6.2.3 平面向量的坐标及其运算-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版).docx

1、6.2.3平面向量的坐标及其运算学 习 目 标核 心 素 养1掌握平面向量的正交分解及其坐标表示(重点)2会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算(重点)3会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题(重点、难点)1通过学习向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养2通过向量的直角坐标运算，提升数学运算的核心素养.通过上节课的学习我们知道，以单位向量e为基底建立数轴，则数轴上的向量坐标等于它的终点坐标，类似地，请思考：问题1：平面直角坐标系的基底应满足什么条件？提示基底i，j中，i，j为单位向量且相互垂直问题2：在直角坐标系中(如图)，向量应怎样用

2、基底表示？提示xiyj.问题3：若点A的坐标为(x，y)，则向量的坐标与(x，y)有什么关系？提示的坐标也是(x，y)1平面向量的正交分解2向量的坐标(1)一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果axe1ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a(x，y)(2)向量的坐标：设点A的坐标为(x，y)，则(x，y)符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量思考：向量的终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗？提示向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同3向量的

3、运算与坐标关系设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ab的充要条件是x1x2，且y1y2.(2)ab(x1x2，y1y2)(3)uavb(ux1vx2，uy1vy2)(4)uavb(ux1vx2，uy1vy2)拓展(1)区别的坐标与ab的坐标：的坐标为终点坐标减去始点坐标，而ab的坐标是对应的坐标相减(2)如果向量以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标不同4平面上两点间距离公式与中点坐标公式平面上两点A(x1，y1)B(x2，y2)间的距离公式AB|，AB的中点坐标公式5向量平行的坐标表示(1)设a(x1，y

4、1)，b(x2，y2)，则abx2y1x1y2.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果向量b不平行于坐标轴，即x20，y20，则ab.1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关()(4)向量(2,3)与向量(4，6)同向()(1)(2)(3)(4)对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样(2)根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标(3)根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关(4)因为(4

5、，6)2(2,3)，所以向量(2,3)与向量(4，6)反向2已知向量ae12e2，b2e1e2，其中e1，e2不共线，则ab与c6e12e2的关系是()A不共线B共线C相等D不确定Bab3e1e2，c2(ab)，ab与c共线3已知点A(1，3)，的坐标为(3,7)，则点B的坐标为()A(4,4) B(2,4)C(2,10)D(2，10)A设点B的坐标为(x，y)，由(3,7)(x，y)(1，3)(x1，y3)(3,7)，得B(4,4)4已知向量a(x3，x23x4)与相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x_.1易得(2,0)，由a(x3，x23x4)与相等得解得x1.平面向量的坐标表示【例

6、1】(1)如图所示，若向量e1，e2是一组单位正交向量，则向量2ab在平面直角坐标系中的坐标为()A(3,4)B(2,4)C(3,4)或(4,3)D(4,2)或(2,4)(2)如图，在直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，a，b.四边形OABC为平行四边形求向量a，b的坐标；求向量的坐标；求点B的坐标思路探究(1)借助平面向量的正交分解直接求解(2)由OA4，AOx45，结合三角函数，求出点A的坐标，从而求出a的坐标，再由OAB105，得出COy，进而得点C的坐标，根据得出b的坐标由中b的坐标及b与的关系得出的坐标可借助求出点B的坐标(1)A以向量a，b公共的起点为坐标

7、原点，建立如图坐标系，因为e1(1,0)，e2(0,1)，所以2a(2,1)，b(1,3)，所以2ab(2,1)(1,3)(3,4)，即2ab在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)，故选A.(2)解作AMx轴于点M(图略)，则OMOAcos 4542，AMOAsin 4542，所以A(2，2)故a(2，2)因为AOC18010575，AOy45，所以COy30.又OCAB3，所以C，所以，即b.由知b.(2，2)，所以点B的坐标为.求向量坐标的三个步骤1在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|2，|b|3，|c|4，分别计算出它们的坐标解设a(x1，y1)，则x12cos 4

8、5，y12sin 45，a(，)设b(x2，y2)，则x23cos 120，y23sin 120，b.设c(x3，y3)，x34cos 3302，y34sin 3302，c(2，2). 平面向量的坐标运算【例2】(1)设(2,3)，(m，n)，(1,4)，则()A(1m,7n)B(1m，7n)C(1m,7n)D(1m ，7n)(2)已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()A. B.C.D.(8,1)(3)若A，B，C三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求2，的坐标思路探究(1)可利用向量加法的三角形法则将分解为来求解(2)可借助来求坐标(3)可利用(xBxA，yBy

9、A)来求解(1)B(2)A(1)(1,4)(m，n)(2,3)(1m，7n)(2)A()(8,1).(3)解(2,10)，(8,4)，(10,14)，2(2,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(18,18)，(8,4)(10,14)(8,4)(5,7)(3，3)平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行2已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.解(1)2a3b2(1,

10、2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1)(3)ab(1,2)(2,1).向量坐标运算的综合应用探究问题1已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及t.当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？提示t(1,2)t(3,3)(13t,23t)若点P在x轴上，则23t0，t.若点P在y轴上，则13t0，t.若点P在第二象限，则t.2对于探究1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由提示(1,2)，(33t,33t)，若四边形OABP为平行四边形，则，该方程组无解故四边形

11、OABP不能为平行四边形3已知在非平行四边形ABCD中，ABDC，且A，B，D三点的坐标分别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点C的横坐标的取值范围是什么？提示当ABCD为平行四边形时，则(2,0)(1,1)(3,1)，故满足条件的顶点C的横坐标的取值范围是(1,3)(3，)【例3】(1)已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)若AAA(R)，试求为何值时，点P在一、三象限角平分线上？点P在第三象限内？(2)已知向量a(1,2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，求的值思路探究(1)先用表示点P的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解(2)根据向量坐标的条件关系求出参数解

12、(1)设点P的坐标为(x，y)，则A(x，y)(2,3)(x2，y3)，AA(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17)AAA，则若P在一、三象限角平分线上，则5547，即时，点P在一、三象限角平分线上若点P在第三象限内，则1.即1时，点P在第三象限内(2)a2b(1,2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1,2)2(，1)(22，2)，由(a2b)(2a2b)，可得2(12)4(22)0，解得.1利用向量共线的条件处理求值问题的思路(1)利用共线向量定理ab(b0)列方程组求解(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2x2y10直接求解2三点共线问题的处理方法三

13、点共线问题的实质是向量共线问题，只要利用三点构造出两个向量，再使用向量共线的条件解决即可3已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解由已知得，kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，kab与a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k.此时kab(a3b)，当k时，kab与a3b平行，并且反向.一、知识总结1平面向量的正交分解及坐标表示2平面向量坐标的运算3两点间的距离公式与中点坐标公式4向量平行的坐标表示二、方法归纳向量运算代数化三、常见误区向量的坐标不一定是终点的坐标向量平行的坐标表示1若a(2,1)，b(1,0)，则3a2b的

14、坐标是()A(5,3) B(4,3) C(8,3) D(0，1)B3a2b3(2,1)2(1,0)(4,3)2下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是()Aa(2,4)，b(0,3)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(2，1)，b(3,7)Da(4，2)，b(8,4)D对于D选项，b2a，即ab，故a与b不能作为平面内所有向量的一组基底3若向量(1,2)，(3,4)，则等于()A(4,6) B(4，6)C(2，2)D(2,2)A(1,2)(3,4)(4,6)4已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_(3，4)，则与同方向的单位向量为(3，4).5已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，求实数x的值解因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2ab2(1,2)(x,1)(2x,3)又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，解得x.