圆锥曲线定点问题题型分类汇编（学生版）.pdf

1、1圆锥曲线定点问题题型分类汇编题型 1 直线过定点之 y=kx+m 型题型 2 直线过定点之 x=ty+m 型题型 3 直线过定点之求直线方程型题型 4 特殊到一般法题型 5 斜率和问题题型 6 斜率积问题题型 7 斜率比值问题题型 8 多斜率问题题型 9 与角度有关的定点问题题型 10 直线过定点之类比法题型 11 定点与恒成立问题题型 12 圆过定点问题题型 1 直线过定点之 y=kx+m 型定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于 x 或 y 的一元二次方程的形式；利用 0 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；利用韦达定理表示出已知中的等量

2、关系，代入韦达定理整理；由所得等式恒成立可整理得到定点.技巧：若直线方程为 y-y0=k x-x0,则直线过定点 x0,y0;若直线方程为 y=kx+b(b 为定值),则直线过定点 0,b.1(2021贵州贵阳高三校联考开学考试)已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点为 F1-3,0，且 C 经过点P3,12(1)求 C 的方程；(2)设 C 与 y 轴正半轴交于点 D，直线 l:y=kx+m 与 C 交于 A、B 两点(l 不经过 D 点)，且 AD BD证明：直线 l 经过定点，并求出该定点的坐标2【变式训练】1(2023 上辽宁朝阳高三建平县实验中学校考期末)已知动点 M x,y到定点 N

3、3,0的距离与 M到定直线：x=4 33的距离之比为32，记点 M 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)已知曲线 C 与 y 轴的正半轴交于点 A，不与 x 轴垂直的直线 l 交曲线 C 于 E,F 两点(E，F 异于点 A)，直线 AE,AF 分别与 x 轴交于 P,Q 两点，若 P,Q 的横坐标的乘积为 43，则直线 l 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.2(2023 上广西玉林高三校联考开学考试)已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 a b 0的左焦点为 F1-2,0，且点6,1在椭圆 E 上.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)椭圆 E 的上、下顶点

4、分别为 M,N，点 P n,4n R,n 0，若直线 PM,PN 与椭圆 E 的另一个交点分别为点 S,T，证明：直线 ST 过定点，并求该定点坐标.33(2023 上江苏高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习)在直角坐标平面内，已知 A-2,0，B 2,0，动点 P 满足条件：直线 PA 与直线 PB 斜率之积等于-12，记动点 P 的轨迹为 E(1)求 E 的方程；(2)过直线 l：x=4 上任意一点 Q 作直线 QA 与 QB，分别交 E 于 M，N 两点，则直线 MN 是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由4(2023 上河北张家口高三统考开学考试)已知椭圆 C:x2a2+y2

5、b2=1 a b 0过点 A-2,1，且离心率 e=22(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 A 作与 y=tx2 t b 0)的左右焦点分别为 F1，F2，左顶点为 A，且满足 F1F2=2AF1，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3(1)求椭圆的标准方程；(2)若 P 是椭圆上的任意一点，求 PF1 PA的取值范围；(3)已知直线 l:y=kx+m 与椭圆相交于不同的两点 M，N(均不是长轴的端点)，AH MN，垂足为 H 且AH 2=MH HN，求证：直线 l 恒过定点2(2022辽宁沈阳二模)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的焦距为 2，且经过点 P 1,32(1)

6、求椭圆 C 的方程；(2)经过椭圆右焦点 F 且斜率为 k k 0的动直线 l 与椭圆交于 A、B 两点，试问 x 轴上是否存在异于点 F的定点 T，使 AF BT=BF AT 恒成立？若存在，求出 T 点坐标，若不存在，说明理由63(2023 上北京丰台高三北京市第十二中学校考阶段练习)已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(-3,0),F2(3,0)，离心率为32(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)M 为椭圆 C 的左顶点，直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点，若 MA MB，求证：直线 AB 过定点4(2023 上重庆沙坪坝高三重庆一中校考开学考试)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1

7、(a b 0)的左顶点为 A，上顶点为 B，右焦点为 F 1,0，设 O 为坐标原点，线段 OA 的中点为 D，且满足 BD=DF.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设点 T 2,tt R，圆 T 过 O 且交直线 x=2 于 M,N 两点，直线 AM,AN 分别交 C 于另一点 P,Q(异于点 A).证明：直线 PQ 过定点，并求出该定点的坐标.7题型 3 直线过定点之求直线方程型在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题证明直线(曲线)过定点的基本思想是是确定方程，即使用一个参数表示直线(曲线)方程，根据方程的成立与参数值无关得出

8、x ,y 的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线(曲线)所过的定点核心方程是指已知条件中的等量关系1(2020 下河南鹤壁高三鹤壁高中校考阶段练习)已知双曲线 C：x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的右焦点 F，半焦距 c=2，点 F 到直线 x=a2c 的距离为 12，过点 F 作双曲线 C 的两条互相垂直的弦 AB，CD，设 AB，CD 的中点分别为 M，N.(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)证明：直线 MN 必过定点，并求出此定点的坐标.【变式训练】1(2020 上安徽高三校联考阶段练习)在 PAB 中，已知 A-2,0、B 2,0，直线 PA 与 PB 的斜率之积为-34，记

9、动点 P 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)设 Q 为曲线 C 上一点，直线 AP 与 BQ 交点的横坐标为 4，求证：直线 PQ 过定点.82(2023江西景德镇统考三模)设椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右顶点分别为 A、B，且焦距为 2点 P 在椭圆上且异于 A、B 两点若直线 PA 与 PB 的斜率之积为-34(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 F-1,0作不与 x 轴重合的直线与椭圆 C 相交于 M、N 两点，直线 m 的方程为：x=-2a，过点 M作 ME 垂直于直线 m，交 m 于点 E判断直线 EN 是否过定点，并说明理由3(2023 上

10、江苏连云港高三校联考阶段练习)已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为(-2 5,0)，离心率为5，点 A1，A2为 C 的左，右顶点 P 为直线 x=1 上的动点，PA1与 C 的另一个交点为 M，PA2与 C 的另一个交点为 N(1)求 C 的方程；(2)证明：直线 MN 过定点94(2020全国校联考二模)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为直线 y=x-2 上一动点，过点 M 作抛物线 C：x2=y 的两条切线 MA，MB，切点分别为 A，B，N 为 AB 的中点(1)证明：MN x 轴(2)直线 AB 是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由5(2023 上江西萍

11、乡高三统考期末)已知椭圆 E 的中心在原点，周长为 8 的 ABC 的顶点，A-3,0为椭圆 E 的左焦点，顶点 B，C 在 E 上，且边 BC 过 E 的右焦点.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)椭圆 E 的上、下顶点分别为 M，N，点 P m,2m R,m 0,若直线 PM，PN 与椭圆 E 的另一个交点分别为点 S，T，证明：直线 ST 过定点，并求该定点坐标.10题型 4 特殊到一般法特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.1(2023 上山东高三校联考开学考试)如图，已知点 T1 3,-5和点 T2-5,21在双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a

12、 0,b 0上，双曲线 C 的左顶点为 A，过点 L a2,0且不与 x 轴重合的直线 l 与双曲线 C 交于 P，Q两点，直线 AP，AQ 与圆 O:x2+y2=a2分别交于 M，N 两点.(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)设直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，求 k1k2的值；(3)证明：直线 MN 过定点.11【变式训练】1(2023江西上饶校联考模拟预测)已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p 0)的焦点，点 P-2,4,PF=5，过点 P 作直线与抛物线 E 顺次交于 A,B 两点，过点 A 作斜率为 12 的直线与抛物线的另一个交点为点C(1)求抛物线 E 的标准方

13、程；(2)求证：直线 BC 过定点2(2023河北统考模拟预测)已知直线 l：x=12 与点 F 2,0，过直线 l 上的一动点 Q 作直线 PQ l，且点 P 满足 PF+2PQ PF-2PQ=0(1)求点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 F 作直线与 C 交于 A，B 两点，设 M-1,0，直线 AM 与直线 l 相交于点 N试问：直线 BN 是否经过 x 轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由123(2023全国高三专题练习)动点 P 到定点 F 1,0的距离比它到直线 x=-2 的距离小 1，设动点 P的轨迹为曲线 C，过点 F 且斜率为 k(k 0)的直线交

14、曲线 C 于 M，N 两点.(1)求曲线 C 的标准方程；(2)若点 M 关于 x 轴的对称点为 A，探究直线 AN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.4(2023湖南湖南师大附中校联考模拟预测)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 W:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22，椭圆 W 上的点与点 P 0,2的距离的最大值为 4.(1)求椭圆 W 的标准方程；(2)点 B 在直线 x=4 上，点 B 关于 x 轴的对称点为 B1，直线 PB,PB1分别交椭圆 W 于 C,D 两点(不同于 P点).求证：直线 CD 过定点.135(2023全国模拟预测)

15、已知 F1，F2分别是双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)的左右焦点，点P-2,2 3为双曲线 C 上的点，且 PF1F2的面积为 2 15.(1)求双曲线 C 的标准方程.(2)设原点 O 到直线 l 的距离为 2 33，直线 l 交双曲线 C 于 A，B 两点，试问：以线段 AB 为直径的圆是否经过一个定点？若经过，求出该定点；若不经过，请说明理由.题型 5 斜率和问题与定点问题有关的基本结论(1)若直线 l 与抛物线 y2=2px 交于点 A,B，则 OA OB 直线 l 过定点 P 2p,0；(2)若直线 l 与抛物线 y2=2px 交于点 A,B，则 kOA kOB=

16、m 直线 l 过定点 P p+m+p2,0；(3)设点 P 2pt20,2pt0是抛物线 y2=2px 上一定点，M,N 是该抛物线上的动点，则 PM PN 直线 MN 过定点 Q 2p+2pt20,-2pt0(4)设点 A x0,y0是抛物线 y2=2px 上一定点，M,N 是该抛物线上的动点，则 kAM kAN=m 直线 MN 过定点 P x0-2pm,-y0；(5)过椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0的左顶点 P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点 A,B，则 PA PB 直线 AB 过点 Q-a a2-b2a2+b2,0；(6)过椭圆 x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左顶

17、点 P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点 A,B，则 PA PB 直线 AB 过点 Q-a a2+b2a2-b2,0；(7)设点 P m,n是椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0上一定点，点 A，B 是椭圆 C 上不同于 P 的两点，若 kPA+kPB=0，则直线 AB 过定点 m-2n,-n-2b2ma2；(8)设点 P m,n是双曲线 C：x2a2-y2b2=1 a 0,b 0一定点，点 A，B 是双曲线 C 上不同于 P 的两点，若 kPA+kPB=0，则直线 AB 过定点 m-2n,-n+2b2ma2141(2020 下山西运城高三统考阶段练习)椭圆 E:x2a2+y2b2=

18、1(a b 0)的离心率为32，右焦点为 F2c,0，点 P 在椭圆上运动，且 PF2 的最大值为 2+3(1)求椭圆 E 的方程；(2)过 A 0,1作斜率分别为 k1，k2的两条直线分别交椭圆于点 M，N，且 k1+k2=4，证明：直线 MN 恒过定点【变式训练】1(2023山西吕梁统考二模)已知抛物线 C：y2=2px 过点 A 2,4(1)求抛物线 C 的方程；(2)P，Q 是抛物线 C 上的两个动点，直线 AP 的斜率与直线 AQ 的斜率之和为 4，证明：直线 PQ 恒过定点152(2023 上湖北随州高三随州市曾都区第一中学校考开学考试)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心为 C

19、 的动圆过点(2,0)，且在 y 轴上截得的弦长为 4，记 C 的轨迹为曲线 E(1)求 E 的方程；(2)已知 A(1,2)及曲线 E 上的两点 B 和 D，直线 AB，AD 的斜率分别为 k1，k2，且 k1+k2=1，求证：直线 BD经过定点3(2023河北张家口统考三模)已知点 P 4,3为双曲线 E:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)上一点，E 的左焦点 F1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线 E 的标准方程；(2)不过点 P 的直线 y=kx+t 与双曲线 E 交于 A,B 两点，若直线 PA，PB 的斜率和为 1，证明：直线 y=kx+t 过定点，并求该定点的坐标.16

20、4(2023 下湖南岳阳高三统考期末)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a N，四点 P1 1,1，P2 1,0，P32,3，P42,-3中恰有三点在双曲线 C 上.(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A,B 两点，若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1.证明：l 过定点.题型 6 斜率积问题1(2020北京海淀实验中学校考三模)已知点 M 为椭圆 C：3x2+4y2=12 的右顶点，点 A，B 是椭圆 C 上不同的两点(均异于点 M)，且满足直线 MA 与直线 MB 斜率之积为 14.(1)求椭圆 C 的离心率及焦点坐标；(2)试判断直线

21、AB 是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由.17【变式训练】1(2020 下山西运城高三统考阶段练习)抛物线 E:y2=2px(p 0)，斜率为 1 的直线 l 过抛物线的准线与 x 轴的交点.(1)试判断直线 l 与抛物线 E 的位置关系，并加以证明；(2)若 p=2，过 A 1,2分别作斜率为 k1，k2的两条直线 l1，l2，分别交抛物线于点 M，N 两点，且 k1 k2=8，证明：直线 MN 恒过定点，并求出定点的坐标.2(2024 上山东临沂高三校联考开学考试)已知抛物线 E:y2=2px p 0，P 4,y0为 E 上位于第一象限的一点，点 P 到 E 的准线的距离为 5

22、(1)求 E 的标准方程；(2)设 O 为坐标原点，F 为 E 的焦点，A，B 为 E 上异于 P 的两点，且直线 PA 与 PB 斜率乘积为-4(i)证明：直线 AB 过定点；(ii)求 FA FB 的最小值183(2023 上陕西西安高三校联考开学考试)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的右顶点为 M 2,0，离心率为22.(1)求椭圆 C 的方程；(2)不经过点 M 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点，且直线 MA 和 MB 的斜率之积为 1，证明：直线 l 过定点.4(2023山东泰安统考模拟预测)已知为 O 坐标原点，A 2,0,B 0,1,C 0,-1,D 2,

23、1，OE=OA,DF=DA,0 b 0)的左右焦点分别为 F1、F2，离心率 e=32，A1、A2分别为椭圆 C 的左、右顶点，且|A1A2|=4.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 O 为坐标原点，过 F2的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，求 OAB 面积的最大值；(3)若椭圆上另有一点 M，使得直线 MA1与 A2B 斜率 k1、k2满足 k2=2k1，请分析直线 BM 是否恒过定点.20【变式训练】1(2023四川成都石室中学校考模拟预测)已知点 A-2,0,B 2,0，动点 M x,y满足直线 AM 与BM 的斜率之积为-14.记动点 M 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C

24、的方程，并说明 C 是什么曲线；(2)设 P,Q 为曲线 C 上的两动点，直线 AP 的斜率为 kAP，直线 BQ 的斜率为 kBQ，且 kAP=7kBQ.求证：直线 PQ 恒过一定点；设 PQB 的面积为 S，求 S 的最大值.2(2023云南校联考模拟预测)已知圆 C：x+52+y2=4，定点 D5,0，如图所示，圆 C 上某一点 D1恰好与点 D 关于直线 PQ 对称，设直线 PQ 与直线 D1C 的交点为 T.(1)求证：TC-TD 为定值，并求出点 T 的轨迹 E 方程；(2)设 A-1,0，M 为曲线 E 上一点，N 为圆 x2+y2=1 上一点(M，N 均不在 x 轴上).直线

25、AM，AN 的斜率分别记为 k1，k2，且 k1=-4k2.求证：直线 MN 过定点，并求出此定点的坐标.213(2023内蒙古赤峰统考二模)已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为 12，其左、右顶点分别为 A,B,左右焦点为 F1,F2,点 P 为椭圆上异于 A,B 的动点，且 PF1F2的面积最大值为3.(1)求椭圆 E 的方程及 kPA kPB的值；(kPA、kPB分别指直线 PA、PB 的斜率)(2)设动直线 l 交椭圆 E 于 M,N 两点，记直线 AM 的斜率为 k1，直线 BN 的斜率为 k2，且 k1=13 k2.求证：直线 MN 过定点；设 AMN、BMN

26、 的面积分别为 S1,S2，求 S1-S2 的取值范围.4(2023贵州黔西校考一模)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的离心率是5，点 P(3,-4 2)在双曲线 C 上(1)求双曲线 C 的方程；(2)设 A-1,0，M 为 C 上一点，N 为圆 x2+y2=1 上一点(M,N 均不在 x 轴上)直线 AM,AN 的斜率分别记为 k1,k2，且 4k2+k1=0，判断：直线 MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由22题型 8 多斜率问题1(2023全国高三专题练习)在平面直角坐标系中，已知两定点 A-4,0，B 4,0，M 是平面内一动点，

27、自M 作 MN 垂直于 AB，垂足 N 介于 A 和 B 之间，且 2 MN2=AN NB(1)求动点 M 的轨迹；(2)设过 P 0,1的直线交曲线 于 C，D 两点，Q 为平面上一动点，直线 QC，QD，QP 的斜率分别为 k1，k2，k0，且满足 1k1+1k2=2k0问：动点 Q 是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由【变式训练】1(2023湖北武汉华中师大一附中校考模拟预测)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)，四点 P1(-2,1)，P2(0,2)，P3(2,1)，P4(3,1)中恰有三点在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)椭圆 C

28、 上是否存在异于 P2的两点 M，N 使得直线 P2M 与 P2N 的斜率之和与直线 MN 的斜率(不为零)的 2 倍互为相反数？若存在，请判断直线 MN 是否过定点；若不存在，请说明理由232(2023湖北武汉统考三模)已知双曲线 C1：x2a2-y2b2=1 的一条渐近线为 y=-12 x，椭圆 C2：x2a2+y2b2=1 的长轴长为 4，其中 a b 0.过点 P 2,1的动直线 l1交 C1于 A，B 两点，过点的动直线 l2交 C2于 M，N 两点.(1)求双曲线 C1和椭圆 C2的方程；(2)是否存在定点 Q，使得四条直线 QA，QB，QM，QN 的斜率之和为定值?若存在，求出点

29、 Q 坐标；若不存在，说明理由.3(2023吉林长春长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知离心率为22 的椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左焦点为 F，左、右顶点分别为 A1、A2，上顶点为 B，且 A1BF 的外接圆半径大小为3(1)求椭圆 C 方程；(2)设斜率存在的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点(P，Q 位于 x 轴的两侧)，记直线 A1P、A2P、A2Q、A1Q 的斜率分别为 k1、k2、k3、k4，若 k1+k4=53(k2+k3)，则直线 l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由244(2023四川凉山二模)在平面内动点 P 与两定

30、点 A1(-3,0),A2(3,0)连线斜率之积为-23(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程；(2)已知点 F1(-1,0),F2(1,0)，过点 P 作轨迹 E 的切线其斜率记为 k(k 0)，当直线 PF1,PF2斜率存在时分别记为 k1,k2探索 1k 1k1+1k2是否为定值若是，求出该定值；若不是，请说明理由5(2023 下重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知点 A-2,0，B 2,0，P x,y是异于 A，B 的动点，kAP，kBP分别是直线 AP，BP 的斜率，且满足 kAP kBP=-34.(1)求动点 P 的轨迹方程；(2)在线段 AB 上是否存在定点 E，使得过点 E

31、 的直线交 P 的轨迹于 M，N 两点，且对直线 x=4 上任意一点 Q，都有直线 QM，QE，QN 的斜率成等差数列.若存在，求出定点 E，若不存在，请说明理由.25题型 9 与角度有关的定点问题1(2023陕西西安校考三模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知动圆 C 与圆 O1:x2-2x+y2=0 内切，且与直线 x=-2 相切，设动圆圆心 C 的轨迹为曲线 E(1)求 E 的方程；(2)已知 P 4,y0y0 0是曲线 E 上一点，A,B 是曲线 E 上异于点 P 的两个动点，设直线 PA PB 的倾斜角分别为 ，且 +=34，请问：直线 AB 是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是

32、，请说明理由.【变式训练】1(2023浙江绍兴统考模拟预测)已知双曲线 x2-y2=1，过点 M 1,-1的直线 l 与该双曲线的左、右两支分别交于点 A,B(1)当直线 l 的斜率为 12 时，求 AB；(2)是否存在定点 P t,t-2t 1，使得 MPA=MPB？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由262(2023四川绵阳模拟预测)已知点 A 是圆 C:x-12+y2=16 上的任意一点，点 F-1,0，线段 AF的垂直平分线交 AC 于点 P(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程；(2)若过点 G 3,0且斜率不为 O 的直线 l 交(1)中轨迹 E 于 M、N 两点，O 为坐

33、标原点，点 B 2,0问：x轴上是否存在定点 T，使得 MTO=NTB 恒成立若存在，请求出点 T 的坐标，若不存在，请说明理由3(2023 上云南昆明高三昆明一中校考阶段练习)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左右焦点分别为 F1,F2，点 P 在双曲线上，若 PF1-PF2=2 33b，且双曲线焦距为 4(1)求双曲线 C 的方程；(2)如果 Q 为双曲线 C 右支上的动点，在 x 轴负半轴上是否存在定点 M 使得 QF2M=2QMF2？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由274(2022 上贵州高二校联考阶段练习)已知焦点在 x 轴上的椭圆 C：x2a2+

34、y2b2=1 a b 0的长轴长为 4，C 的右顶点 A 到右焦点的距离为 1.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)如图，已知点 P 23,0，直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 E，F，(E，F 两点都在 x 轴上方)，O 为坐标原点，且 APE=OPF.证明直线 l 过定点，并求出该定点坐标.5(2023全国模拟预测)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的虚轴长为 2，点 M 0,1到 C 的渐近线的距离为32(1)求双曲线 C 的标准方程(2)若斜率不为零的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，y 轴恰是 AMB 的平分线，试问：直线 l 是否过定点？若过定点，求该定

35、点的坐标；若不过定点，请说明理由28题型 10 直线过定点之类比法1(2023 上四川成都高三校考阶段练习)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0的左右焦点分别为 F1，F2，左顶点为 D，离心率为 12，经过 F1的直线交椭圆于 A，B 两点，F2AB 的周长为 8.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过直线 x=4 上一点 P 作椭圆 C 的两条切线，切点分别为 M，N，证明：直线 MN 过定点；求 SDMN 的最大值.【变式训练】1(2023河南校联考模拟预测)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦距为 2，圆 x2+y2=4 与椭圆C 恰有两个公共点(1)求椭圆

36、C 的标准方程；(2)已知结论：若点 x0,y0为椭圆 x2a2+y2b2=1 上一点，则椭圆在该点处的切线方程为 x0 xa2+y0yb2=1若椭圆 C 的短轴长小于 4，过点 T(8,t)作椭圆 C 的两条切线，切点分别为 A,B，求证：直线 AB 过定点292(2023 上广东惠州高三校考阶段练习)在平面直角坐标系 xOy 中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线 C 经过点 2,4.(1)求 C 的方程；(2)若 C 关于 x 轴对称，焦点为 F，过点 4,2且与 x 轴不垂直的直线 l 交 C 于 M，N 两点，直线 MF 交 C 于另一点 A，直线 NF 交 C 于另一点 B，求证

37、：直线 AB 过定点.3(2023福建校联考模拟预测)设抛物线 C：y2=2px(p 0)的焦点为 F，点 A 的坐标为 3,-2.已知点 P 是抛物线 C 上的动点，PA+PF 的最小值为 4.(1)求抛物线 C 的方程：(2)若直线 PA 与 C 交于另一点 Q，经过点 B 3,-6和点 Q 的直线与 C 交于另一点 T，证明：直线 PT 过定点.304(2023陕西西安西安市大明宫中学校考模拟预测)已知动圆 M 恒过定点 F 0,18，圆心 M 到直线y=-14 的距离为 d,d=MF+18(1)求 M 点的轨迹 C 的方程；(2)过直线 y=x-1 上的动点 Q 作 C 的两条切线 l

38、1,l2，切点分别为 A,B，证明：直线 AB 恒过定点5(2023贵州校联考二模)抛物线 C1:y2=2px p 0的焦点到准线的距离等于椭圆 C2:x2+16y2=1 的短轴长(1)求抛物线 C1的方程；(2)设 D 1,t是抛物线 C1上位于第一象限的一点，过 D 作 E:x-22+y2=r2(其中 0 r b 0)的离心率是22，点M2,1是椭圆 E 上一点，过点 P 0,1的动直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点.(1)求椭圆 E 的方程；(2)求 AOB 面积的最大值；(3)在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使 QAQB=PAPB恒成立？存在，求出点

39、Q的坐标；若不存在，请说明理由.【变式训练】1(2024陕西宝鸡校考一模)设抛物线 C：y2=2px p 0，直线 x-2y+1=0 与 C 交于 A，B 两点，且 AB=4 15.(1)求 p；(2)若在 x 轴上存在定点 M，使得 MA MB=0，求定点 M 的坐标.322(2022 上新疆乌鲁木齐高三乌鲁木齐市第 70 中校考期中)设 F1，F2分别是椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右焦点，M 是 C 上一点，MF2与 x 轴垂直.直线 MF1与 C 的另一个交点为 N，且直线 MN的斜率为312.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 A 0,1是椭圆 C 的上顶点，直

40、线 l：y=kx+m m 1与椭圆 C 交于两个不同点 P、Q，直线 AP 与x 轴交于点 S，直线 AQ 与 x 轴交于点 T.若 OS OT=2，求证：直线 l 经过定点.3(2022 上四川绵阳高三盐亭中学校考期中)已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，且经过点 P(1,2).(1)求抛物线方程;(2)若直线 l 与抛物线交于 A,B 两点，且满足 OA OB=-4，求证:直线 l 恒过定点，并求出定点坐标.334(2023 上云南昆明高三云南民族大学附属中学校考阶段练习)已知椭圆:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率是 12，其左右焦点分别为 F1,F2，过点 B 0,b且

41、与直线 BF2垂直的直线交 x 轴负半轴于 D.(1)求证：2F1F2+F2D=0；(2)若点 D-3,0，过椭圆 右焦点 F2且不与坐标轴垂直的直线 l 与椭圆 交于 P,Q 两点，点 M 是点 P 关于 x 轴的对称点，在 x 轴上是否存在一个定点 N，使得 M,Q,N 三点共线？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，说明理由.5(2022辽宁沈阳二模)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的焦距为 2，且经过点 P 1,32(1)求椭圆 C 的方程；(2)经过椭圆右焦点 F 且斜率为 k k 0的动直线 l 与椭圆交于 A、B 两点，试问 x 轴上是否存在异于点 F的定点 T，

42、使 AF BT=BF AT 恒成立？若存在，求出 T 点坐标，若不存在，说明理由34题型 12 圆过定点问题圆过定点问题圆过定点问题的常见类型是以 AB 为直径的圆过定点 P，求解思路是把问题转化为 PA PB，也可以转化为PA PB=01(2023云南昆明昆明一中校考模拟预测)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左右焦点分别为F1，F2，左顶点的坐标为-2,0，离心率为72.(1)求双曲线 C 的方程；(2)A1,A2分别是双曲线的左右顶点，T 是双曲线 C 上异于 A1，A2的一个动点，直线 TA1,TA2分别于直线x=1 交于 Q1,Q2两点，问以 Q1,Q2为直径的

43、圆是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由.35【变式训练】1(2023 上贵州黔西高三兴义第一中学校联考阶段练习)已知抛物线 C:y2=2px p 0，过焦点的直线 l 与抛物线 C 交于两点 A，B，当直线 l 的倾斜角为 6 时，AB=16.(1)求抛物线 C 的标准方程和准线方程；(2)记 O 为坐标原点，直线 x=-2 分别与直线 OA，OB 交于点 M，N，求证：以 MN 为直径的圆过定点，并求出定点坐标.2(2023山西大同统考模拟预测)已知椭圆 C1:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为22，且直线 y=x+b 是抛物线 C2:y2=4x 的一条切线(1)求椭圆

44、 C1的方程；(2)过点 S 0,-13的动直线 L 交椭圆 C1于 A,B 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点 T，使得以 AB 为直径的圆恒过定点 T？若存在，求出 T 的坐标；若不存在，请说明理由363(2023江西九江统考一模)已知过点 P(2,0)的直线 l 与抛物线 E:y2=2px(p 0)交于 A,B 两点，过线段 AB 的中点 M 作直线 MN y 轴，垂足为 N，且 PM PN.(1)求抛物线 E 的方程；(2)若 C 为 E 上异于点 A,B 的任意一点，且直线 AC,BC 与直线 x=-2 交于点 D,R，证明：以 DR 为直径的圆过定点.4(2021上海高三

45、专题练习)如图，椭圆 E：x2a2+y2b2=1 a b 0的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 e=12，过 F1的直线交椭圆于 A B 两点，且 ABF2的周长为 8.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设动直线 l：y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x=4 相交于点 Q，试探究：在 x 轴上是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.375(2023 上浙江高三校联考阶段练习)在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，动点 D x,y与定点 F 2,0的距离和 D 到定直线 x=12 的距离的比是常数

46、 2，设动点 D 的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程；(2)已知定点 P t,0，0 t b 0的离心率是22，上、下顶点分别为 A，B.圆 O:x2+y2=2 与 x 轴正半轴的交点为 P，且 PA PB=-1.(1)求 E 的方程；(2)直线 l 与圆 O 相切且与 E 相交于 M，N 两点，证明：以 MN 为直径的圆恒过定点.2(2023江苏扬州统考模拟预测)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左顶点为 A，过右焦点 F 且平行于 y 轴的弦 PQ=AF=3(1)求 APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点 D，使过点 D 的直线 l 交 C 于 M,N，交 PQ 于

47、点 R，且满足 MR ND=MD RN？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由393(2023广东梅州统考三模)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的右焦点，右顶点分别为 F，A，B 0,b，AF=1，点 M 在线段 AB 上，且满足 BM=3 MA，直线 OM 的斜率为 1，O 为坐标原点.(1)求双曲线 C 的方程.(2)过点 F 的直线 l 与双曲线 C 的右支相交于 P，Q 两点，在 x 轴上是否存在与 F 不同的定点 E，使得 EP FQ=EQ FP 恒成立？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.4(2023全国模拟预测)已知椭圆 C:x2a2+y

48、2b2=1 a b 0的离心率为22，左、右焦点分别为 F1，F2，且 F1F2=2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知直线 l:x=my+1 与椭圆 C 交于 A,B 两点，证明：在 x 轴上存在定点 D，使得直线 AD，BD 关于 x轴对称.405(2023广西柳州柳州高级中学校联考模拟预测)已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点为F，且经过点 1,32，过 F 的直线与椭圆 E 交于 C，D 两点，当 CD x 轴时，CD=1(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)椭圆 E 的右顶点为 A，若椭圆上的存在两点 P，Q，且使 kAP kAQ=120 成立，证明直线 PQ

49、过定点6(2023湖南岳阳统考二模)已知点 P 0,-2，点 A,B 分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右顶点，直线 BP 交 C 于点 Q,ABP 是等腰直角三角形，且 PQ=32 QB.(1)过椭圆 C 的上顶点 M 引两条互相垂直的直线 l1,l2，记 C 上任一点 N 到两直线 l1,l2的距离分别为 d1,d2，求 d21+d22的最大值；(2)过点 H 4,0且斜率不为零的直线与椭圆 C 相交于 E,F 两点试问：是否存在 x 轴上的定点 G，使得EGO=FGH.若存在，求出定点 G 的坐标；若不存在，说明理由.417(2023江西吉安统考一模)已知双曲线 C

50、:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)，焦点到渐近线 2x-y=0 的距离为 2.(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)记双曲线 C 的左右顶点分别为 A,B，直线 l 交双曲线 C 于点 M,N(点 M 在第一象限)，记直线 MA 斜率为 k1，直线 NB 斜率为 k2，过原点 O 做直线 l 的垂线，垂足为 H，当 k1k2为定值-13 时，问是否存在定点 G，使得 GH 为定值，若存在，求此定点 G.若不存在，请说明理由.8(2023贵州校联考模拟预测)已知双曲线 E:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的一条渐近线方程为 x-3y=0，焦点到渐近线的距离为 1.(1)求 E 的方

51、程；(2)过双曲线 E 的右焦点 F 作互相垂直的两条弦(斜率均存在)AB、CD.两条弦的中点分别为 P、Q，那么直线 PQ 是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.429(2023四川成都三模)已知斜率为3 的直线 l 与抛物线 C:y2=4x 相交于 P，Q 两点(1)求线段 PQ 中点纵坐标的值；(2)已知点 T3,0，直线 TP，TQ 分别与抛物线相交于 M，N 两点(异于 P，Q)则在 y 轴上是否存在一定点 S，使得直线 MN 恒过该点？若存在，求出点 S 的坐标；若不存在，请说明理由10(2023全国统考高考真题)已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1(a b

52、 0)的离心率是53，点 A-2,0在 C上(1)求 C 的方程；(2)过点-2,3的直线交 C 于 P,Q 两点，直线 AP,AQ 与 y 轴的交点分别为 M,N，证明：线段 MN 的中点为定点4311(2022全国统考高考真题)已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过 A 0,-2,B 32,-1两点(1)求 E 的方程；(2)设过点 P 1,-2的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点 H 满足MT=TH证明：直线 HN 过定点12(2020山东统考高考真题)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22，且过点 A 2,1(1)求 C 的方程：(2)点 M，N 在 C 上，且 AM AN，AD MN，D 为垂足证明：存在定点 Q，使得 DQ 为定值4413(2020全国统考高考真题)已知 A、B 分别为椭圆 E：x2a2+y2=1(a 1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG GB=8，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D(1)求 E 的方程；(2)证明：直线 CD 过定点.