7-三角恒等变换-五年（2018-2022）高考数学真题按知识点分类汇编.docx

1、五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编7-三角恒等变换（含解析）一、单选题1（2022北京统考高考真题）已知函数，则（）A在上单调递减B在上单调递增C在上单调递减D在上单调递增2（2022北京统考高考真题）在中，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）ABCD3（2022全国统考高考真题）若，则（）ABCD4（2021北京统考高考真题）函数是A奇函数，且最大值为2B偶函数，且最大值为2C奇函数，且最大值为D偶函数，且最大值为5（2021全国统考高考真题）（）ABCD6（2021浙江统考高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（）A0B1C2D37（20

2、21全国高考真题）若，则（）ABCD8（2021全国统考高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（）A346B373C446D4739（2021全国统考高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（）A和B和2C和D和210（2021全国统考高考真题）若，则（）ABCD11（2020山东统考高考真题）在中，内角，的

3、对边分别是，若，且 ，则等于（）A3BC3或D-3或12（2018全国高考真题）若，则ABCD13（2018全国高考真题）函数的最小正周期为ABCD14（2018全国高考真题）已知函数，则A的最小正周期为，最大值为B的最小正周期为，最大值为C的最小正周期为，最大值为D的最小正周期为，最大值为15（2018全国高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则ABCD16（2019全国高考真题）已知 （0，），2sin2=cos2+1，则sin=ABCD二、多选题17（2022全国统考高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，

4、N两点，且，则C的离心率为（）ABCD18（2021全国统考高考真题）已知为坐标原点，点，则（）ABCD三、填空题19（2022浙江统考高考真题）若，则_，_20（2020北京统考高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为_21（2018全国高考真题）已知，则_22（2018全国高考真题）已知，则_23（2019江苏高考真题）已知，则的值是_.四、解答题24（2022天津统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.25（2022北京统考高考真题）在中，(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长26（2022全国统考高考真题）记的内

5、角A，B，C的对边分别为a，b，c已知(1)若，求C；(2)证明：27（2021天津统考高考真题）在，角所对的边分别为，已知，（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值28（2021浙江统考高考真题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.29（2020浙江统考高考真题）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围30（2018北京高考真题）在中，（1）求；（2）求边上的高31（2018浙江高考真题）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）（）求sin（+）的值

6、；（）若角满足sin（+）=，求cos的值32（2018北京高考真题）已知函数.（）求的最小正周期； （）若在区间上的最大值为，求的最小值.33（2018江苏高考真题）已知为锐角，（1）求的值；（2）求的值34（2019江苏高考真题）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值35（2019全国高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sinC36（2019全国统考高考真题）的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围37（2019北京高考真题）在ABC中，a=3，

7、bc=2，cosB=（）求b，c的值；（）求sin（BC）的值38（2019天津高考真题） 在中，内角所对的边分别为.已知，.（）求的值；（）求的值. 五、双空题39（2022北京统考高考真题）若函数的一个零点为，则_；_参考答案：1C【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项，当时，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，则在上不单调，D错.故选：C.2D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解

8、：依题意如图建立平面直角坐标系，则，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，所以，所以，其中，因为，所以，即；故选：D3C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】方法一：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C方法二：特殊值排除法解法一:设=0则sin +cos =0，取，排除A, B；再取=0则sin +cos= 2sin，取，排除D；选C.方法三：三角恒等变换 所以即故选：C.4D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选

9、：D.5D【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，.故选：D.6C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有，同理，故，故不可能均大于.取，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.7A【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求

10、得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，解得，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.8B【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案【详解】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以所以因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以故选：B【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为9C【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C10C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配

11、方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果【详解】将式子进行齐次化处理得：故选：C【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论11A【分析】利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；【详解】，故选：A.12B【详解】分析：由公式可得结果.详解：故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.13C【详解】分析:将函数进行化简即可详解：由已知得的最小正周期故选C.点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题14B【分析】首先利用余弦的倍角公

12、式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.15B【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.【详解】由三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐

13、标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.16B【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案【详解】，又，又，故选B【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉17AC【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】方法一：几何法，双曲线定义

14、的应用情况一M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支， ，设，由即，则，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以， ，设，由，即，则，所以，即，所以双曲线的离心率选C方法二：答案回代法特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点都在左支,，则，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，则，方法三：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，设，在中，有，故即，所以，而，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率若均在左支上，同理有

15、，其中为钝角，故，故即，代入，整理得到：，故，故，故选：AC.18AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，所以，故，正确；B：，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，正确；D：由题意得：，故一般来说故错误；故选：AC19 【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求【详解】方法一：利用辅助角公式处理，即，即，令，则，即， ，则.故答案为：；.方法二：直接用同角三角函数关系式解方程，即，又，将代入得，解得，

16、则.故答案为：；.20（均可）【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.【详解】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.21【分析】方法一：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.【详解】方法一：直接使用两角差的正切公式展开因为，所以，解之得故答案为：方法二：整体思想两角和的正切公式 故答案为：方法三：换元法两角和的正切公式 令，则，且故答案为：【整体点评】方法一：直接利用两角差的正切公式展开，解方程，思路直接；方法二：利用整体思想利用两角和的正切公式求

17、出；方法三：通过换元法结合两角和的正切公式求出，是给值求值问题的常用解决方式22【分析】方法一：将两式平方相加即可解出【详解】方法一：【最优解】两式两边平方相加得，方法二： 利用方程思想直接解出，两式两边平方相加得，则又或，所以方法三： 诱导公式二倍角公式由，可得，则或若，代入得，即若，代入得，与题设矛盾综上所述，方法四：平方关系诱导公式由，得又，即，则从而方法五：和差化积公式的应用由已知得，则或若，则，即当k为偶数时，由，得，又，所以当k为奇数时，得，这与已知矛盾若，则则，得，这与已知矛盾综上所述，【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过

18、平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦23.【分析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.24(1)(2)(3)【分析】（1）根据余弦定理以及解

19、方程组即可求出；（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以（3）因为，所以，故，又， 所以，而，所以，故25(1)(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，所以，的周长为.26(1)；(2)证明见解析【分析】（1）根据题意可得，

20、再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出【详解】（1）由，可得，而，所以，即有，而，显然，所以，而，所以（2）由可得，再由正弦定理可得，然后根据余弦定理可知，化简得：，故原等式成立27（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I）因为，由正弦定理可得，；（II）由余弦定理可得；（III），所以.28（1）；（2）.【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得

21、解；（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，由可得，所以当即时，函数取最大值.29（I）；（II）【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；（II）方法二：结合()的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.【详解】（I）方法一：余弦定理由，得，即.结合余弦定，即，即，即，即，为锐角三角形，所以，又B为的一个内角，故.方法二【最优解】：正弦定理边化角由，

22、结合正弦定理可得：为锐角三角形，故.（II） 方法一：余弦定理基本不等式因为，并利用余弦定理整理得，即.结合，得.由临界状态（不妨取）可知.而为锐角三角形，所以.由余弦定理得，代入化简得故的取值范围是.方法二【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：.由可得：，则，.即的取值范围是.【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.30（1）

23、A=；（2）AC边上的高为【分析】（1）方法一：先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得；（2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求，即可解得边上的高【详解】（1）方法一：平方关系正弦定理在中,.由正弦定理得方法二：余弦定理的应用由余弦定理知因为，代入上式可得或（舍）所以，又，所以（2）方法一：两角和的正弦公式锐角三角函数的定义在ABC中，=如图所示，在ABC中，sinC=，h=，AC边上的高为方法二：解直角三角形锐角三角函数的定义如图1，由（1）得，则作，垂足为E，则，故边上的高为方法三:等面积法由（1）得，易求如图1，作，易得，即所以根据等积法有，即，所以边上的高为【整体点评】（1）方

24、法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出；方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角；（2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出；方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出；方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出31（）；（） 或 .【分析】分析：（）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.【详解】详解：（）由角的终边过点得，所以.（）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型(

25、1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.32（） ；（）.【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.【详解】（），所以的最小正周期为.（）由（）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅

26、助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.33（1）；（2）【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，所以因为，所以，因此，（2）因为为锐角，所以又因为，所以，因此因为，所以，因此，点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个

27、期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.34（1）；（2）.【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值.【详解】（1）因为，由余弦定理，得，即.所以.（2）因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.35（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；（

28、2）方法一由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得，然后结合辅助角公式可得，据此由两角和差正余弦公式可得【详解】（1），即：，由正弦定理可得：，.（2）方法一正弦定理+两角和差正余弦由（1）知，所以由，得，整理得，即又，所以，即，则方法二正弦定理+方程思想由，得，代入，得，整理得，则由，得，所以方法三余弦定理令由，得将代入中，可得，即，解得或（舍去）所以，从而方法四摄影定理因为，所以，由射影定理得，所以【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解的值；方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得的值；方法三：利用余弦定理求得的值，然后结合正

29、弦定理可得的值；方法四：利用摄影定理求得的值，然后由两角和差正余弦公式求解的值；【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.36(1) ;(2).【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【详解】(1)方法一【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】由三角形的内角和

30、定理得，此时就变为由诱导公式得，所以在中，由正弦定理知，此时就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得方法二【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】由解法1得，两边平方得，即又，即，所以，进一步整理得，解得，因此方法三【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)方法一【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】因为是锐角三角形，又，所以，则因为，所以，则，从而，故面积的取值范围是方法二【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知的

31、面积因为为锐角三角形，且，所以即又由余弦定理得，所以即，所以，故面积的取值范围是方法三【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图1，在中，过点A作，垂足为，作与交于点由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，所以点C位于在线段上且不含端点，从而，即，即，所以，故面积的取值范围是【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积

32、问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.37() ；() .【分析】()由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；()由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值.【详解】()由题意可得：，解得：.()由同角三角函数基本关系可得：，结合正弦定理可得：，很明显角C为锐角，故，故.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.38() ；() .【分析】()由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值()利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.【详解】()在中，由正弦定理得，又由，得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得.()由()可得，从而，.故.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.39 1 【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.【详解】，故答案为：1，