9.1正弦定理与余弦定理 讲义-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）必修第四册.docx

1、9.1 正弦定理与余弦定理（新课）知识梳理1.正弦定理：(为外接圆半径)变形：(当分式上下或等式左右两边齐次时才适用)2.（1）余弦定理： （2）余弦定理的推论：3.由的内角和为，即,可得：4.三角形的面积公式：5.在解的过程中，利用公式知三求二，否则只能转化为等量关系式.典型例题考点一： 正弦定理的常规应用例1. （14湖北）13.在中，角所对的边分别为，已知，则 .变式1：在中， ， ， ，则等于（）A. B. C. D. 变式2：的内角的对边分别为, ， ，求=( )A. B. C. 或 D. 或例2：（2013山东 文）已知的内角的对边分别为,若B=2A,a=1,b=，则c=（ ）A.

2、 B.2 C. D.1变式1. 在中，已知，则 （ ）A B C D变式2.（2012广东 文）在中,若A=60,B=45,BC=,则AC=( )A. B. C. D.例3：（2013辽宁）的内角的对边分别为,asinBcosC+csinBcosA=b,且ab,则B=( )A. B. C. D.变式1.（2012天津 理）的内角的对边分别为,已知8b=5c,C=2B,则cosC=( )A. B. C. D.变式2. 的内角的对边分别为,若bsinA=acosB，则角B的大小是（）A. B. C. D.考点二：余弦定理的常规应用例4：（2016全国卷1 文）的内角的对边分别为,已知a=,c=2,

3、cosA=,则b=( )A. B. C.2 D.3变式1.（2016天津 理）在ABC中,若AB=，BC=3,C=120,则AC=( )A.1 B.2 C.3 D.4变式2.（2015广东 文）设的内角的对边分别为,若a=2,c=,cosA=.且bc,则b=( )A.3 B. C.2 D.例5.已知的三个内角所对的边分别为.并且该三角形满足以下条件：则为_。变式1的内角的对边分别为,若a2+b2=c2-ab，则C=( )A. 60 B. 120 C. 45 D. 30变式2ABC中，若c=，则角C的度数是( )A. 60 B. 120 C. 60或120 D. 45例6：（2014天津）在中，

4、内角所对的边分别是。已知，则的值为_。变式1.（2016全国3 理）在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=( )A. B. C. D.变式2.在直角梯形ABCD中,ABCD,ABC=90,AB=2BC=2CD,则cosDAC=( )A. B. C. D.考点三：三角形形状问题例7.设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）A锐角三角形B. 直角三角形C钝角三角形D不确定变式1：在中，若，则三角形的形状是（ ）A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定变式2. 的内角的对边分别为,若=,则该三角形的形状是( )A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等

5、腰直角三角形 D. 等边三角形考点四：三角形的面积问题例8.（13新课标2）的内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）ABCD变式1：（2014江西）在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（ ）A3 BC D变式2.已知的内角的对边分别为,若ABC的面积为S,且，则tanC等于（ ）A. B. C. D.考点五：图形问题例9.（2013福建）如图，在中，已知点在边上，则的长为 。变式1：在中，,。（1）若=，求；（2）若，求。考点六：解三角大题综合例10. （2013山东）设的内角所对的边分别为，且。（1）求的值；（2）求的值。变式1.（14新课标2）四边形的内角与互补，。（1）求和

6、；（2）求四边形的面积。变式2.（12新课标）已知分别为三个内角的对边，。（1）求；（2）若，的面积为；求。巩固练习1在中，则()A BCD2.在中，下列关系式中一定成立的是 （ ）A BCD3. 在中，已知，则此三角形是 （ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形D直角或等腰三角形4. 在锐角中，已知，则的值为（ ）A B CD5. 在中，分别为角,的对边，且，则的面积为 （ ）A B C D6在中，已知，则的最小角为 （ ）A B C D7在中，如果,则角等于 （ ）A B C D8在中，若，则其面积等于 （ ）A B C D9在中，若，并有,那么是 （ ）A直角三角形 B等边三角形

7、C等腰三角形 D等腰直角三角形10.在中，则 （ ）A B C D11在中，若，则的大小是 （ ）A B C D12在中，分别为角,的对边，如果，那么角等于 ()A B C D13的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为( )A B C D 14在中，若，则最大角的余弦是 （ ）A B C D 15 在中，满足条件，的面积等于 （ ）A B C D 16在中， (，分别为角,的对边)，则的形状为 ()A正三角形B直角三角形 C等腰直角三角形D等腰三角形17.（2013全国1 文）已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23A+cos2A=0,a=7,c=6,则b

8、=( )A.10 B.9 C.8 D.518.在ABC中,角A. B.C所对的边分别为a,b,c,若=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是( )A.a=c B.b=c C.2a=c D.19.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=2B,则为( )A.2sinC B.2cosB C.2sinB D.2cosC20在中，若，C，则_21已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边若a1，b，AC2B，则sinC_22已知在中，最大边和最小边的长是方程的两实根，那么边长等于_.23已知锐角的三边，分别为角,的对边，且，则角A的大小_. 24在中，三边的边长为连续自然数

9、，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_.25. 在中，分别为角,的对边，若，则 .26（2016全国2）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=，a=1，则b=_.27.（2016北京 文）在ABC中，则_28.（2015广东 理）设ABC的A,B,C的对边为a,b,c.若a=,sinB=,C=，则b=_.29.（2015安徽 文）在ABC中，则_30.（2015福建 文）在ABC中，则_31（2015天津 理）在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为,bc=2,cosA=，则a的值为_.32.（2015北京 文）在ABC中，则

10、_33.（2015重庆 文）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=，3sinA=2sinB，则c=_.34.（2014广东 理）在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=_.35.（2012北京 理）在ABC中，则_36.在ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若则cosA的最小值为_37.在ABC中,A=,AC=4,BC=，则ABC的面积等于_38.已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且则角A的大小为_.39根据下列条件，解.（1）已知，解此三角形；（2）已知，解此三角形.40. 在中

11、，分别为内角,的对边，若，求的面积.41在ABC中，已知，求及面积. 42在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边已知：b2，c4，cosA.(1)求边a的值；(2)求cos(AB)的值43在中，分别为角,的对边，且满足.(1)求角的大小；(2)若，求的面积44在中，分别为角,的对边，已知.(1)求的值；(2)当，时，求及的长45.如图，在中，点在边上，且（1）求；（2）求的长。9.1正弦定理与余弦定理答案例1.答案：或 变式1：答案：D 变式2：B例2：答案：B 变式1.B 变式2：答案：B例3：答案：A 变式1答案：A 变式2答案：C例4：答案：D 变式1答案：A 变式2答案：C例5

12、.答案： 变式1.答案：B 变式2：答案：B例6：答案： 变式1 答案：C 变式2答案：B例7.答案： B 变式1：答案： B 变式2答案：A例8.答案：B 变式1：答案：C 变式2：答案：C例9答案： 变式1：（1）（2） 例10（1），；（2）变式1（1）（2）变式2（1）（2）巩固练习1.B 2.D 3.D 4.B 5.C6.B 7.B 8.D 9.B 10.B 11.C 12.A 13.C 14.C 15.C 16.B 17.D 18.B 19.B20 21. 122 23. 242 3 4 25. 26：27：128：129：230：31：832：33：434：235：436：37：38：39 ：（1） ，（2） 40. .41. 42. (1) a2.(2) cos(AB).43. (1) B.(2) S.44. (1) sinC. (2) 或45.（1）（2）3；7