将军饮马（学生版）.pdf

1、专注中考数学 10 余年 yang451989 1 将军饮马 知识背景 传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的 B 地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传。模型概述 将军饮马模型主要是指求路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。基本原理 1、两点之间，线段最短；2、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3、中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4、垂线段最短。基本模型 模型一：一条定直线，异侧两个

2、定点，一个动点，求和最小。1、如图，定点 A、B 分布在定直线 l 两侧，在直线 l 上找一点 P，使 PAPB+的值最小。解：连接 AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求，PA+PB 的 最小值即为线段 AB 的长度。理由：在 l 上任取异于点 P 的一点P，连接AP、BP，在ABP中，APBPAB+，即APBPAPBP+P 为直线 AB 与直线 l 的交点时，PA+PB 最小。基本原理：三角形两边之和大于第三边；两点之间，线段最短。模型二：一条定直线，同侧两个定点，一个动点，求和最小。2、如图，定点 A 和定点 B 在定直线 l 的同侧，在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB 值

3、最小（或 ABP的周长最小）解：作点 A 关于直线 l 的对称点A，连接A B 交 l 于 P，点 P 即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线 l 为线段AA 的中垂线，由中垂线的性质得：PAPA=，专注中考数学 10 余年 yang451989 2 要使 PA+PB 最小，则需PAPB+值最小，从而转化为模型 1。基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等。模型三：一条定直线，同侧两个定点，一个动点，求差最大。3、如图，定点 A、B 分布在定直线 l 的同侧（A、B 两点到 l 的距离不相等），在直线 l上找一点 P，使 PAPB的值最大。解：连接 BA 并延长，交直线 l 于点 P，点

4、P 即为所求；理由：此时 PAPBAB=，在 l 上任取异于点 P 的一 点P，连接AP、BP，由三角形的三边关系知P AP BAB，即P AP BPAPB.基本原理：三角形两边之和大于第三边。模型四：一条定直线，异侧两个定点，一个动点，求差最大。4、如图，定点 A、B 分布在定直线 l 的两侧（A、B 两点到 l 的距离不相等），在直线 l上找一点 P，使 PAPB的值最大。解：作点 B 关于直线 l 的对称点B，连接B A 并延长交 于点 P，点 P 即为所求；理由：根据对称的性质知 l 为线段BB 的中垂线，由中垂 线的性质得：PBPB=，要使 PAPB最大，则需PAPB值最大，从而转化

5、为模型3。基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等。模型五：两条定直线，一个定点，两个动点，定点在两直线同侧，求和最小。5、如图，A 为锐角MON 外一定点，在射线 OM 上找一点 P，在射线 ON 上找一点 Q，使 AP+PQ 的值最小。解：过点 A 作 AQON于点 Q，AQ 与 OM 相交于点 P，此 时，AP+PQ 最小；理由：APPQAQ+，当且仅当 A、P、Q 三点共线时，专注中考数学 10 余年 yang451989 3 AP+PQ 取得最小值 AQ，根据垂线段最短，当 AQON 时，AQ 最小。基本原理：垂线段最短。模型六：两条定直线，一个定点，两个动点，定点在两直线异侧，

6、求和最小。6、如图，A 为锐角MON 内一定点，在射线 OM 上找一点 P，在射线 ON 上找一点 Q，使 AP+PQ 的值最小。解：作点 A 关于 OM 的对称点 A，过点 A作 AQON 于点 Q，AQ 交 OM 于点 P，此时 AP+PQ 最小；理由：由轴对称的性质知 AP=AP，要使 AP+PQ 最小，只需 AP+PQ 最小，从而转化为模型 5。基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等，垂线段最短。模型七：两条定直线，一个定点，两个动点，定点在两直线异侧，求和最小。7、如图，A 为锐角MON 内一定点，在射线 OM 上找一点 P，在射线 ON 上找一点 Q，使 APQ的周长最小。解

7、：分别作 A 点关于直线 OM 的对称点 A1，关于 ON 的对 称点 A2，连接 A1A2 交 OM 于点 P，交 ON 于点 Q，点 P 和点 Q 即为所求，此时 APQ周长最小，最小值 即为线段 A1A2 的长度；理由：由轴对称的性质知 AP=A1P，AQ=A2Q，APQ的周 长 AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当 A1、P、Q、A2 四点共线 时，其值最小。基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等；两点之间，线段最短。模型八：两条定直线，一条定线段，两个动点，定线段在两直线异侧，求和最小。8、如图，A、B 为锐角MON 内两个定点，在 OM 上找一点 P，在 ON 上找一点

8、 Q，使四边形 APQB 的周长最小。解：作点 A 关于直线 OM 的对称点A，作点 B 关于直线 ON 的对称点B，连接A B 交 OM 于 P，交 ON 于 Q，则 点 P、点 Q 即为所求，此时四边形 APQB 周长的最小值即 专注中考数学 10 余年 yang451989 4 为线段 AB 和A B 的长度之和；理由：AB 长为定值，由基本模型将 PA 转化为PA，将 QB 转化为QB，当A、P、Q、B 四点共线时，PAPQQB+的值最小，即 PA+PQ+QB 的值最小。基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等；两点之间，线段最短。模型 9：两条平行直线，一条垂线段，两个定点，定点

9、在平行线外侧，求和最小。9、如图，直线 m n，A、B 分别为 m 上方和 n 下方的定点，（直线 AB 不与 m 垂直），在 m、n 之间求作垂线段 PQ，使得 AP+PQ+BQ 最小。解：如图，将点 A 沿着平行于 PQ 的方向，向下平移至 点 A，使得 AA=PQ，连接 AB 交直线 n 于点 Q，过点 Q 作 PQn，交直线 m 于点 P，线段 PQ 即为所求，此 时 AP+PQ+BQ 最小。理由：易知四边形 QPAA为平行四边形，则 QA=PA，当 B、Q、A三点共线时，QA+BQ最小，即 AP+BQ 最小，PQ 长为定值，此时 AP+PQ+BQ 最小。基本原理：两点之间，线段最短。

10、模型 10：一条定直线，一条动线段，两个定点，定点在直线异侧，求和最小。10、如图，定点 A、B 分布于直线 l 两侧，长度为 a(a为定值)的线段 PQ 在 l 上移动（P 在 Q 左边），确定 PQ 的位置，使得 AP+PQ+QB 最小。解：将点 A 沿着平行于 l 的方向，向右移至A，使AA=PQ=a，连接A B 交直线 l 于点 Q，在 l 上截取 PQ=a（P 在 Q 左边），则线段 PQ 即为所求，此时 AP+PQ+QB 的最小值为A B+PQ，即A B+a。理由：易知四边形APQA 为平行四边形，则PAQA=，当A、Q、B 三点共线时，QA+QB 最小，即 PA+QB 最小，又

11、PQ 长为定值此时 PA+PQ+QB 值最小。基本原理：两点之间，线段最短。专注中考数学 10 余年 yang451989 5 模型 11：一条定直线，一条动线段，两个定点，定点在直线同侧，求和最小。11、如图，定点 A、B 分布于直线 l 的同侧，长度 a(a 为定值)的线段 PQ 在 l 上移动（P在 Q 左边），确定 PQ 的位置，使得四边形 APQB 周长最小。解：作 A 点关于 l 的对称点A，将点A 沿着平行于 l 的方向，向右移至A，使A APQa=，连接A B 交 l 于 Q，在 l 上截取 QP=a（P 在 Q 左边），线段 PQ 即为所求，此时四边形 APQB 周长的最小值

12、为 A BABPQ+，即A BABa+。理由：易知四边形A PQA 为平行四边形，则PAQAPA=，当A、Q、B 三点共线时，QAQB+最小，即 PAQB+最小，又 AB 长为定值，此时四边形 APQB 周长最小。基本原理：两点之间，线段最短。模型 12：两条定直线，两个定点，两个动点，两个定点分别在两条直线上，求和最小。12、如图，点 A 在射线 OM 上，点 B 在射线 ON 上，在射线 OM 上找一点 P，在射线ON 上找一点 Q，使 AQ+QP+PB 最小。解：作点 A 关于直线 OM 的对称点A，作点 B 关于直线 ON 的对称点B，连接A B 交 OM 于 P，交 ON 于 Q，则

13、 点 P、点 Q 即为所求，此时 AQ+QP+PB 最小，即为线段A B 的长；理由：AB 长为定值，将 QA 转化为QA，将 PB 转化为PB，当A、P、Q、B 四点共线时QAPQPB+的值最小，即 AQ+QP+PB 的值最小。基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等；两点之间，线段最短。专注中考数学 10 余年 yang451989 6 典例精析 例 1、如图，直线243yx=+与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点 P 为 OA 上一动点，当 PC+PD 最小时，点 P 的坐标为_，此时PC+PD 的最小值为_.解：连接 CD，作点

14、 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD交 x 轴于点 P，此时 PC+PD 值最小 令243yx=+中 x=0，则 y=4，点 B 坐标()0 4，；令243yx=+中 y=0，则 24=03 x+，解得：6x=，点 A 的坐标为()6 0-，点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，CD 为 BAO的中位线，CDx轴，且132CDAO=，点 D和点 D 关于 x 轴对称，O 为 DD的中点，D 01（，），OP 为 CDD的中位线，1322OPCD=，点 P 的坐标为3 02，在 Rt CDD 中，CD=22DDCD+=2243+=5，即 PC+PD 的最小值为 5.专注中考数学 10

15、 余年 yang451989 7 例 2、如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为()01，点 B 的坐标为 322，点 P 在直线 yx=-上运动，当|PAPB|最大时点 P 的坐标为_，|PAPB|的最大值是_.解：作 A 关于直线 yx=-对称点 C，易得 C 的坐标为()1 0-，；连接 BC，可得直线 BC 的方程为4455yx=，与直线 yx=-联立解得交点坐标 P 为()4,4；此时|PAPB|=|PCPB|=BC 取得最大值，最大值 BC=223(1)(2)2+=412。例 3、如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB 上的两

16、个动点，则 BM+MN 的最小值为 解：作点 B 关于 AC 的对称点 E，再过点 E 作 ENAB 于 N，则 BM+MN=EM+MN，其最小值即 EN 长；AB=10，BC=5 AC=22BCAB+=5 5 等面积法求得 AC 边上的高为10 52 55 5=4 5BE=易知 ABCENB ABACENBE=，代入数据解得 EN=8 即 BM+MN 的最小值为 8 专注中考数学 10 余年 yang451989 8 例 4、如图，60AOB=，点 P 是AOB内的定点且3OP=，点 MN、分别是射线OA、OB 上异于点 O 的动点，则 PMN周长的最小值是多少？解：如图，作 P 点分别关于

17、 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD 分别交 OA、OB 于 M、N.则 MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，BOP=BOD，AOP=AOC，PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，2120CODBOPBODAOPAOCAOB=+=，此时 PMN周长最小，作 OHCD 于 H，则 CH=DH，30OCH=，OH=12 OC=32，CH=3 OH=32，CD=2CH=3 即 PMN周长的最小值是 3.例 5、如图，已知平行四边形 ABCO，以点 O 为原点，OC 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系，AB 交 y 轴于点 D，2AD=，6OC=，A=60，线段 EF 所在的直线

18、为 OD的垂直平分线，点 P 为线段 EF 上的动点，PMx 轴于点 M 点，点 E 与 E关于 x 轴对称，连接 BP、EM（1）请直接写出点 A 坐标为 ，点 B 坐标为 ；（2）当 BP+PM+ME的长度最小时，请求出点 P 的坐标.解：（1）A=60，AD=2，2602 3ODtan=，2 2A（-，），四边形 ABCO 是平行四边形，AB=OC=6，DB=6-2=4，4 2 3B（，）（2）如图，连接 OP EF 垂直平分线段 OD，PMOC，PEO=EOM=PMO=90，专注中考数学 10 余年 yang451989 9 四边形 OMPE 是矩形，PM=OE=3，OE=OE，PM=

19、OE，PMOE，四边形 OPME是平行四边形，OP=EM，PM 是定值，PB+ME=OP+PB 的值最小时，BP+PM+ME的长度最小，当 O、P、B 共线时，BP+PM+ME的长度最小，直线 OB 的解析式为 y=32 x，()23P，例 6、如图所示，在平面直角坐标系中，Rt AOB的顶点坐标分别为()2 0A-，()0 0O，()0 4B，把 AOB绕点 O 按顺时针方向旋转 90，得到 COD（1）求 C、D 两点的坐标；（2）求经过 A、B、D 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点 E、F（点 E 在点 F 的上方），且 EF=1，使四边形 ACEF 的周长最

20、小，求出 E、F 两点的坐标 解：（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4，C 点的坐标是()0 2，D 点的坐标是()4 0，.（2）设所求抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，由题意，得42016404abcabcc+=+=解得1142abc=，所求抛物线的解析式为2142yxx=+；（3）要使四边形 ACEF 的周长最小，只需 AF+CE 最短.专注中考数学 10 余年 yang451989 10 抛物线2142yxx=+的对称轴为 x=1.将点 A 向上平移至121A（-，），则 AF=A1E，作 A1 关于对称轴 x=1 的对称点 2 41A（，），连接 A2C，A2

21、C 与对称轴交于点 E，E 为所求，可求得 A2C 的解析式为124yx=+，当1x=时，74y=，点 E 的坐标为(71,4)，点 F 的坐标为(31,4)专注中考数学 10 余年 yang451989 11 【学以致用】1、如图，正方形 ABEF 的面积为 4，BCE是等边三角形，点 C 在正方形 ABEF 外，在对角线 BF 上有一点 P，使 PCPE 最小，则这个最小值的平方为（）A.4 3 B.84 3+C.12 D.82 3+2、如图，在 ABC中，ABAC，AC 的垂直平分线交 AC 于点 N，交 AB 于点 M，AB12，BMC的周长是 20，若点 P 在直线 MN 上，则 P

22、APB的最大值为（）A.12 B.8 C.6 D.2 3、如图，在MON 的边 OM，ON 上分别有点 A、D，且MON30，OA10，OD6，B、C 两点分别是边 OM，ON 上的动点，则 ACBCBD 的最小值为 .4、如图，在菱形 ABCD 中，AB6，ABC60，AC 与 BD 交于点 O，点 N 在 AC 上且 AN2，点 M 在 BC 上且23BMBC=，P 为对角线 BD 上一点，则 PMPN的最大值为 .专注中考数学 10 余年 yang451989 12 5、如图，在菱形 ABCD 中，2 2AB=，A120，点 P、Q、K 分别为线段 BC、CD、BD 上的任意一点，则 P

23、KQK 的最小值为 .6、如图，等边 ABC的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若 AE2，当 EFCF 取得最小值时，则ECF的度数为多少？专注中考数学 10 余年 yang451989 13 7、如图，在 ABC中，已知 ABAC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N，交 AC 于点 M，连接 MB.（1）若ABC70，则NMA 的度数是 ；（2）若 AB8，MBC的周长是 14.求 BC 的长度；若点 P 为直线 MN 上一点，请你直接写出 PBC周长的最小值.8、如图，在四边形 ABCD 中，BCAD，12BCAD=，点 E 为 A

24、D 的中点，点 F 为 AE的中点，ACCD，连接 BE、CE、CF.（1）判断四边形 ABCE 的形状，并说明理由；（2）如果 AB4，D30，点 P 为 BE 上的动点，求 PAF的周长的最小值.专注中考数学 10 余年 yang451989 14 9、如图，在 ABC中，ABAC，AD 是中线，且 AC 是 DE 的中垂线，（1）求证：BADCAD；（2）连接 CE，写出 BD 和 CE 的数量关系，并说明理由；（3）当BAC90，BC8 时，在 AD 上找一点 P，使得点 P 到点 C 与到点 E 的距离之和最小，求 BCP的面积.10.如图，在 ABC中，ACB90，以 AC 为边在

25、 ABC外作等边三角形 ACD，过点D 作 AC 的垂线，垂足为 F，与 AB 相交于点 E，连接 CE，（1）说明：AECEBE；（2）若 DAAB，BC6，P 是直线 DE 上的一点，则当 P 在何处时，PBPC 最小，并求出此时 PBPC 的值.专注中考数学 10 余年 yang451989 15 11、如图所示，在四边形 ABCD 中，A90，C90，D60，AD3，3AB=，若点 M、N 分别为边 CD、AD 上的动点，则 BMN的周长最小值为（）A.2 3 B.33 3 C.6 D.3 12、如图，在四边形 ABCD 中，DAAB，DA6，BC150，CD 与 BA 的延长线交于

26、E 点，A 刚好是 EB 中点，P、Q 分别是线段 CE、BE 上的动点，则 BPPQ 最小值是（）A.12 B.15 C.16 D.18 13、如图，等边 ABC中，AD 为 BC 边上的高，点 M、N 分别在 AD、AC 上，且 AMCN，连接 BM、BN，当 BMBN 最小时，MBN .专注中考数学 10 余年 yang451989 16 14、如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且12PABPCDSS=，则 PCPD 的最小值为 .15、如图，在 ABC中，ACB90，点 D 是直线 BC 上一点.（1）如图 1，若 ACBC2，点 D 是 B

27、C 边的中点，点 M 是线段 AB 上一动点，求 CMD周长的最小值；（2）如图 2，若 AC4，BC8，是否存在点 D，使以 A，D，B 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直按写出线段 CD 的长度；若不存在，请说明理由.专注中考数学 10 余年 yang451989 17 16、如图，在锐角三角形 ABC 中，4 2BC=，ABC45，BD 平分ABC，M、N 分别是 BD、BC 上的动点，试求 CMMN 的最小值.17、如图，在平行四边形 ABCD 中，BD 是对角线，ADB90，E、F 分别为边 AB、CD 的中点.（1）求证：四边形 DEBF 是菱形；（2）若 BE4，DEB120，点 M 为 BF 的中点，当点 P 在 BD 边上运动时，求 PFPM 的最小值.专注中考数学 10 余年 yang451989 18 18、已知：矩形 ABCD 中，AD2AB，AB6，E 为 AD 中点，M 为 CD 上一点，PEEM交 CB 于点 P，EN 平分PEM 交 BC 于点 N.（1）求证：PEEM；（2）用等式表示 BP2、PN2、NC2 三者的数量关系，并加以证明；（3）过点 P 作 PGEN 于点 G，K 为 EM 中点，连接 DK、KG，求 DKKGPG 的最小值.专注中考数学 10 余年 yang451989 19