概率统计大题综合（学生版）.pdf

1、1概率统计大题综合冲刺秘籍1.数字样本特征（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数（2）中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数（3）平均数：x=x1+x2+xnn，反映样本的平均水平（4）方差：s2=(x1 x)2+(x2 x)2+(xn x)2n反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；s2越大，样本波动越大，越不稳定；s2越小，样本波动越小，越稳定；（5）标准差：=s2，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样（6）极差：等于样本的最大值 最小值2.求随机变量 X 的分布列的步骤：(1)理解 X 的意义

2、，写出 X 可能取得全部值；(2)求 X 取每个值的概率；(3)写出 X 的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.3.求随机变量的期望和方差的基本方法：(1)已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；(2)已知随机变量 X 的期望、方差，求 aX+b a,b R的期望与方差，利用期望和方差的性质E aX+b=aE X+b，D aX+b=a2D X进行计算；(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如：两点分布、二项分布等)，可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若 B(n,p),则 E=n

3、p，D=np(1-p).4.求解概率最大问题的关键是能够通过 P =k P=k+1P =k P=k-1构造出不等关系，结合组合数公式求解结果5.线性回归分析解题方法：2(1)计算 x,y,ni=1xi2,ni=1xiyi的值；(2)计算回归系数 a,b；(3)写出回归直线方程 y=bx+a.线性回归直线方程为：y=bx+a，b=ni=1xi xyi yni=1xi x2=ni=1xiyi nxyni=1xi2 nx2，a=y bx其中 x,y为样本中心，回归直线必过该点(4)线性相关系数(衡量两个变量之间线性相关关系的强弱)r=ni=1xi xyi yni=1xi x2ni=1yi y2=ni

4、=1xiyi nxyni=1xi2 nx2ni=1yi2 ny2r 0，正相关；r 0元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为p 0 p 1，如果一个周期内至少 2 次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若 p=23，试验人数为 1000 人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.K 2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d，P K 2 k00.100.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.82876(2023安徽蚌埠统考三模)某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各

5、100 名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表，依据 =0.001 的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了 2 名男生和 1 名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为 23，这名女生进球的概率为 12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求 3 人进球总次数 X 的分布列和数学期望.附：2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82887(2023海南海口海南华侨中学校考模拟预测)在

6、以视觉为主导的社交媒体时代，人们常借助具有美颜功能的产品对自我形象进行美化.移动端的美颜拍摄类 APP 主要有两类：A 类是以自拍人像、美颜美妆为核心功能的 APP；B 类是图片编辑、精修等图片美化类 APP.某机构为调查市民对上述A，B 两类 APP 的使用情况，随机调查了部分市民.已知被调查的市民中使用过 A 类 APP 的占 60%，使用过 B 类 APP 的占 50%，设个人对美颜拍摄类 APP 类型的选择及各人的选择之间相互独立.(1)从样本人群中任选 1 人，求该人使用过美颜拍摄类 APP 的概率；(2)从样本人群中任选 5 人，记 X 为 5 人中使用过美颜拍摄类 APP 的人数

7、，设 X 的数学期望为 E X，求 P X=E X；(3)在单独使用过 A，B 两类 APP 的样本人群中，按类型分甲、乙两组，并在各组中随机抽取 8 人，甲组对 A 类 APP，乙组对 B 类 APP 分别评分如下：甲组评分9486929687939082乙组评分8583859175908380记甲、乙两组评分的平均数分别为 x1，x2，标准差分别为 s1，s2，试判断哪组评价更合理.(设 Vi=sixi(i=1,2)，Vi越小，则认为对应组评价更合理.)参考数据：0.1925 0.439，0.2325 0.482.98(2023广东统考模拟预测)某工厂车间有 6 台相同型号的机器，各台机器

8、相互独立工作，工作时发生故障的概率都是 14，且一台机器的故障由一个维修工处理已知此厂共有甲、乙、丙 3 名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责 2 台机器；方案二：由甲乙两人共同维护 6台机器，丙负责其他工作.(1)对于方案一，设 X 为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求 X 的分布列与数学期望 E(X)；(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？9(2023福建福州福建省福州第一中学校考模拟预测)相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为 37.2%，城乡居民达到国民

9、体质测定标准合格以上的人数比例达到 90%以上.某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计，制作成如下两个统计图.图 1 为会员年龄分布图(年龄为整数)，其中将会员按年龄分为“年轻人”(20 岁-39 岁)和“非年轻人”(19 岁及以下或 40 岁及以上)两类；图 2 为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，其中将一个月内到健身房锻炼 16 次及以上的会员称为“健身达人”，15 次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有 56 是“年轻人”.10 (1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为 100 的样本，根据图表数据，补全 2 2 列联表，并依据

10、小概率值 =0.05 的独立性检验，是否可以认为“健身达人”与年龄有关？年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计(2)该健身机构在今年年底将针对全部的 150 名会员举办消费返利活动，预设有如下两种方案.方案 1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取 20 位“幸运之星”给予奖励.其中，健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励 500 元和 800 元.方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球(球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为 2，则可获得 100 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获

11、得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励.如果每位健身爱好者均可参加 1 次摸奖游戏；每位健身达人均可参加 3 次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立).以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.附：2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.8281110(2023云南昭通校联考模拟预测)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究人员将疫苗注射到 200 名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按 0,20，20,40，40,

12、60，60,80，80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现志愿者体内产生抗体的共有 160 人，其中该项指标值不小于 60 的有 110 人.假设志愿者注射疫苗后是否产生抗体相互独立.(1)填写下面的 2 2 列联表，并根据列联表及小概率值 =0.05 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于 60 有关.抗体指标值合计小于 60不小于 60有抗体没有抗体合计(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的 40 名志愿者进行第二次注射疫苗，结果又有 m 名志愿者产生抗体.(i)用频率估计概率，已知一名志愿者注射 2 次疫苗后产生抗体

13、的概率 p=0.9，求 m 的值；()以(i)中的概率 p 作为人体注射 2 次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记 110名志愿者注射 2 次疫苗后产生抗体的数量为随机变量 X，求 P X=k最大时的 k 的值.参考公式：2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d(其中 n=a+b+c+d 为样本容量).0.500.400.250.150.1000.0500.025x0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0241211(2023湖南长沙长沙市实验中学校考二模)首批全国文明典范城市将于 2023 年评选，每三年评选一次，2021 年长沙市入选为全国文明

14、典范城市试点城市，目前我市正全力争创首批全国文明典范城市，某学校号召师生利用周末从事创建志愿活动.高一(1)班一组有男生 4 人，女生 2 人，现随机选取 2 人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择，每名女生至多从中选择参加 2 项活动，且选择参加 1 项或 2 项的可能性均为 12；每名男生至少从中选择参加 2 项活动，且选择参加 2 项或 3 项的可能性也均为 12，每人每参加 1 项活动可获得综合评价 10 分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；(2)记随机选取的两人得分之和为 X，求 X 的期

15、望12(2023江苏南京南京市第一中学校考模拟预测)为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动活动规定初赛需要从 8 道备选题中随机抽取 4 道题目进行作答假设在 8 道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是 34 且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中 6 道题且另外 2 道题不能完成(1)求小明至少正确完成其中 3 道题的概率；(2)设随机变量 X 表示小宇正确完成题目的个数，求 X 的分布列及数学期望；(3)现规定至少完成其中 3 道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由1313(2023广东校联考

16、模拟预测)某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.(1)若甲第一关通过的概率为 23，第二关通过的概率为 56，求甲可以进入第三关的概率；(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为 450 分，现要根据得分给共 2500 名参加者中得分前 400 名发放奖励.假设该闯关活动平均分数为 171 分，351 分以上共有 57 人，已知甲的得分为 270 分，问甲能否获得奖励，请说明理由；

17、丙得知他的分数为 430 分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为 201 分，351 分以上共有 57 人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附：若随机变量 Z N,2，则 P -X +0.6827；P -2 X +2 0.9545；P -3 X +3 0.9973.1414(2023广东韶关统考模拟预测)研究表明，如果温差本大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于几童以及年老体弱的人群，要多加防范某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就

18、诊的人数，得到数据如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差 x(C)47891412新增感就诊人数 y(位)y1y2y3y4y5y6参考数据：6iy2i=3463，6iyi-y2=289(1)已知第一天新增感冒就的学生中有 4 位男生，从第一天多增的感冒就诊的学生中随机取 2 位，其中男生人数记为 X，若抽取的 2 人中至少有一位女生的概率为 56，求随机变量 X 的分布列和数学期望；(2)已知两个变量 x 与 y 之间的样本相关系数 r=1617，请用最小二乘法求出 y 关于 x 的经验回归方程y=bx+a，据此估计昼夜温差为 15C 时，该校新增感冒就诊的学生人数.参考数据：

19、r=nixi-xyi-yni=1xi-x2ni=1yi-y2，b=nixi-xyi-yni=1xi-x21515(2023重庆统考模拟预测)某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示 2022 年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图 1 所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图 2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”(20 岁39 岁)和“非年轻人”(19 岁及以下或者 40 岁及以上)两类，将一周内使用的次数为 6 次或 6 次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为 5 次或不

20、足 5 次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有 34 是“年轻人”.(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为 200 的样本，请你根据图表中的数据，完成 2 2 列联表，依据小概率值 =0.05 的 2独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计(2)某投资公司在 2023 年年初准备将 1000 万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售

21、，到年底可能获利 30%，可能亏损 15%，也可能不是不赚，且这三种情况发生的概率分别为 35，15，15；方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利 50%，可能亏损 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 12，310，15.针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.参考数据：独立性检验临界值表0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816其中 2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d17

22、16(2023河北衡水衡水市第二中学校考三模)某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病 A 与是否具有生活习惯 B 的关系，从该市市民中随机抽查了 100 人，得到如下数据：疾病 A生活习惯 B具有不具有患病2515未患病2040(1)依据 =0.01 的独立性检验，能否认为该市市民患有疾病 A 与是否具有生活习惯 B 有关？(2)从该市市民中任选一人，M 表示事件“选到的人不具有生活习惯 B”，N 表示事件“选到的人患有疾病 A”，试利用该调查数据，给出 P NM的估计值；(3)从该市市民中任选 3 人，记这 3 人中具有生活习惯 B，且末患有疾病 A 的人数为 X，试利用该调查数据，给出 X

23、的数学期望的估计值附：2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d，其中 n=a+b+c+d 0.100.050.0100.001 x2.7063.8416.63510.8281817(2023江苏扬州统考模拟预测)随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了 100 个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：凤梨数量(盒)100,200200,300300,400400,500500,600购物群数量(个)12m2032m(1)求实数 m 的值，并用组中值估计这 100 个购物群销售风梨总量的平均数(盒)；(2)假设所有购物群销售凤梨

24、的数量 X 服从正态分布 N,2，其中 为(1)中的平均数，2=12100若该凤梨基地参与销售的购物群约有 1000 个，销售风梨的数量在 266,596(单位：盒)内的群为“一级群”，销售数量小于 266 盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于 596 盒的购物群为“优质群”该凤梨基地对每个“优质群”奖励 1000 元，每个“一级群”奖励 200 元，“二级群”不奖励，则该风梨基地大约需要准备多少资金？(群的个数按四舍五入取整数)附：若 X 服从正态分布 XN,2，则 P(-X +)0.683,P(-2 X +2)0.954,P(-3 X 0，一般来说在室外温度低于 10 度的情况下学生去

25、打乒乓球的概率会比室外温度不低于 10 度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：P(A|B)P(A|B).1919(2023广东深圳统考二模)某校体育节组织定点投篮比赛，每位参赛选手共有 3 次投篮机会.统计数据显示，每位选手投篮投进与否满足：若第 k 次投进的概率为 p(0 p 1)，当第 k 次投进时，第 k+1 次也投进的概率保持 p 不变；当第 k 次没能投进时，第 k+1 次能投进的概率降为 p2.(1)若选手甲第 1 次投进的概率为 p(0 p 1)，求选手甲至少投进一次的概率；(2)设选手乙第 1 次投进的概率为 23，每投进 1 球得 1 分，投不进得 0 分，求选手乙得分 X

26、的分布列与数学期望.2020(2023湖北武汉华中师大一附中校考模拟预测)2021 年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年某市统计了该市 4 个地区的外来务工人数与就地过年人数(单位：万)，得到如下表格：A 区B 区C 区D 区外来务工人数 x/万3456就地过年人数 y/万2.5344.5(1)请用相关系数说明 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型拟合，并求 y 关于 x 的线性回归方程 y=a+bx 和 A 区的残差(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放 1000 元补贴若该市 E 区有 2 万名外来务工人员，根据(1)的结论估计该市政府需要给 E 区就

27、地过年的人员发放的补贴总金额；若 A 区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为 p,2p-1，其中 12 p 1，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过 1400 元，求 p 的取值范围参考公式：相关系数 r=ni=1xi yi-nxyni=1x2i-nx2ni=1y2i-ny2，回归方程 y=a+bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b=ni=1xi yi-nxyni=1x2i-nx2,a=y-bx2121(2023山西运城山西省运城中学校校考二模)甲乙两人进行象棋比赛，赛前每人发 3 枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码

28、时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为 0.3 乙胜的概率为 0.2.(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为 X，求 X 的分布列和期望；(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；(3)若 Pi i=0,1,6表示“在甲所得筹码为 i 枚时，最终甲获胜的概率”，则 P0=0,P6=1.证明：Pi+1-Pii=0,1,2,5为等比数列.2222(2023湖北襄阳襄阳四中校考三模)为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计 50 多个班级参与，1000 余件物品待出售.摄影社从中选取了 20 件

29、物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三 1，2，3 班分别有 12，13，14 的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为 6:7:8.(1)现从三个班中随机抽取一位同学：(i)求该同学有购买意向的概率；(ii)如果该同学有购买意向，求此人来自 2 班的概率；(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以 0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于 2，则在已叫价格基础上增加 1 元更新叫价，若点数小于 3，则在已叫价格基础上增加 2 元更新叫价；重复上述过程，能叫到 10 元，即获得以 10 元为价格的购

30、买资格，未出现叫价为 10 元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到 0.01).2323(2023广东茂名统考二模)春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多.某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过近些年的广告数据分析知，一轮广告后，在短视频平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为 29，在社交媒体平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为 q；二轮广告精准投放后，目标用户在短视频平台进行复购的概率为 p，在社交媒体平台复购的概率为 1727.(

31、1)记在短视频平台购票的 4 人中，复购的人数为 X，若 D X=34，试求 X 的分布列和期望；(2)记在社交媒体平台的 3 名目标用户中，恰有 1 名用户购票并复购的概率为 P，当 P 取得最大值时，q 为何值？(3)为优化成本，该景区决定综合渠道投放效果的优劣，进行广告投放战略的调整.已知景区门票 100元/人，在短视频平台和社交媒体平台的目标用户分别在 90 万人和 17 万人左右，短视频平台和社交媒体平台上的广告投放费用分别为 4 元/100 人和 5 元/100 人，不计宣传成本的景区门票利润率分别是2%和 5%，在第(2)问所得 q 值的基础上，试分析第一次广告投放后，景区在两个

32、平台上的目标用户身上可获得的净利润总额.2424(2023全国模拟预测)甲袋中装有 3 个红球，2 个白球，乙袋中装有 5 个红球，5 个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致.现从甲袋中一次性抽取 2 个小球，记录颜色后放入乙袋，混匀后从乙袋一次性抽取 3 个小球，记录颜色.设随机变量 X 表示在甲袋中抽取出的红球个数，Y k表示 X=k 时，在乙袋中抽取出的红球个数，Z 表示在乙袋中抽取出的红球个数.(1)求 X 的分布列；(2)求 Y k的数学期望 E Y k(用含 k 的代数式表示)；(3)记 X 的所有可取值为 a1,a2,an，证明：E Z=nk=1pX=akE Y a

33、k，并求 E Z.2525(2023河北统考模拟预测)为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采取电脑出题的方式，从题库中随机出 10 道题，编号为 A1，A2，A3，A4，A10，电脑依次出题，参赛选手按规则作答，每答对一道题得 10 分，答错得 0 分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为 3 的倍数，且不少于 18 人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方案中任选一种参赛：方案一：将班级选派的 3n 名参赛选手每 3

34、 人一组，分成 n 组，电脑随机分配给同一组的 3 名选手一道相同的试题，3 人均独立答题，若这 3 人中至少有 2 人回答正确，则该小组顺利出线；若这 n 个小组都顺利出线，则该班级晋级决赛.方案二：将班级选派的 3n 名参赛选手每 n 人一组，分成 3 组，电脑随机分配给同一组的 n 名选手一道相同的试题，每人均独立答题，若这 n 个人都回答正确，则该小组顺利出线；若这 3 个小组中至少有 2个小组顺利出线，则该班级晋级决赛.(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为 45，每次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；(2

35、)在团体赛预赛中，假设 A 班每位参赛选手答对试题的概率均为常数 p 0 p 1，A 班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.2626(2023安徽黄山屯溪一中校考模拟预测)现有一种不断分裂的细胞 X，每个时间周期 T 内分裂一次，一个 X 细胞每次分裂能生成一个或两个新的 X 细胞，每次分裂后原 X 细胞消失，设每次分裂成一个新 X 细胞的概率为 p，分裂成两个新 X 细胞的概率为 1-p；新细胞在下一个周期 T 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的 X 细胞，在第一个周期 T 中开始分裂，其中 p 12,1.(1)设 2T 结束后，X 细胞的数量为，

36、求 的分布列和数学期望；(2)设 nT n N*结束后，X 细胞数量为 m 的概率为 Pm n.(i)求 P2 n；(ii)证明：P3 n827p2.2727(2023山东潍坊统考模拟预测)2023 年 3 月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有 12 个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球 MIKASA_V200W 已知这种球的质量指标(单位：g)服从正态分布 XN,2，其中 =270，=5.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行 11 场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下(比赛采取 5 局 3 胜制)：比赛中以 3：0或 3：1 取胜的球队积 3 分，负队积

37、0 分；而在比赛中以 3：2 取胜的球队积 2 分，负队积 1 分.9 轮过后，积分榜上的前 2 名分别为 1 班排球队和 2 班排球队，1 班排球队积 26 分，2 班排球队积 22 分.第 10 轮1 班排球队对抗 3 班排球队，设每局比赛 1 班排球队取胜的概率为 p 0 p 1.(1)令 =-，则 N 0,1，且 a=P a，求 -2，并证明：-2+2=1；(2)第 10 轮比赛中，记 1 班排球队 3：1 取胜的概率为 f p，求出 f p的最大值点 p0，并以 p0作为 p 的值，解决下列问题.()在第 10 轮比赛中，1 班排球队所得积分为 X，求 X 的分布列；()已知第 10

38、 轮 2 班排球队积 3 分，判断 1 班排球队能否提前一轮夺得冠军(第 10 轮过后，无论最后一轮即第 11 轮结果如何，1 班排球队积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.参考数据：XN,2，则 P -X +0.6827，P -2 X +2 0.9545，P -3 0，均有 P X E X，马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系当 X 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：设 X 的分布列为 P X=xi=pi,i=1,2,n,其中 pi(0,+),xi 0,+)(i=1,2,n),ni=1pi=1，

39、则对任意 0，P(X )=xipixixi pi=1 xixipi 1ni=1xipi=E(X)，其中符号xiAi表示对所有满足 xi 的指标 i 所对应的 Ai求和切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量 X 的期望为 E X，方差为 D X，则对任意 0，均有 P X-E X D X2(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量 X 成立(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为 80%现随机选择了 100 名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为 60 人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信3030(2023福建福州福建省福州第一中学校考模

40、拟预测)某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有 A，B，C，D 这 4 个选项，4 个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为 13，并且规定若第i i=1,2,n-1题正确选项为两个，则第 i+1 题正确选项为两个的概率为 13；第i i=1,2,n-1题正确选项为三个，则第 i+1 题正确选项为三个的概率为 13.(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；(2)求第 n 题正确选项为两个的概率；(3)若第 n 题只选择 B、C 两个选项，设 Y 表示第 n 题得分，求证：E Y 1718.