8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(透课堂）-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第二册）.docx

1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【知识导学】考点一棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积考点二棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱ShS为棱柱的底面积，h为棱柱的高棱锥V棱锥ShS为棱锥的底面积，h为棱锥的高棱台V棱台(SS)hS，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高【考题透析】透析题组一：棱柱侧面积和表面积1（2021全国高一课时练习）若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（）A12B

2、48C64D722（2021贵州兴仁市凤凰中学高一阶段练习）九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（）ABCD3（2020全国高一课时练习）三棱柱中，侧棱长为，则其侧面积为（）ABCD透析题组二：棱锥、圆锥的侧面积和表面积4（2021辽宁辽河油田第一高级中学高一期中）如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与该棱锥的高夹角为，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）ABCD5（2021河南焦作高一期中）圆锥的母线与底面所成的角为45，侧面

3、面积为，则该圆锥的体积为（）ABCD6（2021安徽马鞍山高一期末）已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是（）ABCD透析题组三：棱台、圆台的侧面积和表面积7（2021全国高一课时练习）正四棱台的上、下底面边长分别为，侧棱长为，则棱台的侧面积为（）ABCD8（2021全国高一）若圆台的高为3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，其轴截面的一个底角为，则这个圆台的侧面积是（）ABCD9（2021全国高一专题练习）九章算术商功：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尽”，所谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AA1平面ABC

4、，ABBC4，AA15，M是A1C1的中点，过点B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则该三棱台的表面积为（ ）A40B50C25153D3020透析题组四：柱体的体积10（2021江苏高一专题练习）已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为（）ABCD11（2021浙江高一单元测试）如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面中，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（）A2BC3D12（2020全国高一课时练习）现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如

5、图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（）ABCD透析题组五：锥体的体积13（2021广东仲元中学高一期中）如图所示，在长方体中，用截面截下一个棱锥则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（）A1：5B1：4C1：3D1：214（2021全国高一课时练习）三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，则三棱锥的体积是（）ABCD15（2021山东济宁高一期中）如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（）A圆锥的母线长为18B圆锥的表面积为

6、27C圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60D圆锥的体积为透析题型六：台题的体积16（2022全国高一）在九章算术商功中将正四面形棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（）ABCD17（2021辽宁丹东高一期末）在正方体中，分别棱，的中点，若，则棱台的体积为（）ABCD18（2021福建省福州第一中学高一期末）我国南北朝名著张邱建算经中记载：“今有方亭，下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，预接筑为方锥，问：接筑高几何？”大致意思是：有一个正四棱台的上下底面边长分别为一丈三丈，高为二丈五尺，现从上面补上一段，使之成为正四棱锥，则所补的

7、小四棱锥的高是多少？那么，此高和原四棱台的体积分别是(注：1丈等于10尺)（）A12.5尺10833立方尺B12.5尺32500立方尺C3.125尺10833立方尺D3.125尺32500立方尺【考点同练】一、单选题19（2022全国高一单元测试）已知如左图棱长为的正方体，沿阴影面将它切割成两块，拼成如右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为（）ABCD20（2022陕西咸阳高一期末）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（）ABCD21（2022全国高一）圆柱容器内部盛有高度为的水，若放入一个圆锥（圆锥的底面与圆柱的底面正

8、好重合）后，水恰好淹没圆锥的顶部，则圆锥的高为（）ABCD22（2022全国高一）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知该陀螺由密度为cm的木质材料做成，其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为（）A10cmB15cmC16cmD20cm23（2021全国高一课时练习）若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为528，体积为14，则棱台的高度为（）A8B4C2D224（2021全国高一课时练习）六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途六氟化硫分子结

9、构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（）ABCD25（2021福建福州三中高一期中）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖三角攒尖四角攒尖六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（）ABCD26（2021河北保定高一期中）河北定州中学数学建模社团开展劳动实习，学习加工制作糖果包装盒.现有

10、一张边长为10的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成底面边长为6的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）A648B324C162D108二、填空题27（2022湖南高一课时练习）如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，AC，的中点.设三棱锥FADE的体积为，三棱柱的体积为，则_.28（2022全国高一）在参加综合实践活动时，某同学想利用3D打印技术制作一个的容器：容器上部为圆锥形，底面直径为；下部为圆柱形，底面直径和高均为（如图所示）. 他希望当如图放置的容器内液体高度为时，把容器倒置后，液体恰好充满整个圆锥形部分，则圆锥形部分的高度设计为_.29（2021黑龙江鸡西高

11、一期末）如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30，则正四棱锥的侧面积为_.30（2022全国高一）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，为中点，平面截四棱锥的上下两部分的体积之比为_.【答案精讲】1D【解析】【分析】由六棱柱的底面是边长为3的正六边形，求出底面周长，再由侧棱长，即棱柱的高为4，代入棱柱侧面积公式，可得答案【详解】解：六棱柱的底面是边长为3的正六边形，故底面周长，又侧面是矩形，侧棱长为4，故棱柱的高，棱柱的侧面积，故选：D2D【解析】【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体

12、的表面积【详解】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，几何体的表面积，故选：【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题3C【解析】【分析】先由题中条件，得到侧面和侧面为一般的平行四边形，侧面为矩形，根据题中数据，分别计算三个侧面的面积，即可求出结果.【详解】如图，由已知条件可知，侧面和侧面为一般的平行四边形，侧面为矩形.在中，.，点到直线的距离为.故选C【点睛】本题主要考查棱柱的侧面积，熟记棱柱结构特征以及侧面积公式即可，属于常考题型.4D【

13、解析】【分析】设底面边长为，根据线面夹角得到，计算，计算面积比较得到答案.【详解】如图所示：设底面边长为，交于点，则平面，侧棱与该棱锥的高夹角为，故，为中点，连接，则，故选：D.5B【解析】【分析】利用给定条件探求出圆锥底面圆半径r，母线l的关系，借助圆锥侧面积求出r即可作答.【详解】设圆锥PO的底面圆半径r，母线长l，如图所示，点B在底面圆周上，圆O所在平面，则是圆锥的母线PB与底面所成的角，即，于是有，从而得圆锥侧面积，解得，圆锥的高，所以圆锥的体积为.故选：B6C【解析】【分析】利用已知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的表面积【详解】解：由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：

14、，所以正三棱锥的斜高为：，所以这个正三棱锥的侧面积为：，正三棱锥的底面积为：所以正三棱锥的表面积为故选：7D【解析】【分析】利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可.【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为，侧棱长为，所以棱台的斜高为: .所以棱台的侧面积是: .故选：D.8B【解析】【分析】设圆台上底半径为r1，下底半径为r2，母线长为l，作出圆台的轴截面，求出，代入公式求出侧面积.【详解】设圆台上底半径为r1，下底半径为r2，母线长为l，如图所示，解得：，所以 .故选：B9C【解析】【分析】根据平面性质做出平面在几何体中的截面，找到三棱台，由面积公式计算表面积.【详解】如图所示，记A1

15、B1的中点为N，连接MN，则MNBC，所以过点B，C，M的平面为平面BNMC，三棱台为A1MN-ACB，其中，所以其表面积S4422(42)5(42)5(42)25153.故选：C10C【解析】【分析】设圆柱的底面半径为，球的半径为，则圆柱的高为，利用球与圆柱的轴截面计算可得，再根据球与圆柱的体积公式可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为，球的半径为，则圆柱的高为，作出球与圆柱的轴截面，如图：则，所以，所以.故选：C11B【解析】【分析】设四棱柱的底面梯形的高为，的中点分别为，所求的水面高为，利用等体积法求解即可.【详解】设四棱柱的底面梯形的高为，的中点分别为，所求的水面高为h，则水的体积，所

16、以，故选：B12D【解析】首先利用图乙求出水的体积，再利用等体积法求出图甲中水面的高度.【详解】设正三棱柱的底面积为，分别为其所在棱的中点，即，因为，所以图甲中水面的高度为.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用等体积法求高，属于基础题.13A【解析】【分析】由长方体的性质，结合三棱锥的体积公式、长方体的体积公式求及剩余部分的体积，进而求其比例即可.【详解】由图知：，而，剩余部分的体积为，棱锥的体积与剩余部分的体积之比为1：5.故选：A14C【解析】【分析】根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面积公式和三棱锥的体积公式可求出结果.【详解】因为三棱锥的侧棱两两垂直

17、，所以三个侧面都是直角三角形，设三条侧棱长分别为，则，所以，所以三棱锥的体积.故选：C15D【解析】【分析】由题意可知，再利用圆锥的表面积公式，侧面积公式及体积公式，即可判断.【详解】设圆锥的母线长为，以为圆心，为半径的圆的面积为，又圆锥的侧面积，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以，解得，所以圆锥的母线长为9，故选项A错误；圆锥的表面积，故选项B错误；因为圆锥的底面周长为，设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，则，解得，所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120，故选项C错误；圆锥的高，所以圆锥的体积为，故选项D正确故选：D16B【解析】【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到的长度

18、，然后作辅助线找到并求方亭的高，最后利用棱台的体积计算公式求解即可.【详解】如图，过作，垂足为，由四个侧面的面积之和为知，侧面的面积为，（梯形的面积公式），则.由题意得：，在中，.连接，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形且，则，该方亭的体积，（棱台的体积公式）.故选：B.17B【解析】【分析】根据题意作出图形，结合台体的公式即可直接求解.【详解】如图：，,故选：B.18A【解析】【分析】根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积【详解】解：如图所示，正四棱锥的下底边长为三丈，即尺，高二丈五，即尺；截去一段后，得正四棱台，且上底边长为尺，所以，解得，所以该正四棱台

19、的体积是（立方尺）故选：A19B【解析】【分析】根据新几何体与原正方体的对比，观察新增哪些部分，减少哪些部分，然后在进行计算.【详解】拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，截面为矩形，长为，宽为，面积为，拼成的几何体表面积为，故选：B.20C【解析】【分析】根据斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图，然后可解.【详解】由斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图如图所示，其中，所以，所以此三棱柱的表面积为.故选：C21C【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r，圆锥的高为，根据体积关系列方程求解即可.【详解】设圆柱的底面半径为r，圆锥的高为，有，解得.故选:C

20、.22B【解析】【分析】由密度、体积与质量的关系求体积，再应用圆柱、圆锥的体积公式列方程求底面面积.【详解】由题意，该陀螺的总体积为，设底面半径为，则，解得，故选：B23C【解析】【分析】根据给定条件结合正四棱台的结构特征列出棱台的相关量的表达式，再借助棱台体积公式列式计算即得.【详解】如图，设棱台的上、下底面边长分别为2x，8x，斜高为5x，则棱台的高h=4x，由棱台的体积公式得：，解得，棱台的高为h=4x=2.故选：C24B【解析】【分析】由已知证得平面，再根据棱锥的体积公式计算可求得答案.【详解】解：如图，连接，连接因为，所以，所以平面因为，所以因为四边形是正方形，所以，则，故该正八面体

21、的体积为故选：B.25C【解析】【分析】根据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得、的长，根据椎体体积公式，即可得答案.【详解】如图所示，正四棱锥棱长均为2，连接AC、BD交于点O，连接PO根据正四棱锥的性质，可得平面ABCD.所以，所以正四棱锥的体积.故选：C26B【解析】【分析】利用正六边形的性质求出正六棱柱的高，再根据棱柱的体积：即可求解.【详解】如图：由正六边形的每个内角为，按虚线处折成底面边长为6的正六棱柱，即，所以 ，即正六棱柱的高为所以正六棱柱体积：.故选：B27124#【解析】【分析】分别算出三棱锥FADE的与原三棱柱的底面积之比和高之比，进而根据椎体和柱体的体积公式求得答案.【详

22、解】设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积.D，E分别为AB，AC的中点，的面积等于.又F为的中点，F到底面ABC的距离是到底面ABC距离h的一半，即为.于是三棱锥FADE的体积，则.故答案为：.286【解析】【分析】求出容器内液体体积，进而列出方程，求出圆锥形部分高度.【详解】容器内液体体积为（cm3），设圆锥形部分高度为，则，解得：（cm）故答案为：62932【解析】【分析】根据正棱锥中高与斜高的夹角求出斜高的长，即可求出侧面积.【详解】在正四面体中易知，是正棱锥的高，是正棱锥的斜高，, ,，故答案为：3230【解析】【分析】延长交于点，连交于，可得为的重心，再根据线段的比例关系得几何体体积见的关系.【详解】延长交于点，连交于，由可知，则中，为重心，而，故，所以上下两部分的体积比为，故答案为：.