河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）2020届高三数学第一次模拟调研试题 理（含解析）.doc

1、河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）2020届高三数学第一次模拟调研试题 理（含解析）第卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简得到，再计算复数模得到答案.【详解】，故，故，.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.2.集合真子集的个数为( )A. 7B. 8C. 31D. 32【答案】A【解析】【分析】计算，再计算真子集个数得到答案.【详解】，故真子集个数为：.故选

2、：.【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.3.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.【详解】金、木、水、火、土任取两类，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，其中两类元素相生的有火木、火

3、土、木水、水金、金土共5结果，所以2类元素相生的概率为，故选A.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，. ，再，.依次. 这样才能避免多写、漏写现象的发生.4.著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，满足，若，则( )A. 2020B. 4038C. 4039D. 4040【答案】D【解析】【分析】计算，代入等式，根据化简得到答案.【

4、详解】，故，故.故选：.【点睛】本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）A. 该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B. 该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C. 该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D. 该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元【答案】D【解析】【分析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.【详解】用收入减去支出，求得每月收益（

5、万元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.6.设函数，则函数的图像可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数为偶函数排除，再计算排除得到答案.【详解】定义域为： ，函数为偶函数，排除 ，排除 故选【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性

6、，特殊值排除选项是常用的技巧.7.设，满足约束条件，若最大值为，则的展开式中项的系数为( )A. 60B. 80C. 90D. 120【答案】B【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，即，故表示直线与截距的倍，根据图像知：当时，的最大值为，故.展开式的通项为：，取得到项的系数为：.故选：.【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生计算能力和综合应用能力.8.已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( )A. B. C. D. 【答

7、案】B【解析】【分析】计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.【详解】如图所示：设球半径为，则，解得.故求体积为：，圆锥的体积：，故.故选：.【点睛】本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为( )A. B. 40C. 16D. 【答案】D【解析】【分析】如图所示，过分别作于，于，利用和，联立方程组计算得到答案.【详解】如图所示：过分别作于，于.，则，根据得到：，即，根据得到：，即，解得，故.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

8、10.已知为圆：上任意一点，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( )A. B. C. （）D. （）【答案】B【解析】【分析】如图所示：连接，根据垂直平分线知，故轨迹为双曲线，计算得到答案.【详解】如图所示：连接，根据垂直平分线知，故，故轨迹为双曲线，故，故轨迹方程为.故选：.【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.11.已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为( )A. 2020B. 20l9C. 2018D. 2017【答案】B【解析】【分析】根据题意计算，计算，得到答案.【详解】是等差数列的前项和，若，故，故，当时，当时，故前项和最

9、大.故选：.【点睛】本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.12.方程在区间内的所有解之和等于( )A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】画出函数和的图像，和均关于点中心对称，计算得到答案.【详解】，验证知不成立，故，画出函数和的图像，易知：和均关于点中心对称，图像共有8个交点，故所有解之和等于.故选：.【点睛】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点中心对称是解题的关键.第卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则_.【答案】10【解析】【分析】根据垂直得到，

10、代入计算得到答案.【详解】，则，解得，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力.14.设函数，则满足的的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】当时，函数单调递增，当时，函数为常数，故需满足，且，解得答案.【详解】，当时，函数单调递增，当时，函数为常数，需满足，且，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.15.六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有_种（用数字回答）.【答案】135【解析】【分析】根据题意先确定2个人位置不变，共有种选择，再确定4个人

11、坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案.【详解】根据题意先确定2个人位置不变，共有种选择.再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有种选择，故不同的坐法有.故答案为：.【点睛】本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【详解】由知x0，故.令，则.当时，；当时，.所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.故，即.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.如图中，

12、为的中点，.（1）求边的长；（2）点在边上，若是的角平分线，求的面积.【答案】（1）10；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得cosADBcosADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD252+9+BD2160，进而解得BC的值（2）由（1）可知ADC为直角三角形，可求SADC6，SABC2SADC12，利用角平分线的性质可得，根据SABCSBCE+SACE可求SBCE的值【详解】（1）因在边上，所以，在和中由余弦定理，得，因为，所以，所以，.所以边的长为10.（2）由（1）知为直角三角形，所以，.因为是的角平分线，所以.所以，所以.即的面积为.【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公

13、式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题18.在四棱椎中，四边形为菱形，分别为，中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明，得到平面，得到证明.（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）因为四边形是菱形，且，所以是等边三角形，又因为是的中点，所以，又因为，所以，又，所以，又，所以平面，所以，又因为是菱形，所以，又，所以平面，所以.（2）由题意结合菱形的性质易知，以点为坐标原点，建立如图所示空间直

14、角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，平面与平面所成锐二面角的余弦值.【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意直接计算得到，得到椭圆方程.（2）不妨设，且，设，代入 数据化简得到，故，得到答案.【详解】（1），所以，化简得，所以，所以方程为；（2）由题意得，不在轴上，不妨设，且，设，所

15、以由，得，所以，由，得，代入，化简得：，由于，所以，同理可得，所以，所以当时，最小为【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的向量运算和最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.已知函数（）在定义域内有两个不同的极值点.（1）求实数的取值范围；（2）若有两个不同的极值点，且，若不等式恒成立.求正实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求导得到有两个不相等实根，令，计算函数单调区间得到值域，得到答案.（2），是方程的两根，故，化简得到，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.【详解】（1）由题可知有两个不相等的实根，即：有两个不相等实根，令，；，故在上单增，在上单减，.又，时

16、，；时，即.（2）由（1）知，是方程的两根，则因为在单减，又，即，两边取对数，并整理得：对恒成立，设，当时，对恒成立，在上单增，故恒成立，符合题意；当时，时，在上单减，不符合题意.综上，.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人

17、的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列；（2）设，试比较方案中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）【答案】（1）分布列见解析；（2）406.【解析】【分析】（1）计算个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，得到

18、分布列.（2）计算，代入数据计算比较大小得到答案.【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为.依题意可知，所以的分布列为：（2）方案中.结合（1）知每个人的平均化验次数为：时，此时1000人需要化验的总次数为690次，时，此时1000人需要化验的总次数为604次，时，此时1000人需要化验的次数总为594次，即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少，而采用方案则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案，当时化验次数最多可以平均减少次.【点睛】本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.（二）选考题：共

19、10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若曲线与相交于、三点，求线段的长.【答案】（1）（）；（2）.【解析】【分析】（1）化简得到直线方程为，再利用极坐标公式计算得到答案.（2）联立方程计算得到，计算得到答案 .【详解】（1）由消得，

20、即，是过原点且倾斜角为的直线，的极坐标方程为（）.（2）由得，由得，.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对范围分类整理得：，分类解不等式即可（2）利用已知转化为“当时，”恒成立，利用绝对值不等式的性质可得：，问题得解【详解】当时，当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得，所以的解集为（2）的解集包含等价于在上恒成立，当时，等价于恒成立，而，故满足条件的的取值范围是【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，还考查了转化能力及绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于中档题