《解析》内蒙古呼伦贝尔市2021届高三高考二模数学（理科）试卷 WORD版含解析.docx

1、2021年内蒙古呼伦贝尔市高考数学二模试卷（理科）1. 已知集合A=x|x2-2x-80,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若AF1F2为直角三角形，则双曲线C的离心率为()A. 5B. 3C. 2D. 212. 已知函数f(x)=13x2+3x+ax+1,x0，若关于x的方程f(x)+f(-x)=0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A. (-1,0)B. (-23,0)C. (0,12)D. (0,23)13. 已知向量a=(2,m)，b=(1,-3)，若(2a-b)b，则m=_ .14. 设x，y满足约束条件x-y1x+2y-20

2、3x+y11，则z=2x+y的最大值是_ .15. 桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客.甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩.已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为_ 元.16. 某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O的截面，截面面积最小为_ .17. 某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客

3、和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分.已知这200位顾客所打的分数均在25,100之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数25,40)40,55)55,70)70,85)85,100男性顾客人数46103050女性顾客人数610244020(1)估计这200位顾客所打分数的平均值(同一组数据用该组区间的中点值为代表).(2)若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意.根据所给数据，完成下列22列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不

4、满意男性顾客女性顾客附；K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosA=2c-a.(1)求角B；(2)若a=4，b=27，求边BC上的中线AD的长.19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，ABC=60.点E，F分别在棱BC，PD上(不包含端点)，且PF：DF=BE：CE.(1)证明：EF/平面PAB.(2)若PA=2AB，求二面角B-PC-D的余弦值.20. 已知抛物线C：x2=2py(p0

5、)的焦点为F，点P为抛物线C上一点，点P到F的距离比点P到x轴的距离大1.过点P作抛物线C的切线，设其斜率为k0.(1)求抛物线C的方程；(2)直线l：y=kx+b与抛物线C相交于不同的两点A，B(异于点P)若直线AP与直线BP的斜率互为相反数，证明：k+k0=0.21. 设函数f(x)=ax2-1ex，aR.(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围.(2)证明：当a2时，f(x)+xex+e0.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是x=2cosy=sin(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos-2sin=32.(1)求直

6、线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)若点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最大值.23. 设函数f(x)=|x+a|+|x-3|.(1)当a=2时，求不等式f(x)7的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】解：A=x|-2x0，求得4m0，由此求得m的范围本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题11.【答案】A【解析】解：设|AF1|=m，|AF2|=n，由题意过F1作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若AF1F2为直角三角形，可得m-n=2amn=bam2+n2=4c2，解得b=2a，则e=c2a2=1+b2a2=

7、5，故选：A.利用双曲线的定义，结合勾股定理转化求解双曲线的离心率即可本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题12.【答案】B【解析】解：设g(x)=f(x)+f(-x)，则g(x)的定义域为x|x0，且g(-x)=g(x)，即g(x)是偶函数，故关于x的方程g(x)=0有4个不同的实数根等价于g(x)在(0,+)上有2个零点，当x0时，g(x)=2lnx+13x2-2x-ax+1，则g(x)=0等价于a=2xlnx+13x3-2x2+x，令h(x)=2xlnx+13x3-2x2+x，则h(x)=2lnx-4x+x2+3，令m(x)=2lnx-4x+x2+3，则m(x

8、)=2x-4+2x24-4=0，m(x)在区间(0,+)上单调递增，又m(1)=0，h(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+)上单调递增，即h(x)在x=1处取得极小值h(1)=-23，当x0时，h(x)0，当x+时，h(x)+，h(x)的大致图象如下，当-23a6.635，所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关【解析】(1)由题意计算加权平均数即可(2)根据题意填写列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是基础题18.【答案】解：(1)因为2bcosA=2c-a，所以2bb2+c2-a2

9、2bc=2c-a，整理得，a2+c2-b2=ac，由余弦定理得，cosB=a2+c2-b22ac=12，因为0B，所以B=3；(2)因为a2+c2-b2=ac，所以16+c2-28=4c，解得c=6，ABD中，AB=6，BD=12BC=2，ABD=60，则AD2=AB2+BD2-2ABBDcosABD=36+4-26212=28，故AD=27.【解析】(1)由已知结合余弦定理进行化简可求cosB，进而可求B；(2)由(1)先求出c，然后结合余弦定理即可直接求解本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，还考查了一定的运算能力，属于中档题19.【答案】解：(1)证明：过点F作HF/AD，HFPA

10、=H，连接BH，HF/AD，HFAD=PFPD，PF：DF=BE：CE，PFPD=BEBC，HFAD=BEBC，四边形ABCD是菱形，BC/AD，且BC=AD，HF/BE，且HF=BE，四边形ABCD是菱形，BC/AD，且BC=AD，HF/BE，且HF=BE，四边形BEFH是平行四边形，EF/BH，BH平面PAB，EF平面PAB，EF/平面PAB.(2)解：以A为原点，过A作垂直AD的直线为x轴，AD,AP的方向为y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设AB=2，则B(3,-1,0)，C(3,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,22)，BC=(0,2,0)，PC=(3,

11、1,-22)，CD=(-3,1,0)，设平面PBC的法向量n=(x,y,z)，则nPC=3x+y-22z=0nBC=2y=0，取x=22，得n=(22,0,3)，设平面PCD的法向量m=(a,b,c)，则mPC=3a+b-22c=0mCD=-3a+b=0，取a=2，得m=(2,23,6)，设二面角B-PC-D为，由图可知为钝角，cos=-|cos|=-|nm|n|m|=-42+0+321122=-711，二面角B-PC-D的余弦值为-711.【解析】(1)过点F作HF/AD，HFPA=H，连接BH，推导出四边形ABCD是菱形，四边形BEFH是平行四边形，EF/BH，由此能证明EF/平面PAB.

12、(2)以A为原点，过A作垂直AD的直线为x轴，AD,AP的方向为y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等核心数学素养，是中档题20.【答案】(1)解：设点P(x0,y0)，由点P到F的距离比点P到x轴的距离大1，所以PF=y0+1，即y0+p2=y0+1，所以p=2，即抛物线C的方程为x2=4y；(2)证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AP的斜率为kAP，直线BP的斜率为kBP，则kAP=y1-y0x

13、1-x0(x1x0)，kBP=y2-y0x2-x0(x2x0)，因为直线AP与直线BP的斜率互为相反数，所以kAP=-kBP，即y1-y0x1-x0=-y2-y0x2-x0，又点A(x1,y1)，B(x2,y2)均值抛物线上，所以x124-x024x-x0=-x224-x024x2-x0，化简可得x1+x2=-2x0，因为x12=4y1,x22=4y2，所以x12-x22=4(y1-y2)，故y1-y2x1-x2=x1+x24，则k=y1-y2x1-x2=-x02，因为x2=4y，所以y=14x2，故y=12x，故k0=12x0，所以k+k0=0.【解析】(1)设点P(x0,y0)，由抛物线的

14、定义列出关于p的等式，求出p的值，即可得到抛物线的方程；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AP的斜率为kAP，直线BP的斜率为kBP，利用两点间斜率公式表示出两个斜率，由两个斜率的关系以及点A，B均在抛物线上，化简睁开，求出直线l的斜率，再利用导数的几何意义求出k0，即可证明本题考查了抛物线标准方程的求解，直线与抛物线位置关系的应用，两点间斜率公式的运用，导数几何意义的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题21.【答案】(1)解：因为f(x)=ax2-1ex，所以f(x)=2axex-ex(ax2-1)e2x=-ax2+2ax+1ex，因为函数f(x)在R上是增函数，

15、所以f(x)0恒成立，即-ax2+2ax+10恒成立，当a=0时，10恒成立，符合题意；当a0时，要使-ax2+2ax+10恒成立，只需-a04a2+4a0，解得-1a0，综上可得，实数a的取值范围是-1,0.(2)证明：当a2时，令g(x)=f(x)+xex+e，g(x)=-ax2+2ax+1ex+1-xex=-(ax+1)(x-2)ex，令g(x)=0，可得x1=-1a，x2=2，因为a2，所以当x(-,-1a)时，g(x)0，g(x)单调递增，当x(2,+)，g(x)0，g(-1a)=-e1a+e0，所以g(x)0，即f(x)+xex+e0，得证【解析】(1)求出f(x)=-ax2+2a

16、x+1ex，由题意可得-ax2+2ax+10恒成立，对a=0，和a0分类讨论，即可求解；(2)令g(x)=f(x)+xex+e，对g(x)求导，利用导数求得g(x)的单调区间，从而可得g(x)0，即可得证本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想，逻辑推理与运算求解能力，属于中档题22.【答案】解：(1)由x=2cosy=sin(为参数)，得x24+y2=1，即曲线C的普通方程为x24+y2=1；由cos-2sin=32，结合x=cos，y=sin，可得x-2y=32，即直线l的直角坐标方程为x-2y-32=0；(2)由题意可设P(2cos,sin)，则点P到直线l的距离d=

17、|2cos-2sin-32|5=|22cos(+4)-32|5.-1cos(+4)1，-5222cos(+4)-32-2.105|22cos(+4)-32|510，即105d10.故点P到直线l的距离的最大值为10.【解析】(1)直接把曲线C中的参数消去，即可求得曲线C的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线l的直角坐标方程；(2)由题意可设P(2cos,sin)，利用点到直线的距离公式写出点P到直线l的距离，再由三角函数求最值本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，考查运算求解能力，是中档题23.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=|x

18、+2|+|x-3|=-2x+1,x3，因为f(x)7，则有x32x-17，解得-3x-2或-2x3或3x4，故不等式f(x)7的解集为-3,4；(2)由题意可得，f(x)=|x+a|+|x-3|x+a-x+3|=|a+3|，因为f(x)1，所以|a+3|1，解得a-2或a-4，故a的取值范围为(-,-4-2,+).【解析】(1)利用绝对值的定义将函数f(x)转化为分段函数，然后分类讨论，分别求解不等式，即可得到答案；(2)利用含有绝对值的不等式的性质，得到f(x)|a+3|，再结合已知条件f(x)1，即可得到|a+3|1，求解即可得到答案本题考查了含有绝对值函数的应用，主要考查了含有绝对值不等式的求解以及绝对值不等式的性质的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题