[33034565]6.3平面向量基本定理及坐标表示-2021-2022学年高一新教材配套学案（人教A版必修2 ）.docx

1、6.3.平面向量基本定理及坐标表示学习目标核心素养1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量 直观想象2.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示逻辑推理3理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则 数学运算4理解用坐标表示两向量共线的条件数学抽象5.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算数学运算导学 课前自主学习 知识梳理知识点1向量平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量结论对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2基底若向量e1，e2不共线,则 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底

2、【名师点睛】平面向量基本定理的关注点、是同一平面内的两个不共线向量；该平面内的任意向量都可用、线性表示，且这种表示是唯一的；对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底；定理的证明，课本中是用作图法证明了它的存在性，又用反证法证明了唯一性.知识点2平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i、j,取i、j作为基底对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.我们把有序数

3、对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a(x，y)叫做向量的坐标表示显然，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)【名师点睛】点的坐标与向量的坐标1. 向量坐标与点的坐标有区别，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标才与其终点的坐标相等.如：点A的位置向量的坐标（，），也就是点A的坐标（，）；反之，点A的坐标（，）也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标；2. 符号（，）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点（，），或向量（，）.3.给定一个向量，它的坐标是惟一的，给

4、定一对实数，由于向量可以平移，以这对实数为坐标的向量有无穷多个.4.两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同.知识点3平面向量的坐标运算及中点公式1. 平面向量的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则有：加法ab(x1x2，y1y2)减法ab(x1x2，y1y2)数乘a(x1，y1)重要结论已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)2.中点公式设线段AB两端点的坐标分别为A，B，则其中点M（，）的坐标计算公式为：，. 【名师点睛】几点说明（1）向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.若，则将任意平移后其坐标仍为.（2

5、）通过平面直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个向量.也就是说，一个平面向量就是一个有序实数对.这样就可以把许多几何问题代数化.（3）两向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的起点和终点的坐标却不一定相同，如A（3，5），B（6，8），C（5，3），D（2，6），则，显然，但A、B、C、D各点的坐标却不相同. 知识点4平面向量共线的坐标表示(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共线的充要条件是存在实数，使ab.(2)如果用坐标表示，向量a(x1，y1)，b(x2，y2)( b0)共线的充要条件是 x1y2x2y10时知识

6、点5 平面向量数量积的坐标表示1平面向量数量积的坐标表示：设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y202.向量模的公式：设a(x1，y1)，则|a|.3两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.4向量的夹角公式：设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b 夹角为，则cos .【名师点睛】 对两个向量数量积的理解1.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.2.两个向量的数量积的结果是一个实数.3.引入坐标后，实现了向量的数量积的运算与两向量的坐标的运算的转化，从而将它们联系起来.【思考交流】

7、当a与b是非坐标形式时，如何求a与b的夹角？如果a与b是坐标形式时，又如何求a与b的夹角？【提示】(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ab，|a|和|b|或直接得出它们之间的关系(2)若a，b是坐标形式，则可直接利用公式cos 求解自主测评1.判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则1e12e2(1，2为实数)可以表示该平面内所有向量()(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)且b0，则.()(3)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1x2y1y20.()【答案】(1) (2)(3)2已知向量(3，2)，(5，1)，则向

8、量的坐标是()AB C(8,1) D(8,1)【解析】(5，1)(3，2)(8,1)，(-4, ).【答案】A3如图所示，向量可用向量e1，e2表示为_【解析】由图可知，4e13e2.【答案】4e13e24已知a(3,2)，b(6，y)，且ab，则y_.【解析】ab，解得y4.【答案】-45已知a(2，1)，b(2,3)，则ab_，|ab|_.【解析】ab22(1)31，ab(4,2)，|ab|2.【答案】12探究 课堂互动研讨 考点1用基底表示向量【方法点拨】用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：向量加法的三角形法则和平行四边形法则；向量减法的几何意义；数乘向量的几何意义(2)模

9、型：【例1】(1)D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB上的中点，且a，b，给出下列结论：ab；ab；ab；a.其中正确的结论的序号为_(2)如图所示，已知梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设a，b，试用a，b表示，.【思路点拨】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则【解析】(1)如图，bba，正确；ab，正确；ba，b (ba)ba，正确；a，不正确【答案】(2)因为DCAB，AB2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以a，b.babba.【变式训练1】在ABC中，EFBC，EF交AC于F，设a，b，则等于() Aab

10、BabCab Dab【解析】，.又EFBC， ()， () ab.【答案】A考点2平面向量的坐标运算【方法点拨】平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.【例2】(1)已知ab(1,3)，ab(5,7)，则a_，b_.(2)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求M，N及的坐标【思路点拨】(1)用加减消元法求a，b的坐标(2)法一：设点M，N的坐标，用向量相等的坐标表示列方程求值法二：用向

11、量线性运算的几何意义直接计算，的坐标【解析】(1)由ab(1,3)，ab(5,7)，所以2a(1,3)(5,7)(6,10)，所以a(3,5)，2b(1,3)(5,7)(4，4)，所以b(2，2)【答案】(3,5)(2，2)(2)法一：(待定系数法)由A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，可得(2,4)(3，4)(1,8)，(3，1)(3，4)(6,3)，所以33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x13，y14)(3,24)，x10，y120；(x23，y24)(12,6)，x29，y22，所以M(0,20)，N(9,2)，(9,2

12、)(0,20)(9，18)法二：(几何意义法)设点O为坐标原点，则由3，2，可得3()，2()，从而32，2，所以3(2,4)2(3，4)(0,20)，2(3，1)(3，4)(9,2)，即点M(0,20)，N(9,2)，故(9,2)(0,20)(9，18)【变式训练2】若A，B，C三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求2，的坐标【解析】(2,10)，(8,4)，(10,14)，2(2,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(18,18)，(8,4) (10,14)(8,4)(5,7)(3，3).考点3平面向量数量积的坐标运算【方法点拨】数量积运算的途径及注意点(1)进行向

13、量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.【例3】(1)如图所示，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_ (2)已知a与b同向，b(1,2)，ab10.求a的坐标；若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.【解析】(1)以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)可设F

14、(x,2)，因为(，0)(x,2)x，所以x1，所以(，1)(1，2).【答案】(2)设ab(，2)(0)，则有ab410，2，a(2,4)bc12210，ab10，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10)【变式训练3】(1)设向量a(1，2)，向量b(3,4)，向量c(3,2)，则向量(a2b)c()A(15,12)B0C3 D11(2)已知a(2，1)，b(3,2)，若存在向量c，满足ac2，bc5，则向量c_.【解析】(1)依题意可知，a2b(1，2)2(3,4)(5,6)，(a2b)c(5,6)(3,2)53623.(2)设c(x，y)，因为ac2，bc5，所以解得所以

15、c（，）.【答案】（1）C(2) （，）考点4向量的夹角与垂直问题【例4】(1)已知向量a(2,1)，b(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是()A(2，) B（-2，）C(，2)D(2,2)(2)已知在ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|与点D的坐标. 【解析】(1)当a与b共线时，2k10，k，此时a，b方向相同，夹角为0，所以要使a与b的夹角为锐角，则有ab0且a，b不同向由ab2k0得k2，且k，即实数k的取值范围是（-2，），选B.【答案】B(2)设点D的坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)D在直线BC

16、上，即与共线，存在实数，使，即(x3，y2)(6，3)，x32(y2)，即x2y10.又ADBC，0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0，即2xy30.由可得x=1,y=1.即D点坐标为(1,1)，(1,2)，|，综上，|，D(1,1)【互动探究】将本例(1)中的条件“a(2,1)”改为“a(2,1)”“锐角”改为“钝角”，如何求实数k的取值范围？【解析】当a与b共线时，2k10，k，此时a与b方向相反，夹角为180，所以要使a与b的夹角为钝角，则有ab0且a与b不反向由ab2k0得k2.由a与b不反向得k，所以k的取值范围是(-,2).反馈 课末达标练习 1已知平行四边形A

17、BCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.，B. ，C. ， D. ，【解析】由于，不共线，所以是一组基底【答案】D2若向量a(，1)，b(0，2)，则与a2b共线的向量可以是()A(，1)B(1，)C(，1)D(1，)【解析】因为a2b(，3)(1，)，所以向量a2b与(1，)是共线向量故选D.【答案】D3已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()A B C D【解析】ab31(1)(2)5，|a|，|b|，设a与b的夹角为，则cos .又0，.【答案】B4设a(2,4)，b(1,1)，若b(amb)，则实数m_. 【解析】amb(2m,4m)，b(amb)，(2

18、m)1(4m)10，得m3.【答案】3.5已知ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若a，b，用a，b表示，. 【解析】a (ba)ab；a (ba)ab；a (ba)ab.课时评价作业(一)【基础巩固】1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1B2e1e2，e1e2C2e23e1,6e14e2De1e2，e1e2【解析】e1e2与e1e2不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为基底【答案】D2已知M(3，2)，N(5，1)且，则点P的坐标为()A(8,1) B(1, ) C(-1,-) D(8，1)【解析】

19、因为，所以 ()， (3，2) (5，1)(-1,-)，即点P坐标为(-1,-).【答案】C3已知ab(1,2)，ab(4，10)，则a等于()A(2，2) B(2,2) C(2,2) D(2，2)【解析】由已知得2ab(2,4)，ab(4，10)，所以3a(6，6)，a(2，2)【答案】D4已知向量a(1sin ，1)，b(,1+ sin )，且ab，则锐角等于（ ）A30 B45 C60 D75【解析】由ab，可得(1sin )(1sin )0，即cos ，而是锐角，故45.【答案】B5已知a(1,2)，b(3,2)，若kab与a3b垂直，则k的值为_【解析】kabk(1,2)(3,2)(

20、k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)又kab与a3b垂直，故(kab)(a3b)0，即(k3)10(2k2)(4)0，得k19.【答案】196已知向量(2,2)，(4,1)，在x轴上存在一点P使有最小值，则点P的坐标是_. 【解析】设点P的坐标是(x,0)，则(x2，2)，(x4，1)，所以(x2)(x4)2x26x10(x3)21，当x3时取得最小值，故点P的坐标为(3,0)【答案】(3,0)7设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若4e13e2ab，求，的

21、值. 【解析】(1)若a，b共线，则存在R，使ab，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线，得所以不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底(2)设cmanb(m，nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2，所以所以c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2，所以故所求，的值分别为3和1.8已知a(1,0)，b(2,1)(1)求a3b的坐标(2)当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？ 【解析】(1)因为a(1,0)，b(2,1)所以a3b(1,0)(6,3)(7,3)(2)

22、kab(k2，1)，a3b(7,3)，因为kab与a3b平行，所以3(k2)70，解得k，所以kab(-,-1)，a3b(7,3)，即k时，kab与a3b平行，方向相反【能力提升】1若向量a(1，x)与b(x,2)共线且方向相同，则x的值为() A. B C2 D2【解析】由ab得x220，得x.当x时，a与b方向相反【解析】A2已知点A(1,2)，B(2,4)，C(3,5)若m，且点P在y轴上，则m()A2 B C D2【解析】设P(x，y)，由题意m，P(5m1，m2)，又点P在y轴上，5m10，m.【答案】B3已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A1 B

23、 C2 D4【解析】(2ab)b2ab|b|22(1n2)(1n2)n230，n23，|a|2.【答案】C4已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足 (0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）A外心 B内心 C重心D垂心【解析】为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为BAC的角平分线的方向又0，)，的方向与的方向相同而，点P在上移动，点P的轨迹一定通过ABC的内心【答案】B5已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为() A3 B5 C7 D8【解析】以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系

24、，则A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，设P(0，x)(0xa)，则3(2，x)3(1，ax)(5,3a4x)，所以|3|5.【答案】B6已知向量a，b满足|a|，b(1，3)，且(2ab)b.(1)求向量a的坐标(2)求向量a与b的夹角【解析】(1)设a(x，y)，因为|a|，则，又因为b(1，3)，且(2ab)b，2ab2(x，y)(1，3)(2x1,2y3)，所以(2x1,2y3)(1，3)2x1(2y3)(3)0，即x3y50，由解得或所以a(1,2)或a(2,1)(2)设向量a与b的夹角为，所以cos 或cos ，因为0，所以向量a与b的夹角.7已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值. 【解析】(1)A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)，又1(3)130，即ABAD.(2)，四边形ABCD为矩形，.设C点坐标为(x，y)，则(1,1)，(x1，y4)，得C点坐标为(0,5)由于(2,4)，(4,2)，所以88160，|2，|2.设与夹角为，则cos 0，解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.