7.2.1复数的加减运算及其几何意义（教学设计）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册).docx

1、7.2.1复数的加减运算及其几何意义教学设计本小节内容选自普通高中数学必修第二册人教A版（2019）第七章复数的第一节复数的概念。以下是本章的课时安排：第七章 复数课时内容7.1复数的概念7.2复数的四则运算7.3 复数的三角表示所在位置教材第68页教材第75页教材第83页新教材内容分析本节内容是数系的扩充和复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念，为复数的运算打好基础。上一节我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算，即复数的加、减、乘、除运算及其几何意义。前面我们研究了复数及其四则运算，本节内容

2、是复数的三角表示，是复数与三角函数的结合，是对复数的拓展延伸，这样更有利于我们对复数的研究。核心素养培养了解数系的扩充过程，理解复数的概念和复数相等的充要条件，培养学生数学抽象和数学运算的核心素养。通过实例，明确复数的四则运算法则，发展数学运算素养.经历复数四则运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，发展学生的数学抽象的核心素养；通过了解复数的辐角及辐角的主值的含义，培养学生的直观想象的核心素养。教学主线复数的概念、复数的运算上一节课学生已经掌握了复数的几何意义，本节借助复数的几何意义，学习复数之间的加、减运算及其几何意义。

3、1.通过对定义复数加法法则的背景的分析，体会规定复数加法法则的合理性.2.明确复数加法法则和减法法则的具体内容，经历应用法则解决复数加、减运算问题的过程，提升数学运算的核心素养.3.经历复数代数形式的减法定义和复数加、减法几何意义的形成过程，培养直观想象的核心素养。1.重点：熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则；2.难点：理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题（一）新知导入1. 创设情境，生成问题乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时，因此从上海经香港转航到台北约6.5小时.在两岸同胞的共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约1.5小时，比直航前节省约5小

4、时，有关航行节时的多少，体现了实数集内的代数运算.想一想 复数集内可进行复数的四则运算吗？2.探索交流，解决问题【问题1】设向量，分别与复数abi，cdi对应，那么的坐标如何呢？提示(a，b)，(c，d)，(ac，bd)【问题2】向量对应的复数是什么？提示向量对应的复数是ac(bd)i，也就是z1z2.【问题3】按照平面向量减法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？提示复数z1z2的几何意义就是向量对应的复数（二）复数的加减运算1. 加、减法的运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i2.加法运算律对任意z1

5、，z2，z3C，有交换律：z1z2z2z1结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)【做一做】1.(62i)(3i1)()A33iB55i C7i D55i答案：B2. 若复数z满足z(34i)1，则z的虚部是()A2 B4 C3 D4答案：B3.复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)对应的向量分别为，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1z2对应的向量是，与z1z2对应的向量是.【辩一辩】判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个虚数的和或差可能是实数()(2)若复数z1，z2满足z1z20，则z1z2.()(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加

6、得实部，虚部与虚部相加得虚部()(4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形()(5)复数的减法不满足结合律，即(z1z2)z3z1(z2z3)可能不成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5)（三）典型例题1.复数的加减运算例1.计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)；(3)(abi)(2a3bi)3i (a，bR)解：(1)(12i)(34i)(56i)(42i)(56i)18i.(2)5i(34i)(13i)5i(4i)44i.(3)(abi)(2a3bi)3i(a2a)b(3b)3ia(4b3)i.【类题通法】复数代数形式的加、减法运算技巧两个复数

7、相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算【巩固练习1】复数(12i)(34i)(53i)对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：复数(12i)(34i)(53i)(135)(243)i9i，其对应的点为(9，1)，在第一象限答案：A2.复数的加减运算的几何意义例2.已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0

8、，32i，24i.(1)求表示的复数；(2)求表示的复数解：(1)因为，所以表示的复数为(32i)，即32i.(2)因为，所以表示的复数为(32i)(24i)52i.【变式探究1】若本例条件不变，求点B所对应的复数解：因为，所以表示的复数为(32i)(24i)16i.所以点B所对应的复数为16i.【变式探究2】若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数解：由题意知，点M为OB的中点，则，由互动探究1中知点B的坐标为(1，6)，得点M的坐标为，所以点M对应的复数为3i.【类题通法】复数加、减法几何意义的应用技巧(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算(2)复数的加减运算转化为向

9、量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则【巩固练习2】在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2i，12i.(1)求，对应的复数；(2)判断ABC的形状解：(1)A，B，C三点分别对应复数1，2i，12i.所以，对应的复数分别为1，2i，12i(O为坐标原点)，所以(1，0)，(2，1)，(1，2)所以(1，1)，(2，2)， (3，1)即对应的复数为1i，对应的复数为22i，对应的复数为3i.(2)因为|，|，|，因为|2|210|2.且|，所以ABC是以角A为直角的直角三角形3.复数加、减法运算与模的综合应用例3.设z1，z2C，已知|z1|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.

10、解：法一：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)由题意知a2b21，c2d21，(ac)2(bd)22，2ac2bd0.|z1z2|2(ac)2(bd)2a2c2b2d22ac2bd2，|z1z2|.法二：设复数z1，z2，z1z2分别对应向量，|z1|z2|1，|z1z2|，平行四边形OZ1ZZ2为正方形|z1z2|.【类题通法】1.利用复数加、减运算及模的几何意义，应用数形结合的思想，可以直观简便地解决复数模的问题2.在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB满足：为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z

11、1|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形.【巩固练习3】已知复数z1cos i，z2sin i，则|z1z2|的最大值为()A. B. C6 D.解析：由题意，得|z1z2|(cos sin )2i| ，故|z1z2|的最大值为.答案：D（四）操作演练 素养提升1(63i)(3i1)(22i)的结果为()A53iB35i C78i D72i2已知复数z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若z1z2是纯虚数，则实数a的值为_3.若|z1|z1|，则复数z对应的点在()A实轴上 B虚轴上 C第一象限 D第二象限4.复数z与它的模的和为5i，求这个复数z.答案：1.C 2.-2 3.B 4.i. 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第77页 练习 第1，2，3,4题 第80页 习题7.2 第1,2,5题