9.2.3 向量的数量积-2021-2022学年高一数学《重点•难点•热点》精讲与精练分层突破（苏教版2019必修第二册）.docx

1、9.2.3向量的数量积【考点梳理】考点一两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB(0)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当0时，a与b同向；当时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作ab.考点二向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为，数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.考点三投影向量在平面内任取一点O，作a，b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为

2、，则与e，a，之间的关系为|a|cos e.考点四平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为，e是与b方向相同的单位向量.则(1)aeea|a|cos .(2)abab0.(3)当ab时，ab特别地，aa|a|2或|a|.(4)|ab|a|b|.考点五平面向量数量积的运算律1.abba(交换律).2.(a)b(ab)a(b)(数乘结合律).3.(ab)cacbc(分配律).【题型归纳】题型一：向量的数量积的定义和几何意义1设，是三个向量，以下四个选项正确的是（）AB若，则C若，且，则D若，则2已知O为所在平面内一点，若，则（）ABCD3对于非零向量，下列命题中正确的是AB在上的

3、投影向量为是与方向相同的单位向量）CD题型二：数量积的运算4已知，则（）ABCD5已知是腰长为的等腰直角三角形，点是斜边的中点，点在上，且，则（）ABCD6若，则、应满足（）A、都是零向量B、是平行向量C、中有一个是零向量或、是平行向量D是零向量或、是反向向量且满足题型三：数量积和模关系问题7在平行四边形中，已知，则（）ABCD8若向量，均为单位向量，且，则的最小值为（）AB1CD9已知向量满足，则向量的模的最大值为（）ABCD题型四：向量夹角的计算10若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（）A钝角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形11已知，则向量与的夹角为（）ABCD12已

4、知平面向量与满足，则与的夹角等于（）ABCD题型五：垂直关系的向量表示13已知是非零向量，且不共线，若向量与互相垂直，则实数的值为（）ABCD14已知向量，若，则（）A2B3C4D515若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形题型六：已知模求参数或数量积问题16已知向量满足，且，则中最小的值是（）ABCD无法确定17已知，满足：，则（）ABCD18已知 ，与的夹角为，则（）ABCD【双基达标】一、单选题19已知平面上三点A，B，C满足|3，|4，|5，则的值等于（）A7B7C25D2520若，且，则k（）A6B6C3D321已知为边长为2的

5、正方形的边DC上任一点，则的最大值为（）A4B6C8D1022已知，则（）ABC13D2123给出下列命题，其中错误的命题的个数是（）若，则是钝角若且，则若，则可知若是等边三角形，则与的夹角为A4B3C2D124若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形25已知点，满足，则的值是（）AB25CD2426已知(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值【高分突破】一：单选题27已知O，A，B，C在同一平面内，与的夹角为，与的夹角为，则（）A或B或CD28在同一平面内，满足，点满足，则（）ABCD29已知菱形 的边长为 ，点 ， 分别在边 ， 上，若

6、 ，则 的最小值为（）ABCD二、多选题30如果，都是非零向量.下列判断正确的有（）A若，则B若，则C若，则D若，则31已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（）A若，则O是外心B若，则P是垂心C若，则N是重心D若，则I是内心32已知是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（）A的夹角是B的夹角是CD33八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论正确的有（）ABCD向量在向量上的投影向量为34在中，是上的两个三等分点，若，则下列结论中正确的有（）ABCD的长度为35我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理

7、，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，E为的中点，则（）ABCD三、填空题36已知向量，则与的夹角为_37在中，若E点在BC边上，且，则_.38已知正方形的边长为1，点是边上的动点的最大值为_39在正三角形ABC中，下列各等式成立的是_（填序号）；40已如，则实数的值为_41在平面四边形中，已知，为上一点，与的夹角为，且，则_四、解答题42已知向量与的夹角为120，且，求：(1)；(2)；(3)43已知，(1)求与的夹角；(2)若，求的值44在中，已知，求：(1)在方向上的投影；(2)在方向上的投影.4

8、5已知三个非零的平面向量，满足，.(1)若，且，求的值；(2)求的最小值.461.设向量与满足，且.(1)求与夹角的大小；(2)求的值.【答案详解】1A【详解】由向量的数量积定义知数量积满足交换律，故A正确；若，则或，故B不正确；由，不能推出，故C不正确；因为是一个实数，故表示一个与共线的向量；同理，表示一个与共线的向量，故两个向量不一定相等，故D不正确.故选：A2A【详解】，是的外心，故选：A3C解：对于A：，所以不正确；对于B：在上的投影向量为：是与方向相同的单位向量），所以不正确对于C：，所以正确；对于D：由，则，因为，所以，即在方向上的投影相等，故得不到，所以不正确；故选：4D【详解】

9、由已知可得，因此，.故选：D.5C【详解】由题意可知，, ，由点是斜边的中点，可知 故选：C6D【详解】由，得，当时，满足等式，当时，因为，所以，所以，因为，所以，所以方向相反，综上，应满足是零向量或、是反向向量且满足，故选：D7B【详解】在平行四边形中，因，于是得，所以.故选：B8A【详解】因为，所以 则当与反向时最小，最小，此时=，所以=，所以的最小值为，故选：A.9B【解析】【详解】设与之间的夹角为，由.当时，原方程可化为1=0不成立，所以.又由，有，所以，解得：，故的最大值故选：B10C【详解】在中，取的中点，连接，如图所示：因为，所以，所以，即，即.又因为中是否有直角不确定，和是否相

10、等也无法确定，所以为等腰三角形.故选：C11B【详解】设向量与的夹角为，因为，所以.故选：B.12B【解析】【分析】由得进一步化简即得解.【详解】因为，所以所以.所以，因为.故选：B13D【解析】【分析】根据互相垂直的向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为向量与互相垂直，所以有，故选：D14A【解析】【分析】由题意可求出，根据可得到并化简，结合和即可求出.【详解】故选：A15A【解析】【分析】首先在中，取的中点，连接，根据得到，从而得到，即可得到答案.【详解】在中，取的中点，连接，如图所示：因为，所以，所以，即，即.又因为中是否有直角不确定，和是否相等也无法确定，所

11、以为等腰三角形.故选：A16A【解析】【分析】已知式移项平方分别得出（用向量的模表示），然后相减可得最小值【详解】由得，所以，即，所以，同理，而，所以，所以最小故选：A17D【解析】【分析】先对两边平方化简求出的值，从而可求出的值【详解】解：因为，所以，得 ，所以，故选：D18C【解析】【分析】利用向量数量积的运算律可得，结合已知求值即可.【详解】.故选：C19D【解析】【分析】由题意知ABC90，再利用数量积和三角函数求解.【详解】解：由题得所以ABC90，所以原式045cos(180C)53cos(180A)20cos C15cos A201516925.故选：D20B【解析】【分析】由题

12、知，再结合数量积运算律运算求解即可.【详解】解：由题意，得，由于，故，又，于是，解得.故选：B.21C【解析】【分析】选择向量为基底向量，根据平面向量定理及向量的数乘，化简 ，再求解其最大值即可.【详解】如图，选向量为基底向量，则可设 ， 的最大值为8，选项C正确.故选：C.22A【解析】【分析】先求得，然后利用平方的方法求得.【详解】依题意，.所以.故选：A23B【解析】【分析】根据向量夹角，向量基本定理，数量积的运算律，即可判断选项.【详解】当时，故不正确；若，当时，或，故不正确；，即，故正确；若是等边三角形，则与的夹角为，故不正确.故选：B24A【解析】【分析】利用向量运算化简已知条件，

13、由此确定正确选项.【详解】依题意，,，所以，所以三角形是等腰三角形.故选：A25A【解析】【分析】根据题意求得为直角三角形，其中，且，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，点，满足，可得，所以为直角三角形，如图所示，其中，且，又由，所以.故选：A.26(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据即可求；（2）设向量与大角为,.(1)，；(2),，,，设向量与大角为,.27A【解析】【分析】由题意得与的夹角为或，再由向量的减法和向量数量积的定义，计算可得所求值【详解】解：由于，在同一平面内，与的夹角为，与的夹角为，可得与的夹角为或，所以；或故选：28A【解析】【分析】由题

14、意可知为三角形外心，利用外心性质及数量积的定义即可求解.【详解】因为，可知为的外接圆圆心，作于点，则为的中点，于是同理可得，,因此.故选：A29A【解析】【分析】由题意画出图形，把用表示，最后转化为含有的代数式，再结合以及基本不等式求得 的最小值.【详解】如图，且， ， ，由题意可得，当且仅当时取等号， 的最小值为.故选：A30ACD【解析】【分析】利用平行向量的定义可判断AD，利用数量积的概念及性质可判断BC.【详解】，都是非零向量，若，则，故A正确；若，则，但不一定等于，故B错误；由，可得，整理可得，所以，故C正确；若，则，故D正确.故选：ACD.31ABC【解析】【分析】根据三角形外心、

15、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算即可求得答案.【详解】根据外心的定义，易知A正确；对B，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；对D，由题意，则I是垂心，故D错误.故选：ABC.32ABD【解析】【分析】根据条件知，的最小值为，结合二次函数与方程的特点可求出的夹角为或，从而求出的值【详解】，是两个单位向量，且的最小值为，的最小值为，的最小值为，即在上有唯一一个解，所以，所以与的夹角为或，所以正确，或3，或，所以正确，故选：33ABD【解析】【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用结合图像

16、求出结果，逐一分析各个选项即可得出答案.【详解】解：图2中的正八边形，其中，对于A，故A正确；对于B，故B正确；对于C：因为，则，所以，故C错误；对于D：因为，所以向量在向量上的投影向量即为在向量上的投影向量，故D正确故选：ABD34BCD【解析】【分析】利用向量的线性运算可判断A、B；由向量的线性运算可得，根已知条件求出可判断C；将展开可得，即可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：，故选项A不正确；对于B：，故选项B正确；对于C：由选项A知：，所以，故选项C正确；对于D：，所以，即的长度为，故选项D正确；故选：BCD.35ABC【解析】【分析】A.根据小正方形的边长为1，E为的中点，得

17、到，大正方形的边长为求解判断；B.利用向量的求模公式求解判断；C.延长交于点G，得到为的中点，G为的中点求解判断； D.利用向量的数量积运算求解判断.【详解】因为小正方形的边长为1，E为的中点，所以，大正方形的边长为，所以，A正确；，B正确；如图：，延长交于点G，则为的中点，可得G为的中点，所以， C正确；，D错误故选：ABC36#【解析】【分析】对化简计算可求出，再利用向量的夹角公式可求得结果【详解】由，得，因为，所以，解得，设与的夹角为，则，因为，所以，故答案为：378【解析】【分析】由条件得到，再求即可.【详解】由，两边平方有：，可得，又因为，知E点是BC边上的中点，故，所以.故答案为：

18、381【解析】【分析】设，将用和表示，根据数量积的定义即可得结果.【详解】设，所以，所以，所以的最大值为1.故答案为：1.39【解析】【分析】利用向量的线性运算及向量的模逐一判断即可求得结论【详解】解：因为是正三角形，所以设的边长为2，对于，因为，所以，故错误；对于，因为，所以，故正确；对于，所以，故正确；对于，又，所以，故正确故答案为：4032#1.5【解析】【分析】根据向量垂直数量积等于，结合向量数量积的运算即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，即，所以，所以，可得：，故答案为：.41【解析】【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.【详解】因为，所以，四边形为

19、平行四边形，又，则，.故答案为：42(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）先根据已知条件求出，再结合向量的模运算和向量的运算律即可求解.（2）先根据已知条件求出，再结合向量的模运算和向量的运算律即可求解.（3）先根据已知条件求出，再结合向量运算律求出，最后求向量的摸.(1)由题意可知，.因为，所以.(2)因为，所以.(3)因为，所以.43(1)(2)【解析】【分析】（1）利用数量积的运算性质即可得出；（2）根据垂直得数量积为零建立方程可求解.(1)由，所以，又因为，代入解得，则，因为夹角，所以与的夹角；(2)若，则，解得.44(1)(2)【解析】【分析】（1）由条件可得是直角三角形，然后可算

20、出答案；（2）根据投影的定义算出答案即可.(1)因为，所以是直角三角形所以，所以在方向上的投影为(2)因为，所以在方向上的投影为45(1)18(2)【解析】【分析】（1）根据数量积的定义计算可得，再将展开结合即可求解；（2）计算，结合，利用表示，再由不等式的性质可求得的最小值，由即可求解.(1)因为，所以，所以，可得，所以，所以.(2)由已知得，因为，所以，即，解得：，故，即，当与反向共线，且时等号成立，因此的最小值为.46(1)(2)【解析】【分析】（1）先通过求出，然后通过平面向量的夹角公式求出答案；（2）先通过平面向量的模和数量积的运算将原式化简，进而将和（1）中的值代入算出即可.(1)由，因为，所以，设与夹角为，则，而，所以与的夹角为.(2).