6.3.4-6.3.5 平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示(析训练)-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第二册）.docx

1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)6.3.46.3.5平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示一、单选题1（2021湖南师大附中）已知向量，若，则（ ）ABCD52（2021北京）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，那么（ ）AB1CD23（2022全国）已知A(1，2)，B(3，1)，C(3，4)，则等于（ ）A11B5C1D24（2022全国（文）已知向量，则（ ）AB2CD505（2022江西（文）已知平面向量，若，则实数的值为（ ）A10B8C5D36（2021北京师大附中）已知向量，则（ ）ABCD7（2022黑龙江大

2、庆（文）若向量，则（ ）ABCD8（2022北京人大附中）如图，正方体的边长为6，点，分别在边，上，且，点P在正方形的边上，且，则满足条件的点的个数是（ ）A0B2C4D69（2022全国）设，向量，且，则（ ）A5BCD610（2021四川宜宾（理）已知向量，若，则=（ ）A-2或B-2或C-2D11（2022河南南乐（文）已知向量、的夹角为，且，则（ ）A1B2C3D412（2022黑龙江哈尔滨德强学校（文）已知向量，则下列说法不正确的是（ ）A若，则的值为B若，则的值为2C的最小值为1D若与的夹角为钝角，则的取值范围是二、多选题13（2021浙江丽水外国语实验学校）如果平面向量，那么下列

3、结论中正确的是（ ）ABC与的夹角为D在方向上的投影向量为14（2021河北石家庄市第一中学东校区）下列说法中错误的为（ ）A已知，且与夹角为锐角，则B已知，不能作为平面内所有向量的一组基底C若与平行，在方向上的投影为D若非零向量，满足，则与的夹角是15（2021福建泉州科技中学）设向量，则下列叙述错误的是（ ）A若，则与的夹角为钝角B的最小值为2C与垂直的单位向量为D若，则或16（2022山东枣庄）已知在等腰中，是底边的中点，则（ ）A在方向上的投影向量为B在边上存在点使得CD17（2021河北元氏县第四中学）已知向量，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则18（2021湖南

4、益阳市箴言中学）已知是边长为4的等边三角形，为所在平面内一点，则的值可能为（ ）ABCD三、填空题19（2022全国）已知向量，则_.20（2021河南（文）已知向量，则_.21（2022全国）在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则_.22（2022河北）已知向量，若两个向量共线，则_.23（2022河北张家口）已知向量，向量，若，则实数_.24（2021北京市第五中学通州校区）已知向量，若，则实数_四、解答题25（2021辽宁大连）已知，(1)若，且，求；(2)若与互相垂直，求实数26（2020全国高一单元测试）已知平面内三个向量：，.（1）

5、若，求，的值；（2）若，且，求；（3）若，且，求.27（2022全国）已知向量(1)若，求x的值；(2)记，解不等式.28（2021江苏高一单元测试）平面内给定三个向量.（1）求；（2）求满足的实数m和n；（3）若，求实数k.29（2021上海高一单元测试）已知中是直角，点是的中点，为上一点（1）设，当，请用，来表示，；（2）当时，试求30（2021江苏省邗江中学高一期中）已知向量，设(1)若，求函数的最大值和最小值；(2)若，且，求的值31（2021吉林长春市第二实验中学高一阶段练习）如图，已知矩形，点为矩形内一点，且，设.（1）当时，求证：；（2）求的最大值.参考答案：1D【解析】【分析】

6、根据求得，由此求得，进而求得.【详解】由题意可得，解得，所以，因此故选：D2B【解析】【分析】根据数量积的坐标运算进行求解.【详解】解：建立如图所示的直角坐标系由题意可知，故选：B3D【解析】【分析】直接利用向量数量积的坐标运算即可解决【详解】, 故选: .4A【解析】【分析】根据向量运算得，再根据向量模的坐标表示求解即可.【详解】解：因为，所以，所以.故选：A.5A【解析】【分析】由，得，将坐标代入化简计算可得答案【详解】因为，所以.因为，所以，解得.故选：A.6D【解析】【分析】根据向量，利用共线向量定理和数量积运算求解.【详解】因为向量，所以，则，即，故选：D7B【解析】【分析】根据向量

7、垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量数量积的坐标表示可判断C；根据向量模的坐标表示可判断D，进而可得正确选项.【详解】因为向量，对于A：若，则，解得：，所以不存在，使得，故选项A不正确；对于B：若，则，可得，所以存在，使得，故选项B正确；对于C：令可得：，所以存在使得，故不成立，故选项C不正确，对于D：，若，则，此方程无解，所以不存在，使得，故选项D不正确；故选：B.8D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点和的坐标，分别在正方形的各条边上设出点的坐标，根据向量数量积坐标运算得出关于的一元二次方程，判断该方程的解的个数即可.【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴

8、，建系如图：因为正方形边长为6，所以 若点在边上，设，则，即，无解；若点在边上，设，则，则或，故在边上有两个点满足条件；若点在边上，设，则，即，故在边上有两个点满足条件；若点在边上，设，则，则或，故在边上有两个点满足条件；综上所述，共有6个点满足条件.故选：D.9B【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得，进而得，再计算向量的模即可得答案.【详解】解：因为向量，且，所以，解得，即所以，所以.故选：B10B【解析】【分析】根据，由向量的坐标运算可得，消去解一元二次方程即可得答案.【详解】解：因为向量，且，所以，即，消去可得，解得或，故选：B.11A【解析】【分析】由，平方可得，整理得，即可求解结果

9、【详解】由，可得，由，平方可得，所以，所以，整理得，解得或（舍），故选：A12D【解析】【分析】根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.【详解】A选项，若，则，A选项说法正确.B选项，若，两边平方并化简得，即，B选项说法正确.C选项，当时，有最小值为，C选项说法正确.D选项，若与的夹角为钝角，则，D选项说法不正确.故选：D13AB【解析】【分析】根据向量模、共线、夹角、投影向量等知识确定正确选项.【详解】，A正确.，所以且反向，所以B正确，C错误.在方向上的投影向量为，D错误.故选：AB14ACD【解析】【分析】由向量的数量积，向量的夹角，判断；向量的基本定理判断；向量的投影判断；平

10、面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识判断【详解】解：对于，与的夹角为锐角，且时与的夹角为，所以且，故错误；对于向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，正确；对于若，则在方向上的正射影的数量为，故错误；对于因为，两边平方得，则，故，而向量的夹角范围为，得与的夹角为，故项错误故选：15CD【解析】【分析】结合平面向量的数量积及夹角的概念即可判断A选项；结合平面向量的模长公式即可判断B选项；结合平面向量垂直的坐标运算以及单位向量的概念即可判断C选项；结合模长公式即可判断D选项.【详解】解：对于A、因为向量，所以当时，且，即与的夹角为钝角，因此A正确；对于B、因为，所以的的最小值为2，因此

11、B正确；对于C、设与垂直的单位向量为且，所以且，解得或因此与垂直的单位向量为或，所以C不正确；对于D、因为，所以，解得或，所以D不正确；故选：CD16BCD【解析】【分析】对于A，利用向量的加法运算和数量积的几何意义判断即可，对于B，如图建立坐标系，利用数量积的坐标运算求解判断，对于C，分别求出和的坐标，然后判断，对于D，利用坐标求解判断即可【详解】对于A，因为，在方向上的投影向量为，所以A错误，对于B，如图建立坐标系，设，则，所以，由，得，得，因为，所以，所以在边上存在点使得，所以B正确，对于C，因为，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，所以D正确，故选：BCD17AC【解析】【分析

12、】由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行垂直的性质，求向量的模的方法，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论【详解】解：由，得，则A正确，B错误；因为，所以，由，得，即，则C正确；由，得，则，则D错误；故选：AC18BCD【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示出、，求出的取值范围即可.【详解】以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则，设，则，所以，当，时，取得最小值为，故选：BCD19【解析】【分析】由，得到，结合题意，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，又由，则，可得，所以.故答案为：205【解析】【分析】求出的坐标，进而可求模.【详解】由已知，则故答案为：.211

13、【解析】【分析】以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，借助平面向量运算即可计算作答.【详解】以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则，有，由得：，而的取值范围为，于是得，而 m为正数，解得：，所以.故答案为：122【解析】【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，因为与共线，可得，解得.故答案为：.23【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示可求得实数的值.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.24【解析】【分析】由已知可得，利用平面向量数量积的坐标表示可求得实数的值.【详解】由已知可得，解得.故答案为：.25(1)或(2)或

14、【解析】【分析】（1）计算，设，根据向量模长公式计算得到答案.（2），根据垂直关系得到方程，解得答案.(1)，设，解得，故或.(2)，与互相垂直，即，解得或.26（1）；（2）或；（3）或.【解析】（1）根据向量相等列方程组，解方程组求得.（2）根据垂直设出，结合列方程，解方程求得.（3）根据已知得到，结合列方程，解方程求得.【详解】（1）由题意可得，所以，解得：.（2），与垂直，可设，或.（3），.，解得.或.27(1)(2)【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算，数量积为零得到关于x的方程，即可得答案.（2）先根据数量积的坐标运算得到的表达式，确定，再解不等式，结合的范围，求得结果.

15、(1)因为，所以,所以,因为，所以.(2).因为，所以，从而.由得，所以，所以，即，故不等式的解集为.28（1）6；（2）；（3）.【解析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由，得，；（2）， ，故，解得；（3），即，解得.【点睛】结论点睛：若 ，则等价于；等价于.29（1），；（2）0.【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算求解；（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算【详

16、解】（1），点是的中点，（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，设，点坐标为，另设点坐标为，点是的中点，点坐标为，又，所以，所以【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积掌握数量积的定义是解题关键在有垂直的平面图形中，可以建立平面直角坐标系，得出各点坐标后，求得向量的坐标，用向量数量积的坐标运算求解30(1)；(2)【解析】【分析】（1）利用向量的数量积公式及辅助角公式可得，再利用正弦函数的性质即得；（2）由题可得，再利用同角关系式及两角和公式即得.(1)因为向量，则函数，若，则，所以当，即时，；当，即时，(2)由，得，因为，则，又，所以，则，所以31（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）以为坐标原点建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，即得，得证；（2）由三角函数的定义可设，再利用三角函数的图像和性质求解.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，.当时，则，.（2）由三角函数的定义可设，则，从而，所以，因为，故当时，取得最大值2.