河南省南阳市2020届高三数学上学期期中试题 文（含解析）.doc

1、河南省南阳市2020届高三数学上学期期中试题 文（含解析）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效5.保持卷面清洁，不折叠、不破损第卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，则=（）

2、A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合，由此能求出【详解】解：集合， ， 故选：D【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.若复数满足，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题先计算，然后求出共轭复数根据模长公式计算即可.详解：由题可得：故选C.点睛：考查复数的出除法运算，共轭的复数，复数的模长计算，属于基础题.3.向量，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】向量，若，则，解得.所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.

3、4.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”.B. 命题：，使得；命题：，都有；则命题为真.C. 命题“，使得”的否定是：“，均有”.D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题.【答案】D【解析】【分析】对每一个选项逐一判断得解.【详解】选项A,命题“若，则”的否命题为：“若，则”.所以该选项错误.选项B, 命题：，使得，是假命题。命题：，都有，是假命题，则命题为假.所以该选项是错误的.选项C,命题“，使得”否定是：“，均有”.所以该选项是错误的.选项D, 命题“若，则”的逆否命题为真命题.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查命题的否命题和否定，考查复合命题的真

4、假的判断，考查逆否命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 命题的否定和命题的否命题的区别：命题的否定 ，即，指对命题的结论的否定，命题的否命题，指的是对命题的条件和结论的同时否定.5.“今有垣厚二丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为（ ）A. 4B.

5、5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】先求出大老鼠和小老鼠前5天的打洞的距离和，再求大老鼠和小老鼠前6天打洞的距离和得解.【详解】大老鼠前5天的打洞的距离为1+1.5+2+2.5+3=10，小老鼠前5天的打洞的距离为0.5+1+2+2+2=7.5所以大老鼠和小老鼠前5天打洞的距离和为17.522.5.大老鼠前6天的打洞的距离为1+1.5+2+2.5+3+3.5=13.5，小老鼠前6天的打洞的距离为0.5+1+2+2+2+2=9.5所以大老鼠和小老鼠前6天的打洞的距离和为2322.5.所以两鼠相逢最快需要的天数为6天.故答案为：C【点睛】本题主要考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的掌

6、握水平和分析推理能力.6.函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由时，故排除A，D，利用导数可判断出在不是单调的，故排除C，从而得到正确选项.【详解】，故函数为偶函数，当时，故排除A，D；当时，有解，故函数在不是单调的，故排除C，故选：B【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，求解时要充分利用解析式具有的性质，对照选项中函数的图象特征进行排除，考查从图象提取信息的能力.7.已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由为偶函数得,所以,所以,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.8.如图，在中

7、，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用平面向量的线性运算，得出满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.详解：由题意，当在线段上时，当点在线段上时，当在四边形内（含边界）时，（），又，作出不等式组（）表示的可行域，如图，表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，即，故选C.点睛：在平面向量的线性运算中，如图，的范围可仿照直角坐标系得出，类比于轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（）中也有四个象限，如第象限有，第象限有，第象限有，第象限有，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.9.已知函

8、数（，），其图像相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位后，得到的图像对应的函数为偶函数下列判断正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 函数的图像关于点对称C. 函数的图像关于直线对称D. 函数在上单调递增【答案】D【解析】【分析】先根据题意求出通过变换后的解析式，再从解析式研究其具有的性质.【详解】因为图像相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，将图像向左平移个单位后得：，所以，即，因为，所以，所以.函数的最小正周期为，故A错误；，故B错误；，故C错误；故选：D.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换、周期性、对称轴、对称中心、单调性、奇偶性等性质，考查对逻辑思维能力和运算求

9、解能力，求解时熟记三角函数的性质是解题的关键.10.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，对变形可得，则函数是周期为周期函数，据此可得，结合函数的解析式以及奇偶性求出与的值，相加即可得答案【详解】根据题意，函数满足任意的都有，则，则函数是周期为的周期函数，又由函数是定义在上的奇函数，则，时，则，则；故；故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题11.在锐角中，则的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以B为原点，所在直线为x轴建立坐标系，得到

10、C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围【详解】解：以B为原点，所在直线为x轴建立坐标系，设是锐角三角形，即A在如图的线段上（不与重合），则，的范围为故选：A【点睛】本题考查数量积的应用，根据向量数量积的模长公式，利用解析法建立坐标系，利用坐标法求数量积范围是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度12.已知函数，若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意存在使得等价于存在使，令，即求在上的值域，当时，单调递减，当时，单调递增又，所以在上的值域为，所以实数的取值范围是，故选B点睛：已知函数有零点求参数范围常用方法和思

11、路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.第卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13._【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和两角和正切公式进行求值.【详解】因为.故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式和两角和正切公式的运用，考查运算求解能力，属于容易题.14.已知向量，则与的夹角为_【答案】【解析】【分析】设与的夹角为，由条件，平方可得，由此求得的值【详解】设与的夹角为，

12、则由，平方可得 ，解得，故答案为【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，已知三角函数值求角的大小，属于中档题15.已知等差数列满足，则_【答案】【解析】【分析】根据条件列出关于的三个方程，解方程组即可得答案.【详解】由题意得：，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查数列通项公式和前项和公式，考查基本运算求解能力，考查基本量法的应用.16.若平面直角坐标系内两点，满足条件：点，都在函数的图像上；点，关于原点对称.则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）已知函数有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意可知,“伙伴点组”的点满足:都

13、在函数图像上,且关于坐标原点对称.将问题转化为函数的图像与直线的交点个数为即可.【详解】由题意可知,“伙伴点组”的点满足:都在函数图像上,且关于坐标原点对称.可作出函数关于原点对称的函数的图像(如图),使它与直线的交点个数为即可.当直线与的图像相切时,设切点为,又的导数为,即解得可得函数的图像过点的切线的斜率为结合图像可知当时两个函数图像有两个交点.故答案为：【点睛】本题考查函数新定义题，求解的关键在于读懂题意，将问题进行等价转化，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要借助导数来研究直线与曲线的相切问题，考查数形结合思想的应用.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程

14、或演算步骤）17.已知数列满足且（1）证明数列是等比数列，并求；（2）设数列满足，求数列的通项公式【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）利用构造法将等价变形为，再利用等比数列定义证明，并利用通项公式求的通项公式，从而得到；（2）利用递推关系进行累加，求得数列的通项公式.【详解】（1），又，所以，数列是等比数列，公比，首项为则，；（2）由，得，又，符合上式，【点睛】本题考查等比数列的定义证明、构造法求数列通项公式、累加法求通项公式，考查方程思想的应用.18.已知的内角，所对的边分别为，且（）求角的大小；（）若，求的值【答案】（1）（2）2.【解析】（）由，得，即，故（）由，得，即

15、，又，由可得，所以【点睛】利用正、余弦定理进行“边转角”或“角转边”是近几年高考的热点，常求三角形的边、角及三角形的面积.要灵活运用正弦定理进行“边转角”或“角转边”，结合余弦定理和面积公式，注意运用 三者的关系解题.19.数列的前项和为，.（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正数，前项和为，且，若成等比数列，求.【答案】（）（）【解析】【分析】（）先根据和项与通项关系得递推关系式，再根据等比数列定义以及通项公式求结果，（）先根据条件列方程组，解得数列的首项与公差，再代入等差数列前n项和公式得结果.【详解】（）,又，因此，所以数列为以1为首项，3 为公比的等比数列，从而（）设数列的公差为，所

16、以，或或（舍）从而【点睛】给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.20.已知函数求曲线在点处的切线方程若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围【答案】(1) x+y-1=0.(2) .【解析】【分析】(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2) 函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.【详解】（1）因为，所以. 所以 又 所以曲线在点处的切线方程为 即.（5分）（2）由题意得，

17、 所以. 由，解得， 故当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 又， 结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点， 则解得. 所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数交点来求解.21.的内角，的对边分别为，已知，(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积【答案】（1）.（2）.【解析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出，再根据余弦定理即可求出；（2）先根据夹角求出，再由可得的长，根据勾股定理求出的长，然后利用三角形面积公式即可求出的面积.（1）由得，又，得.由余弦定理.又代入并整理得

18、，故. （2），由余弦定理. ，即直角三角形，得.由勾股定理.又，则.点睛：在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.22.已知（1）求函数在定义域上的最小值；（2）求函数在上的最小值；（3）证明：对一切，都成立.【答案】（）（）（）见解析【解析】【分析】（）求出导数，极值点和单调区间，可得极小值和最小值；（）讨论时，时，运用单调性，即可得到所求最小值；（）问题等价于证明由（1）设，求出导数，求出最大值即可【详解】解：（）由得，令，得 当时，单调递减；当时，单调递增可得最小值为（）当，即时， 当，即时，在上单调递增，此时所以 （）问题等价于证明由（1）知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易知，当且仅当时取到从而对一切，都有成立【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，注意运用分类讨论的方法和构造函数的方法，考查运算能力，属于中档题