《创新设计》2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案：1.3 弧度制 WORD版含答案.docx

1、3弧度制学习目标1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式知识链接1初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的那么1的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答规定周角的作为1的角；它的大小与它所在圆的大小无关2用度做单位来度量角的制度叫作角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？答l，S.预习导引1弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度

2、制(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.2角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801rad0.01745 rad1 rad57.30(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0130456090120135150180270360弧023.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则度量单位类别为角度制为弧度制扇形的弧长llR扇形的面积SSlRR2要点

3、一角度制与弧度制的换算例1将下列角度与弧度进行互化(1)20；(2)15；(3)；(4).解(1)20.(2)15.(3)180105.(4)180396.规律方法(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系： rad180.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值跟踪演练1(1)把11230化成弧度；(2)把化成度解(1)11230.(2)75.要点二用弧度制表示终边相同的角例2把下列各角化成2k (02，kZ)的形式，并指出是第几象限角：(1)1 500；(2)；(3)4.解(1)1 5001 8003005360300.1 500可化成10，是第四象限角(2)2，与终边相同，是第四象限角(3)4

4、2(24)，24.4与24终边相同，是第二象限角规律方法用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时，其中2k是的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用跟踪演练2设1570，2750，1，2.(1)将1，2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将1，2用角度制表示出来，并在7200范围内找出与它们终边相同的所有角解(1)180 rad，157022，275022.1的终边在第二象限，2的终边在第一象限(2)1180108，设108k360(kZ)，则由7200，即720108k3600，得k2，或k1.故在7200范围内，与1终边相同的角是612和252.260，设6

5、0k360(kZ)，则由72060k3600，la2r0，0r，则解得，.4把表示成2k(kZ)的形式，使|最小的值是_答案解析22(1).1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度一、基础达标1300化为弧度是()A BC D答案B2集合A与集合B的关系是()AAB BABCBA

6、 D以上都不对答案A3已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2 Bsin 2C. D2sin 1答案C解析r，l|r.4下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)答案C5已知是第二象限角，且|2|4，则的集合是_答案(1.5，)(0.5，2解析是第二象限角，2k2k，kZ，|2|4，62，当k1时，1.5，当k0时，0.52，当k为其它整数时，满足条件的角不存在6如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的_答案解析由于SlR，若ll，RR，则SlRlRS

7、.7用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合解(1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为|2k2k，kZ(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合|kk，kZ二、能力提升8扇形圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为()A13 B23 C43 D49答案B解析设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，则Rrr2r3r.S内切r2.S扇形R2R29r2r2.S内切S扇形23.9下列表示中不正确的是()A终边在x轴上的角的集合是|k，kZB终边在y轴上的角的集合是|k，kZC终边在坐标轴上的角的集合是|k，kZD终边在直线yx上的角的集合是|2k，kZ答案D解析终边在直线yx

8、上的角的集合应是|k，kZ10已知集合Ax|2kx2k，kZ，集合Bx|4x4，则AB_.答案4，0，解析如图所示，AB4，0，11用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l2r30，l302r，从而Slr(302r)rr215r2.当半径r cm时，l30215 cm，扇形面积的最大值是 cm2，这时2 rad.当扇形的圆心角为2rad，半径为cm时，面积最大，为 cm2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为 (0)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求.解因为0，且2k22k(kZ)，则必有k0，于是，又142n(nZ)，所以，从而，即n0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，60，R10，lR (cm)S弓S扇S10210sin 10cos50 (cm2)(2)扇形周长c2Rl2RR，S扇R2R2(c2R)RR2cR2.当且仅当R，即2 rad时，扇形面积最大，且最大面积是.