专题1.2 集合的基本关系（7类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）.pdf

1、专题 1.2 集合的基本关系【考点 1：集合的子集】.1【考点 2：集合的真子集】.3【考点 3：集合包含关系的判断】.4【考点 4：集合子集的个数】.8【考点 5：集合真子集的个数】.9【考点 6：空集】.10【考点 7：集合关系中的参数取值问题】.13【考点 1：集合的子集】【知识点：子集】集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A 是集合 B 的子集，记作 AB 或 BA1（2023全国高一专题练习）已知集合满足2,3 1,2,3,4,5，那么这样的集合 M 的个数为（）A6B7C8D9【答案】C【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.【详解】因为2,3 1,2,3

2、,4,5，所以集合可以为：2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5，1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共 8 个，故选：C.2（2023全国高一假期作业）已知非空集合 M1，2，3，4，5，若 aM，则 6-aM，那么集合 M 的个数为（）A5B6C7D8【答案】C【分析】由条件知集合 M 的元素性质,分类讨论验证即可.【详解】aM，6-aM，M1，2，3，4，5，3 在 M 中可单独出现，1 和 5，2 和 4 必须成对出现，逐个分析集合 M 元素个数：一个元素时，为3；两个元素时，为1，5，2，4；三个元素时，为3，1，5，3，2，4；四个元素时，为1，5

3、，2，4；五个元素时，为1，5，3，2，4，共 7 个.故选：C3（2022 秋上海浦东新高一校考阶段练习）写出集合1,2的所有子集 【答案】，1，2，1,2【分析】根据子集的概念进行求解即可【详解】集合1,2的所有子集有，1，2，1,2.故答案为：，1，2，1,24（2022 秋高一校考课时练习）若=1,2,=|，则=.【答案】,1,2,1,2【分析】由题意可知 B 是由 A 集合的子集构成的集合，利用列举法写出集合 B 即可.【详解】因为=1,2,=|，所以集合中的元素是集合的子集：,1,2,1,2，则集合=,1,2,1,2.故答案为：,1,2,1,2.5（2022 秋西藏拉萨高一校考期中

4、）已知集合=1，集合=N|3，则满足关系 的所有集合为 .【答案】1，0,1，1,2，0,1,2,【分析】根据子集概念求解即可,【详解】因为=N|3 =0,1,2，所以集合为1，0,1，1,2，0,1,2,故答案为：1，0,1，1,2，0,1,26（2023高一单元测试）已知非空集合 0,5,7，且 A 中至多有一个奇数，则这样的集合共有 个【答案】5.【分析】列举出满足条件的集合即可得答案.【详解】若 A 中没有奇数，则=0，共 1 个；若 A 中有一个奇数，A 可能为：5，0,5，7，0,7，共 4 种可能性.则满足条件的集合有 5 个.故答案为：5.【考点 2：集合的真子集】【知识点：真

5、子集】集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 是集合 B 的真子集，记作AB1（2023全国高三对口高考）若集合 A 满足1,2 1,2,3,4,5，则集合 A 所有可能的情形有（）A3 种B5 种C7 种D9 种【答案】C【分析】由集合的包含关系讨论 A 所含元素的可能性即可.【详解】由1,2 1,2,3,4,5，可知集合 A 必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，依次有以下可能：1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5七种可能.故选：C2（多选）（2022 秋山东泰安高一统考期中）已知集合满足

6、1,2,3,4,5，则可以是（）AB0,1,2,3C2,3,4,5D1,2,3,4,5【答案】AC【分析】根据真子集的定义直接判断即可.【详解】因为1,2,3,4,5，所以集合可以是、2,3,4,5，不能是0,1,2,3、1,2,3,4,5.故选：AC3（2022 秋北京西城高一北京市第三十五中学校考阶段练习）1,20,1,2,3,4，这样的共有 个.【答案】6【分析】根据真子集的概念写出所有真子集即可得解.【详解】由真子集的定义可知，可取1,2,0，1,2,3，1,2,4，1,2,0,3，1,2,0,4，1,2,3,4，共 6 个.故答案为：64（2022 秋广西桂林高一校考阶段练习）求集合

7、=|22=0的子集和真子集.【答案】子集是，1，2，1，2，真子集是，1，2【分析】根据二次方程的解法可得=1,2，根据子集和真子集的定义求解即可【详解】集合=22=0=1,2，集合=1，2的子集是，1，2，1，2，共4个；集合=1，2的真子集是，1，2，共3个.5（2022 秋河北邯郸高一校考阶段练习）已知集合 Aa2，2a2+5a，且3A(1)求 a；(2)写出集合 A 的所有真子集【答案】(1)a=32；(2)，72，3【分析】（1）由题意知 a23 或 2a2+5a3，分类讨论并检验即可求得 a=32；（2）由真子集的定义直接写出即可（1）Aa2，2a2+5a，且3A，a23 或 2a

8、2+5a3，若 a23，a1，2a2+5a3，故不成立，若 2a2+5a3，a1 或 a=32，由知 a1 不成立，若 a=32，a2=72，2a2+5a3，成立，故 a=32；（2）=72，3，A 的真子集有，72 ，3【考点 3：集合包含关系的判断】1（2023江苏高一假期作业）设集合=1,2,3，=1，则下列关系正确的是（）A B C D 【答案】D【分析】根据集合与集合间的关系可得出结论.【详解】因为=1,2,3，=1，则 .故选：D.2（2023宁夏银川校联考二模）下列集合关系中错误的是（）A(,),B0,2 ZC 0D0,1 1,0【答案】A【分析】根据集合与集合的关系判断即可.【

9、详解】对于 A：集合(,)为点集，含有元素(,)，集合,含有两个元素，所以(,)不包含于,，故 A 错误；对于 B：0,2 Z，故 B 正确；对于 C：0，故 C 正确；对于 D：因为0,1=1,0，所以0,1 1,0，故 D 正确；故选：A3（2023 春重庆北碚高二西南大学附中校考期末）已知集合=32,Z，集合=6+1,Z，则（）A=B C D =【答案】C【分析】利用集合之间的基本关系来判断.【详解】对于集合中的元素都有=3(2+1)2，其中2+1表示奇数，对于集合中的能取所有的整数，集合和集合相比较，集合少了代入偶数时所对应的值，所以 ，故选：C.4（多选）（2023高一单元测试）集合

10、=|=13+6,Z，=|=16+3,Z，则下列关系错误的是（）A B=C D【答案】ABD【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系.【详解】因为=|=26,Z，=|=2 16,Z+2表示整数，2+1表示奇数，故 ，故选项 A、B、D 错误，选项 C 正确，故选：ABD.5（2023江苏高一假期作业）已知集合=|3 4,=|1 1，两种情况讨论，即可求解.【详解】由集合=|1 1时，要是得到 ，则满足 1 4，解得1 21，解得 2，此时满足 ；当 时，要使得 ，则满足+1 221 521 +1，解得2 3，综上可得，实数的取值范围是|3.（2）解：由题意，要使得 ，则满足+1

11、221 521 +1，此时不等式组无解，所以实数不存在，即不存在实数使得 .8（2023江苏高一假期作业）指出下列各对集合之间的关系.(1)A1，1，B(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)；(2)Ax|1x4，Bx|x50；(3)Ax|x 是等边三角形，Bx|x 是等腰三角形；(4)Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*；(5)Ax|x2a3b，aZ，bZ，Bx|x4m3n，mZ，nZ.【答案】(1)无包含关系(2)(3)(4)(5)AB【分析】（1）由集合 A 和集合 B 的代表元素判断；（2）利用数轴求解判断；（3）由等边三角形和等腰三角形的关系判断；（4）由 nN*判断

12、；（5）由任意 kZ 是否符合集合元素的公共属性判断.【详解】（1）集合 A 的代表元素是数，集合 B 的代表元素是有序实数对，故 A 与 B 之间无包含关系.（2）集合 Bx|x5，用数轴表示集合 A，B 如图所示，由图可知 AB.（3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故 AB.（4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于 nN*，因此集合 M 含有元素“1”，而集合 N 不含元素“1”，故 NM.（5）Ax|x2a3b，aZ，bZ，因为任意 kZ，k2(k)3kA，所以 Ax|x2a3b，aZ，bZZ，因为任意 kZ，k4k3kB，所以 Bx|x4m3n，mZ，

13、nZZ，所以 ABZ.【考点 4：集合子集的个数】【知识点：子集的个数】集合 A 中有 n 个元素，则集合 A 有 2n 个子集.1（2023 春广东广州高二广州市白云中学校考期中）一个集合有 5 个元素，这个集合的子集个数共有（）A16B31C32D64【答案】C【分析】利用集合子集个数的公式计算作答.【详解】有 5 个元素的集合的子集个数为25=32.故选：C2（2023江苏南京统考二模）集合=N|1 4的子集个数为（）A2B4C8D16【答案】B【分析】确定=2,3，再计算子集个数得到答案.【详解】=N|1 4=2,3，故子集个数为22=4.故选：B3（2023江苏苏州高一统考开学考试）

14、由英文单词“book”中的字母构成的集合的子集个数为（）A3B6C8D16【答案】C【分析】首先写出该集合，即可判断集合的元素个数，根据含有个元素的集合的子集个数为2个计算可得.【详解】解：由英文单词“book”中的字母构成的集合为,，集合中含有3个元素，所以该集合的子集为23=8个.故选：C4（2023全国高一专题练习）集合=|7 0,N，则=|6 N,的子集的个数为（）A4B8C15D16【答案】D【分析】先求出，再找出中 6 的正约数，可确定集合，进而得到答案【详解】集合=|7 0，N=|7,N=1,2,3,4,5,6,=|6 N,=1,2,3,6，故有24=16个子集.故选：D5（20

15、23全国高一假期作业）集合=|(2)=0，则集合的子集的个数为 .【答案】4【分析】根据题意求得集合=0,2，结合集合中子集的定义，即可求解.【详解】由方程(2)=0，解得=0或=2，即集合=0,2，所以集合的子集为,0,2,0,2，共有 4 个子集.故答案为：4.【考点 5：集合真子集的个数】【知识点：真子集的个数】集合 A 中有 n 个元素，则集合 A 有 2n-1 个真子集.1（2023重庆校联考三模）数集1,2,3,4,5的非空真子集个数为（）A32B31C30D29【答案】C【分析】利用集合中含有个元素，则它的非空真子集个数为22即可求解.【详解】因为集合1,2,3,4,5中含有5个

16、元素，所以集合1,2,3,4,5的非空真子集个数为252=30.故选：C2（2022 秋江苏扬州高一统考阶段练习）已知集合=|1 3,Z，则集合的真子集个数为（）A8B7C6D5【答案】B【分析】先求出集合中包含的元素个数，再求真子集个数.【详解】集合=|1 2 或 2，即 2或 2 或 25（2023上海浦东新高一上海市进才中学校考阶段练习）关于的不等式组 2 3+1 的解集为，则实数的取值范围为 【答案】3+1，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得：2 3+1，所以 13故答案为：13.6（2022 秋黑龙江大庆高一大庆二中校考阶段练习）已知集合=|22+1=0，在下列条件下分别求实数

17、m 的取值范围：(1)=；(2)恰有一个元素.【答案】(1)(1,+)(2)0,1【分析】(1)若=，则关于 x 的方程22+1=0没有实数解，则 0，且=44 0，由此能求出实数 m 的取值范围(2)若 A 恰有一个元素，所以关于 x 的方程22+1=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数 m 的取值范围【详解】（1）若=，则关于 x 的方程22+1=0没有实数解，则 0，且=44 1，实数 m 的取值范围是(1,+)；（2）若 A 恰有一个元素，所以关于 x 的方程22+1=0恰有一个实数解，讨论：当=0时，=12，满足题意；当 0时，=44=0，所以=1综上所述，m 的取值范围为0,1【考

18、点 7：集合关系中的参数取值问题】1（2023全国统考高考真题）设集合=0,，=1,2,22，若 ，则=（）A2B1C23D1【答案】B【分析】根据包含关系分2=0和22=0两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为 ，则有：若2=0，解得=2，此时=0,2，=1,0,2，不符合题意；若22=0，解得=1，此时=0,1，=1,1,0，符合题意；综上所述：=1.故选：B.2（2023高一校考课时练习）设=|223=0,=|1=0，若 ，求所有满足条件的的集合.【答案】1,0,13【分析】先求出，再就=0,0分类求出，根据 即可求的取值集合.【详解】因为=|223=0=|(+1)(3)=0=1,3，

19、=|1=0，若=0，则=，此时满足 ；若 0，则=1，因为 ，故1=1或1=3，解得=1或=13，所以的取值集合为 1,0,13.3（2023江苏高一假期作业）由三个数 a，1 组成的集合与由2，+，0 组成的集合相等，求2022+2022的值【答案】1【分析】由题意可得2=1+=0或2=+=1=0，从而可求出,的值，再检验 3 个数是否能组成集合，然后代入2022+2022计算即可.【详解】由 a，1 组成一个集合，可知 0且 1，由题意可得2=1+=0或2=+=1=0，综上可得 =1=0，当 =1=0 时，三个数为1,0,1，可以组成一个集合，符合题意，所以2022+2022=(1)202

20、2+02022=1.4（2023全国高一假期作业）已知集合=|1,=|.(1)若=，则实数 a 的值是多少?(2)若 ，则实数 a 的取值范围是多少?(3)若 BA，则实数 a 的取值范围是多少?【答案】(1)=1(2)|1(3)|1【分析】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可.【详解】（1）因为集合=|1,=|，=，所以=1.（2）因为 ，如图，由图可知 1，即实数 a 的取值范围是|1.（3）因为 BA，如图，由图可知 1，即实数 a 的取值范围是|43(2)当=1时，对应的两个子集为和 32；当=43时，对应的两个子集为和3.【分析】（1）若=，对应的方程没有实数根，可

21、求实数的取值范围；（2）要使集合 A 有且仅有两个子集，集合 A 有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，可求实数的值【详解】（1）若=，方程(1)22+3=0没有实数根，当=1时，方程有实数根不合题意；则 1，二次方程没有实数根，=412(1)43.所以实数的取值范围为 43（2）要使集合 A 有且仅有两个子集，则集合 A 有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，当=1时，方程化为2+3=0，解得=32，此时=32，对应的两个子集为和 32；当 1，二次方程(1)22+3=0只有一个实根，=412(1)=0，解得=43，此时=|1322+3=0=|26+9=0=3，对应的两个子集为和3.