《首发》2019全国二卷圆锥曲线 WORD版含解析.docx

1、已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.解：（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为由得记，则于是直线的斜率为，方程为由得设，则和是方程的解，故，由此得从而直线的斜率为所以，即是直角三角形（ii）由（i）得，所以PQG的面积设t=k+，则由k0得t2，当且仅当k=

2、1时取等号因为在2，+）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为因此PQG面积的最大值为我们可以把这个解题过程改进一下：设直线PQ的斜率为k，则其方程为 设 P(t,kt)，Q(-t,-kt),E(t,0), kQE=k2. y=k2(x-t)x2+2y2=4, 2+k2x2-2k2tx+k2t2-8=0 设，则-t和是方程的解， xG+-t=2k2t2+k2, yG=k2xG-t=k3t2+k2 kPG=yG-ktxG-t=k3t2+k2-kt2k2t2+k2=-1k,所以PGPQ，即是直角三角形SPQG=SPQE+SPEG=12kt2t+12kt2k2t2+k2=kt21+k22+k2=kt22+2k22+k2因为t2+2k2t2=4, t2=41+2k2所以SPQG=8k(1+k2)1+2k2(2+k2)=8k(1+k2)2k4+5k2+2=8k+1k2k2+2k2+5令t=k+1k(k0),则t2可得SPQG=8t2t2+1=82t+1t在2，+单调递减当t=2时，面积最大值为