABCD中，ABCD，AB=CD，B+BCD=180AB

15、=AE，AE=CD，B=AEB，AEB+AEC=180，AEC=ECD，AE=CDAEC=ECDEC=CE，AECDCE，AC=DE（2）由（1）得AECDCE，OEC=OCE，OE=OC19如图，在ABCD中，点E为AD中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接AF(1)如图1，求证：CD=DF；(2)如图2，连接AC，请直接写出图中面积等于AEF面积2倍的所有三角形【答案】(1)见解析(2)ADF，ABF，ABC，ADC【详解】（1）ABCD为平行四边形，AB=CD，ABCD， ABE=DFE，BAE=FDE，E为AD中点，AE=DE，AEBDEFAB=DF，CD=DF；（2）如图，A

16、E=DE,SAEF=SDEF，SADF=SAEF+SDEF=2SAEF,AEBDEF,BE=FE,SABE=SAFE,SABF=2SAEF；AB=DF,AB=CDCD=DF,SABC=SACD=SADF=2SAEF，等于AEF面积2倍的三角形有ADF，ABF，ABC，ADC20探究：如图1，在ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F(1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等(2)直线EF是否将ABCD的面积分成二等份？试说明理由(3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块

17、地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开【答案】(1)证明见解析(2)直线EF是将ABCD的面积分成二等份，理由见解析(3)见解析【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD,OA=OC,ADBC，OAE=OCF，在OAE和OCF中，OAE=OCFOA=OCAOE=COF，OAEOCFASA，AE=CF，同理可证：ODEOBF，DE=BF，AB+AE+EF+BF=CD+CF+EF+DE，四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等（2）解：直线EF是将ABCD的面积分成二等份，理由如下：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD,OA=OC,OB=OD，在AOB和COD中，AB=CDOA=

18、OCOB=OD，AOBCODSSS，SAOB=SCOD，由（1）已证：OAEOCF，ODEOBF，SOAE=SOCF，SODE=SOBF，SAOB+SOAE+SOBF=SCOD+SOCF+SODE，四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等，即直线EF将ABCD的面积分成二等份（3）解：连接AC,BD交于点O，作直线OP，则直线OP两侧的四边形面积相等，如图所示：培优第三阶中考沙场点兵21（2022辽宁朝阳统考中考真题）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，EFG90，EGF60，AEF50，则EGC的度数为（）A100B80C70D60【答案】B【详解】解：四边形ABCD是

19、平行四边形，ABDC，AEG=EGC，EFG=90，EGF=60，GEF=30，GEA=80，EGC=80故选：B22（2022江苏淮安统考中考真题）如图，在ABCD中，CAAB，若B=50，则CAD的度数是_【答案】40/40度【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，CAD=ACB，CAAB，BAC=90，B=50，ACB=90-B=40，CAD=ACB=40，故答案为：4023（2022广东广州统考中考真题）如图，在ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则BOC的周长为_【答案】21【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，AO=OC=12AC，B

20、O=OD=12BD，BC=AD=10,AC+BD=22，OC+BO=11，BC=10，BOC的周长=OC+OB+BC=16+10=21故答案为：2124（2022黑龙江牡丹江统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A-1,2，OC=4，将平行四边形OABC绕点O旋转90后，点B的对应点B坐标是_【答案】-2,3或2,-3【详解】解：A(-1，2)， OC= 4， C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)， BM = 3，AB/x轴，BM= 3将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90后，由旋转得：OM=OM1=OM2=2，AOA1=AOA2=90BM=B1M1=B2M2=3，A1B

21、1x轴，A2B2x轴，B1和B2的坐标分别为： (-2，3)， (2，-3)，B即是图中的B1和B2，坐标就是， B (-2， 3)， (2，-3)，故答案为： (-2，3)或 (2， -3)25（2022辽宁盘锦中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，AB2，BC3按以下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；作直线MN若直线MN恰好经过点A，则平行四边形ABCD的面积是 _【答案】42【详解】解：如图，设MN交CD于点T四边形ABCD是平行四边形，ABCD2，ADBC3，根据题意，由基本作图可知AT垂直平分线段CD，CTTD1，ADAC3，AT

22、=AC2-CT2=32-12=22，平行四边形面积S=CDAT=222=42故答案为：4226（2022山东烟台统考中考真题）如图，在ABCD中，DF平分ADC，交AB于点F，BEDF，交AD的延长线于点E若A40，求ABE的度数【答案】70【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，A+ADC180，A40，ADC140，DF平分ADC，CDF12ADC70，AFDCDF70，DFBE，ABEAFD7027（2022四川泸州统考中考真题）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，已知AE=CF求证：DE=BF【答案】见解析【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形，A=C，AD=CB，在ADE和CBF中，AD=CBA=CAE=CF，ADECBFSAS，DE=BF