圆锥曲线-湖南省十市2023届高三模拟考试数学试题分类汇编.pdf

1、 学科网（北京）股份有限公司湖南省十市 2023 届高三模拟考试数学试题分类汇编 圆锥曲线 一、单项选择题 1、（常德市 2023 届高三二模）某人同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则焦点在 y 轴上的椭圆22221yxab+=的离心率32e 的概率是（）A.536 B.16 C.14 D.13 2、（郴州市 2023 届高三三模）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两个焦点为12,F F，过1F 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若112AFBF=且2BFAB=，则椭圆的C 的离心率为（）A.13 B.14 C.33 D.63 3、（娄底市 2023 届高三四模）已知抛物线()

2、220ypx p=上的点(),2M mp 到其焦点的距离为 4，则 p=（）A.1 B.2 C.3 D.4 4、（湘潭市 2023 届高三 5 月适应性模拟）已知双曲线2222:1(0,0)xyabab=的离心率为62，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，若四边形 ABCD 的面积为12 2，则双曲线的方程为（）A.222199xy=B.221189xy=C.22212727xy=D.2213618xy=5、（益阳市 2022-2023 学年高三 4 月模拟）已知椭圆的焦点为，直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点，当三角形为直角三角形时

3、，椭圆 C 的离心率 e 等于()学科网（北京）股份有限公司 6、（株洲市 2023 届高三一模）已知曲线1xy=为双曲线，则该双曲线的 焦距为（）A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 二、多项选择题 1、（郴州市 2023 届高三三模）已知抛物线22(0)xpy p=的焦点为 F，过 F 的直线l 交抛物线于A、B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 x 轴于 M，N 两点，设线段 AB 的中点为 P，下列说法正确的是（）A.若22AF BFp=，则直线 AB 的倾斜角为 4 B.234OA OBp=C.若抛物线上存在一点(),3E t，到焦点 F 的距离等于 4，则抛物线的方程为24xy=

4、D.若点 F 到抛物线准线的距离为 2，则sin PMN的最小值为 13 2、（怀化市 2023 届高三二模）已知抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点 F 到准线l 的距离为 2，则（）A.过点()1,0A 恰有 2 条直线与抛物线C 有且只有一个公共点 B.若()3,2,TP 为C 上的动点，则 PTPF+的最小值为 5 C.直线10 xy+=与抛物线C 相交所得弦长为 8 D.抛物线C 与圆225xy+=交于,M N 两点，则4MN=3、（邵阳市 2023 届高三一模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称

5、此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔蒙日()1746 1818最先发现，已知长方形 R 的四条边均与椭圆22:163xyC+=相切，则下列说法正确的有（）学科网（北京）股份有限公司 A.椭圆 C 的离心率为22e=B.椭圆 C 的蒙日圆方程为226xy+=C.椭圆 C的 蒙日圆方程为229xy+=D.长方形 R 的面积的最大值为18 4、（湘潭市 2023 届高三 5 月适应性模拟）已知抛物线 C：()220ypx p=的焦点为 F，过点 F 的两条互相垂直的直线 12,l l 分别与抛物线 C 交于点 A，B 和 D，E，其中点 A，D 在第一象限，过抛物线 C上一点0(,2)

6、P x分别作 12,l l 的垂线，垂足分别为 M，N，O 为坐标原点，若3OA OB=，则下列结论正确的是（）A.2p=B.若3AFFB=，则直线 1l 的倾斜角为 6 C.四边形 PMFN 的周长的最大值为 4 2 D.四边形 ADBE 的面积的最小值为 32 5、（永州市 2023 届高三三模）已知抛物线C：()220ypx p=的焦点为 F，直线l 与 C 交于()11,A x y，()22,B xy两点，其中点 A 在第一象限，点 M 是 AB 的中点，MN 垂直准线于 N，则下列结论正确的是（）A.若3AFFB=，则直线l 的倾斜角为 3 B.点 M 到准线距离为2AB C.若直线

7、l 经过焦点 F 且12OA OB=，则4p=D.若以 AB 为直径的圆 M 经过焦点 F，则ABMN 的最小值为2 学科网（北京）股份有限公司6、（岳阳市 2023 届高三一模）已知抛物线23yx=上的两点()00,A xy，()()000,0B xyx及抛物线上的动点(),P x y，直线 PA，PB 的斜率分别为1k，2k，坐标轴原点记为 O，下列结论正确的是（）A.抛物线的准线方程为32x=B.三角形 AOB 为正三角形时，它的面积为 27 3 C.当0y 为定值时，1211kk为定值 D.过三点()000,Ay，()000,By，()()000,00Cxx 的圆的周长大于3 三、填空

8、题 1、（怀化市 2023 届高三二模）如图，,A F 分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的右顶点和右焦点，过,A F 作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为,A F O为坐标原点，若:3:2OAAAA F FSS =梯形，则C 的离心率为_.2、（娄底市 2023 届高三四模）已知双曲线 C：()222210,0 xyabab=，若3ab=，则双曲线 C的离心率为_ 3、（益阳市 2022-2023 学年高三 4 月模拟）过抛物线的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B两点，若为坐标原点，则三角形 OAB 的面积为_.4、（永州市 2023 届高三三模）已知双曲线：()

9、222210,0 xyabab=，圆O：2222xyab+=+与x 轴交于,A B 两点，,M N 是圆 与双曲线在 x 轴上方的两个交点，点,A M 在 y 轴的同侧，且 AM 学科网（北京）股份有限公司交 BN 于点 C.若OMCNMAON+=+，则双曲线的离心率为_.5、（岳阳市 2023 届高三一模）已知椭圆 E：22143xy+=的左、右焦点分别为1F、2F，圆 P：()2231124xy+=分别交线段1PF、2PF 于 M、N 两点，则12MF NF=_.6、（株洲市 2023 届高三一模）已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的左右焦点为1F，2F，过1F 的直线交椭圆

10、C 于 P，Q 两点，若1143PFFQ=，且212PFF F=，则椭圆 C 的离心率为_ 四、解答题 1、（常德市 2023 届高三二模）已知 A、B 是双曲线()22122:10,0 xyCabab=的两个顶点，点 P是双曲线上异于 A、B 的一点，O 为坐标原点，射线OP 交椭圆()22222:10 xyCabab+=于点Q，设直线 PA、PB、QA、QB 的斜率分别为1k、2k、3k、4k.（1）若双曲线1C 的渐近线方程是12yx=，且过点15,2，求1C 的方程；（2）在（1）的条件下，如果12158kk+=，求 ABQ的面积；（3）试问：1234kkkk+是否为定值？如果是，请求

11、出此定值；如果不是，请说明理由.2、（郴州市 2023 届高三三模）已知椭圆方程为22122:1(0)xyCabab+=，过椭圆的1C 的焦点12,F F分别做 x 轴的垂线与椭圆交于四点，依次连接这四个点所得的四边形恰好为正方形.（1）求该椭圆1C 的离心率.（2）若椭圆1C 的顶点恰好是双曲线2C 焦点，椭圆1C 的焦点恰好是双曲线2C 顶点，设椭圆1C 的焦点12,F F，双曲线2C 的焦点12,FFA为1C 与2C 的一个公共点，记12F AF=，12F AF=，求coscos的值.学科网（北京）股份有限公司3、（怀化市 2023 届高三二模）如图，椭圆22221xyab+=(0)ab

12、的左焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于,A B 两点.AF 的最大值是 M，BF 的最小值是m，满足234M ma=.(1)求该椭圆的离心率；(2)设线段 AB 的中点为G，AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点.记 GFD的面积为1S，OED的面积为2S，求1222122S SSS+的取值范围.4、（娄底市 2023 届高三四模）已知椭圆 C：()222210 xyabab+=的左、右顶点分别为()2 2,0A，()2 2,0B，右焦点为2F，O 为坐标原点，OB 的中点为 D（D 在2F 的左方），222DF=（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设过

13、点 D 且斜率不为 0 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，设直线 AM，AN 的斜率分别是1k，2k，试问12k k是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 5、（邵阳市 2023 届高三一模）已知抛物线()2:20C xpy p=的焦点为 F，且 F 与圆()22:31M xy+=上点的距离的最大值为 5.（1）求抛物线 C 的方程；（2）若点 P 在圆 M 上，PA，PB 是抛物线 C 的两条切线，A，B 是切点，求 PAB面积的最大值.学科网（北京）股份有限公司6、（湘潭市 2023 届高三 5 月适应性模拟）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,

14、F F，P 是椭圆 C 上异于左、右顶点的动点，12PF PF 的最小值为 2，且椭圆 C 的离心率为 12 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若直线 l 过2F 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，A，B 两点异于左、右顶点，直线 1l 过1F 交椭圆 C于 M，N 两点，1ll，求四边形 AMBN 面积的最小值 7、（益阳市 2022-2023 学年高三 4 月模拟）已知 F1F2 分别为双曲线的上、下焦点，其中 F1 坐标为(0,2)点是双曲线 C1 上的一个点.求双曲线 C1 的方程;已知过点 P(4,1)的直线与上支交于不同的 A、B 两点，在线段 AB 上取点 Q，满足，证明：点

15、Q 总在某条定直线上.8、（永州市 2023 届高三三模）已知椭圆C：22184xy+=，其右焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 P，PAAF=，PBBF=.（1）求证：+为定值.（2）若点 P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点 P 关于原点O 的对称点，试求 QAB面积的最小值.9、（岳阳市 2023 届高三一模）已知直线 1l：2yx=和直线 2l：2yx=，过动点 E 作平行 2l 的直线交 1l 于点 A，过动点 E 作平行 1l 的直线交 2l 于点 B，且四边形 OAEB（O 为原点）的面积为 4.（1）求动点 E 的轨迹方程；（2）当动点 E

16、 的轨迹的焦点在 x 轴时，记轨迹为曲线0E，若过点()1,0M的直线 m 与曲线0E 交于P，Q 两点，且与 y 轴交于点 N，若 NMMP=，NMMQ=，求证：+为定值.学科网（北京）股份有限公司10、（株洲市 2023 届高三一模）已知曲线2:4Mxy=与曲线 N 关于直线 yx=对称，且123A A A的顶点在曲线 N 上（1）若123A A A为正三角形，且其中一个顶点为坐标原点，求此时该三角形的面积；（2）若123A A A三边所在的三条直线中，有两条与曲线 M 相切，求证第三条直线也与曲线 M 相切 参考答案 一、选择题 1、C 2、C 3、D 4、B 5、B 6、C 二、多项选

17、择题 1、BC 2、CD 3、ACD 4、ACD 5、ACD 6、BCD 三、填空题 1、153 2、103 3、4、31+5、65 6、57 四、解答题 1、解：（1）由于双曲线1C 的渐近线方程为12yx=，可设双曲线1C 的方程为224xy=，将点15,2的坐标代入双曲线1C 的方程得()2251142=，因此，双曲线1C 的方程为2214xy=；（2）设射线OP 所在直线的方程为 ykx=，设点()00,Pxy，则00ykx=，因为点 P 在双曲线1C 上，所以220014xy=，可得220044xy=.0000000122200000221152244228yyx yx yxkkxx

18、xyyk+=+=+，415k=.所以，射线OP 所在直线的方程为415yx=.学科网（北京）股份有限公司联立直线OP 的方程与椭圆2C 的方程2241514yxxy=+=，解得264289y=，所以，点Q 的纵坐标为817，因此，ABQ的面积为1816421717S=；（3）设点()00,Pxy、()11,Q x y，由于点 P 在双曲线1C 上，则2200221xyab=，得2222002a yxab=，010ykxa=+，020ykxa=，220000000122222220000022222yyx yx yb xbkkaxaxaxaa ykayb+=+=+，同理可得23422bkkka+

19、=，因此，12340kkkk+=.2、（1）由题意，2bca=，又因为222bac=，故220acac=，即210ee=，解得512e=（舍负）（2）设椭圆1C 的方程为()()2211221(0),0,0 xyabFcF cab+=.由题意知双曲线2C 的方程为22221xycb=.联立12,C C 的方程，解之得222222,acxacbyac=+=+.不失一般性，可设 A 在第一象限，所以点222222,acbAacac+.()222222241222222212acbAFacacabacacac=+=+.学科网（北京）股份有限公司同理，()2222422212AFcacabac=+.1

20、22F Fa=.()2222221212222ccaAFAFF Fac+=+.()()222212222acacAFAFac+=+.222212122212cos22AFAFF FcacAFAF+=+.同理，222cos2aac=+因为2C 的离心率为2aec=，则221cos21e=+.1C 的离心率为1cea=，则211cos21e=+()()22121coscos2121ee=+.又125151,22ee+=，所以1coscos11=.3、【详解】(1)设(,0)(0)Fcc，则根据椭圆性质得,Mac mac=+=而234M ma=，所以有22234aca=，即224ac=，2ac=，因

21、此椭圆的离心率为12cea=.(2)由(1)可知2ac=，223bacc=，椭圆的方程为2222143xycc+=.根据条件直线 AB 的斜率一定存在且不为零，设直线 AB 的方程为()yk xc=+，学科网（北京）股份有限公司并设1122(,),(,)A x yB xy则由2222()143yk xcxycc=+=消去 y 并整理得 222222(43)84120kxck xk cc+=从而有21212122286,(2)4343ckckxxyyk xxckk+=+=+=+，所以22243(,)43 43ckckGkk+.因为 DGAB，所以2223431443Dckkkckxk+=+，22

22、43Dckxk=+.由 Rt FGD与 Rt EOD相似，所以 22222222122222243()()943434399()43ckckckSGDkkkckSODkk+=+.令12StS=，则9t，从而 1222122229114199S SSStt=，设11(,)M x y，22(,)N xy，则1222 22tyyt+=+，12262y yt=+，所以1212122 22 2yyk kxx=+()()12123 23 2y ytyty=+12212123 2()18y yt y yt yy=+22226262 23 21822tttttt+=+22266121836ttt=+16=.所

23、以12k k为定值16.5、学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6、学科网（北京）股份有限公司 7、17.学科网（北京）股份有限公司 8、（1）证明：如图所示，设(0,)Pt，11(,)A x y，22(,)B xy，因为椭圆方程：22184xy+=，所以()2,0F，由 PAAF=，得121x=+，11ty=+，学科网（北京）股份有限公司又点 A 在椭圆C 上，故22211184t+=整理得222840t+=由 PBBF=，同理可得222840t+=由于 A，B 不重合，即，因此，是方程222840 xxt+=的两个根，所以4+=为定值.（2）解：直线l 的方程为12xy

24、t+=，即(2)2tyx=，将(2)2tyx=代入22184xy+=，得22222)44160txt xt+=（，于是212242txxt+=+，21224162tx xt=+，从而12121 22QABQAPQBPSSSt xxt xx=，22222121212()()4QABStxxtxxx x=+422222161664(2)2ttttt=+2222232128432 1(2)(2)tttt+=+若点 P 不在椭圆C 的内部，则2t，即24t，所以，当2t=时，2QABS有最小值为82563299=，故 QAB面积的最小值为163.9、学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公

25、司 10、【解】由已知得曲线 N 的方程为 y2 =4x()不妨设 A1 为原点，则 A1A2 的方程为 x=y 联立方程组：243yxxy=解得 A2(12，4)，于是 A3(12,4)所以A1A2 A3 的面积为 SA1A2 A3 =48 3 （2）设 Ai(xi,yi)(i=1,2,3)，则有 xi =，不妨设直线 A1A2 ，A1A3 与曲线 M 相切，直线 A1A2 的方程为 y y1 =(x x1)，学科网（北京）股份有限公司化简为 4x (y1+y2)y+y1y2 =0，联立2121244(y +y )y+y y =0 xyx=，得：21212124160y yxxyyyy=+=16+(y1+y2)y1y2 =0 同理 16+(y1+y3)y1y3 =0，8 分 由得：(y1+y2 +y3)(y2 y3)=0，因为 y2 才 y3，所以 y1+y2 +y3 =0，9 分 直线 A2 A3 的方程为 4x (y2 +y3)y+y2y3 =0，联立2232344(y +y )y+y y =0 xyx=，=16+(y2 +y3)y2y3 =16 y1y2y3 =16+(y1+y2)y1y2 =0 所以直线 A2 A3 也与曲线 M 相切.