2023年高考数学一轮复习 第三章 一元函数的导数及其应用 3 导数与函数的极值、最值练习（含解析）.docx

1、导数与函数的极值、最值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值知识梳理1函数的极值(1)函数的极小值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，则a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，解得a或a.3若函数f(x)x34xm在0,3上的最大值为4

2、，则m_.答案4解析f(x)x24，x0,3，当x0,2)时，f(x)0，所以f(x)在0,2)上单调递减，在(2,3上单调递增又f(0)m，f(3)3m.所以在0,3上，f(x)maxf(0)4，所以m4.题型一利用导数求函数的极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1(2022广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(x1)f(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A函数f(x)有极大值f(3)和f(3)B函数f(x)有极小值f(3)和f(3)C函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(3)D函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(3)答案D解析由题图知，当x(，

3、3)时，y0，x10f(x)0，f(x)单调递减；当x(3,1)时，y0，x10，f(x)单调递增；当x(1,3)时，y0，x10f(x)0，f(x)单调递增；当x(3，)时，y0f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a0时，令f(x)0，则xln a，所以f(x)在(ln a，)上单调递增，令f(x)0，则x0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，但是无极大值命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022大庆模拟)函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则ab等于()A7B0C7或0D15或6答案A解析由题意知，函数f(x)x3ax

4、2bxa2，可得f(x)3x22axb，因为f(x)在x1处取得极值10，可得解得或检验知，当a3，b3时，可得f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a4，b11时，可得f(x)3x28x11(3x11)(x1)，当x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，当x1时，函数f(x)取得极小值，符合题意所以ab7.(2)(2022南京模拟)已知函数f(x)x(lnxax)在区间(0，)上有两个极值，则实数a的取值范围为()A(0，e) B.C.D.答案C解析f(x)lnxaxxlnx12ax，由题意知lnx12

5、ax0在(0，)上有两个不相等的实根，2a，设g(x)，则g(x).当0x0，g(x)单调递增；当x1时，g(x)1时，g(x)0，当x时，g(x)0，当x0时，g(x)，所以02a1，即0a.教师备选1(2022榆林模拟)设函数f(x)xcosx的一个极值点为m，则tan等于()A.B.C.D.答案B解析由f(x)cosxxsinx0，得tanx，所以tanm，故tan.2已知a，bR，若xa不是函数f(x)(xa)2(xb)(ex11)的极小值点，则下列选项符合的是()A1baBba1Ca1bDab1答案B解析令f(x)(xa)2(xb)(ex11)0，得x1a，x2b，x31.下面利用数

6、轴标根法画出f(x)的草图，借助图象对选项A，B，C，D逐一分析对选项A，若1ba，由图可知xa是f(x)的极小值点，不符合题意；对选项B，若ba1，由图可知xa不是f(x)的极小值点，符合题意；对选项C，若a1b，由图可知xa是f(x)的极小值点，不符合题意；对选项D，若a0可得x1；由f(x)0可得2x0)在上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案B解析f(x)lnxx2ax(x0)，f(x)xa，函数f(x)lnxx2ax(x0)在上有且仅有一个极值点，yf(x)在上只有一个变号零点令f(x)xa0，得ax.设g(x)x，则g(x)在上单调递减，在1,3上单调递

7、增，g(x)ming(1)2，又g，g(3)，当a时，yf(x)在上只有一个变号零点实数a的取值范围为.题型二利用导数求函数最值例4已知函数g(x)alnxx2(a2)x(aR)(1)若a1，求g(x)在区间1，e上的最大值；(2)求g(x)在区间1，e上的最小值h(a)解(1)a1，g(x)ln xx23x，g(x)2x3，x1，e，g(x)0，g(x)在1，e上单调递增，g(x)maxg(e)e23e1.(2)g(x)的定义域为(0，)，g(x)2x(a2).当1，即a2时，g(x)在1，e上单调递增，h(a)g(1)a1；当1e，即2aa4，求实数a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(

8、0，)，由f(x)ln xax2(a0)可得f(x)a，当a0，所以f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，令f(x)0，得x，所以当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减，综上所述，当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以当x时，f(x)取得最大值，即f(x)maxflna2ln3ln a3，因此有ln a3a4，得ln aa10，所以g(a)在(0，)上单调递增，又g(1)0，所以g(a)g(1)，得0a0，且r0，可得0r0，故V(r)在(0,5)上单调递增；当r(5,5)时，V(r

9、)0，故V(r)在(5,5)上单调递减由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8，即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大课时精练1若函数f(x)的极大值点与极小值点分别为a，b，则ab等于()A4B.C0D2答案C解析f(x)，当x0；当x时，f(x)0.故f(x)的极大值点与极小值点分别为，则a，b，所以ab0.2如图是函数yf(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是()Af(x)在2，1上单调递增B当x3时，f(x)取得最小值C当x1时，f(x)取得极大值Df(x)在1,2上单调递增，在2,4上单调递减答案D解析根据题图知，当x(2，1)，x(2,4)时，f(x)0，函数yf(x)单调递

10、增所以yf(x)在2，1上单调递减，在(1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，)上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；故当x1时，f(x)取得极小值，选项C不正确；当x3时，f(x)不是取得最小值，选项B不正确3已知函数f(x)2lnxax23x在x2处取得极小值，则f(x)的极大值为()A2BC3ln2D22ln2答案B解析由题意得，f(x)2ax3，f(x)在x2处取得极小值，f(2)4a20，解得a，f(x)2lnxx23x，f(x)x3，f(x)在(0,1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减，f(x)的极大值为f(1)3.4(2022重庆联考)函数f(x)x2

11、cosx在0，上的最大值为()A2B.C2D.答案D解析由题意得，f(x)12sinx，当0sinx，即x在和上时，f(x)0，f(x)单调递增；当sinx1，即x在上时，f(x)f(0)f()f，f(x)在0，上的最大值为.5(多选)已知x1和x3是函数f(x)ax3bx23xk(a，bR)的两个极值点，且函数f(x)有且仅有两个不同零点，则k值为()AB.C1D0答案BD解析f(x)3ax22bx3，依题意1,3是f(x)0的两个根，所以解得a，b2.故f(x)x32x23xk.易求得函数f(x)的极大值为f(3)k和极小值为f(1)k.要使函数f(x)有两个零点，则f(x)极大值k0或f

12、(x)极小值k0，所以k0或k.6(多选)已知函数f(x)xsinxxcosx的定义域为2，2)，则()Af(x)为奇函数Bf(x)在0，)上单调递增Cf(x)恰有4个极大值点Df(x)有且仅有4个极值点答案BD解析因为f(x)的定义域为2，2)，所以f(x)是非奇非偶函数，故A错误；因为f(x)xsinxxcosx，所以f(x)1cosx(cosxxsinx)1xsinx，当x0，)时，f(x)0，则f(x)在0，)上单调递增，故B正确；显然f(0)0，令f(x)0，得sinx，分别作出ysinx，y在区间2，2)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间2，2)上共有4个公共点，且两图象在

13、这些公共点上都不相切，故f(x)在区间2，2)上的极值点的个数为4，且f(x)只有2个极大值点，故C错误，D正确7(2022潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)_.答案sinx(答案不唯一)解析正弦函数f(x)sinx为奇函数，且存在极值8(2021新高考全国)函数f(x)|2x1|2lnx的最小值为_答案1解析函数f(x)|2x1|2lnx的定义域为(0，)当x时，f(x)2x12lnx，所以f(x)2，当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以f(x)minf(1)212ln11；当0lne1.综上，f(x)min1.9已知函数f(x)lnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g

14、(x)f(x)2(aR)，若x1，x2是函数g(x)的两个极值点，求实数a的取值范围解(1)由题知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)0对任意x(0，)恒成立，当且仅当x1时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间(2)因为g(x)f(x)2ln x，所以g(x)(x0)由题意知x1，x2是方程g(x)0在(0，)内的两个不同的实数解令h(x)x2(2a)x1，又h(0)10，所以只需解得a0，x(1，)，f(x)0，舍去；当a0时，由f(x)a0，得x，当0时，x时，f(x)0；x时，f(x)0，f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，又f(x)在(0，e上的

15、最大值为3，f(x)maxf1ln a3，ae2；当e，即0，舍去综上，存在a符合题意，此时ae2.11若函数f(x)(x2a)ex的两个极值点之积为3，则f(x)的极大值为()A.BC2eD.答案A解析因为f(x)(x2a)ex，所以f(x)(x22xa)ex，由f(x)(x22xa)ex0，得x22xa0，由函数f(x)(x2a)ex的两个极值点之积为3，则由根与系数的关系可知，a3，即a3，所以f(x)(x23)ex，f(x)(x22x3)ex，当x1时，f(x)0；当3x1时，f(x)0)，则a，b的值为()Aa2，b29Ba3，b2Ca2，b3D以上都不对答案C解析函数f(x)的导数

16、f(x)3ax212ax3ax(x4)，因为a0，所以由f(x)0，计算得出0x0，计算得出x4或xf(2)，即函数的最小值为f(2)16a329，计算得出a2，b3.13(2021全国乙卷)设a0，若xa为函数f(x)a(xa)2(xb)的极大值点，则()AabCaba2答案D解析当a0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知ba.图1当ab.图2综上，可知必有aba2成立14(2022河南多校联考)已知函数f(x)2lnx，g(x)x2，若f(x1)g(x2)，则x1x2的最小值为_答案42ln2解析设f(x1)g(x2)t，即2lnx1t，x22t，解得x1，x2t2

17、，所以x1x2t2，令h(t)t2，则h(t)1，令h(t)0，解得t2ln2，当t2ln2时，h(t)2ln2时，h(t)0，所以h(t)在(，2ln2)上单调递减，在(2ln2，)上单调递增，所以h(t)的最小值为h(2ln2)eln22ln2242ln2，所以x1x2的最小值为42ln2.15(多选)已知函数f(x)xlnxx2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是()A0x0Cf(x0)2x00答案AD解析函数f(x)xlnxx2(x0)，f(x)lnx12x，x0是函数f(x)的极值点，f(x0)0，即lnx012x00，f0，当x时，f(x)0，当x0时，f(x)，0x00，即D正确，C不正确16已知函数f(x)x22xalnx(a0)(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，x10，一元二次方程2x22xa0的4(12a)，当a时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当0a0，x20，所以当0x0，f(x)单调递增，当x时，f(x)时，f(x)0，f(x)单调递增综上所述，当a时，f(x)的单调递增区间为(0，)，当0a时，f(x)的单调递增区间为，.(2)由(1)知，0a，x1x21，x1x2，则0x1x，则h(x)2ln(1x)10，故h(x)在上单调递增，hln 2，故mln 2.