【世纪金榜】2022届高考数学总复习 课时提升作业(二十) 3.6简单的三角恒等变换 文 新人教A版.docx

1、课时提升作业(二十)简单的三角恒等变换一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2022长治模拟)已知cos,(0,2),则sin =()【解析】选A.角是的2倍,所以因为(0,2),所以(0,),所以sin=2.化简: =()A.sin2B.tan2C.sin2D.tan2【解题提示】用二倍角公式化简,是的二倍.【解析】选D.原式=故选D.3.(2022长沙模拟)函数f(x)=sin x-cos(x+)的值域为()A.-2,2B.-, C.-1,1D.-, 【解析】选B.f(x)=sin x-cos x+sin x= (sin x-cos x)= sin(x-).xR,所以x-R,所以f(x)

2、-,故选B.4.(2022哈尔滨模拟)设函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则()A.y=f(x)在(0, )内单调递增,其图象关于直线x=对称B.y=f(x)在(0, )内单调递增,其图象关于直线x=对称C.y=f(x)在(0, )内单调递减,其图象关于直线x=对称D.y=f(x)在(0, )内单调递减,其图象关于直线x=对称【解析】选D.因为f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x+)=cos2x,所以f(x)在(0, )内单调递减,且图象关于x=对称.【加固训练】(2022郑州模拟)已知函数f(x)=sin(-x)-cos(x+),xR,则f(x)()A.

3、周期为,且图象关于点(,0)对称B.最大值为2,且图象关于点(,0)对称C.周期为2,且图象关于点(-,0)对称D.最大值为2,且图象关于x=对称【解析】选B.f(x)=sin(-x)-cos(x+)因为xR,所以x-R,所以-1sin(x-)1,则f(x)的最大值为2.因为=1,所以周期T=2.当x-=k(kZ)时,f(x)图象关于某一点对称,所以当k=0时,求出x=,即f(x)图象关于(,0)中心对称,故选B.5.(2022临沂模拟)已知函数f(x)=sin x+2cos2,设,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cabC.bacD.bca【解题提示】先化简函数f(x)的解析式,再利

4、用其单调性比较大小.【解析】选B.f(x)=因为函数f(x)在0,上单调递增,所以,而c= =2sin +=2sin +=f(0) ,所以cab.【误区警示】解答本题易误选A,出现错误的原因是不化简函数解析式,直接由自变量的大小判断a,b,c的大小.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=sin42x-cos42x的最小正周期是.【解析】y=sin42x-cos42x=(sin22x+cos22x)(sin22x-cos22x)=-cos 4x,所以最小正周期T=答案: 7.(2022长春模拟)函数f(x)=2sin的最大值为.【解析】因为f(x)=所以f(x)max=1.答案:1【加固

5、训练】(2022咸阳模拟)函数y=4cos2+1,x-,的最小值是.【解析】y=因为x-,所以,所以ymin=3.答案:38.(2022南宁模拟)设a=sin 14+cos 14,b=sin 16+cos 16,c=.则a,b,c按从小到大的顺序排列为.【解析】a=sin 14+cos 14=sin 59,b=sin 16+cos 16=sin 61,c=sin 60.因为596061,所以sin 59sin 60sin 61,所以acb.答案:ac0)的最小正周期是.(1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心.(2)若A为锐角三角形ABC的内角,求f(A)的取值范围.【解析】(1)依题意,

6、得f(x)=-sin2x=cos+,因为T=,所以=1.所以f(x)=cos+,由-+2k2x+2k,kZ,得-+kx-+k,kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为,kZ.令2x+=+k,kZ,所以x=+,kZ.所以对称中心为,kZ.(2)依题意,得0A,所以2A+,所以-1cos,所以-cos+0,所以2k+ 2k+ (kZ),所以4k+20,cos0,所以sin-cos=由得所以cos 2=2cos2-1=-.【加固训练】(2022六安模拟)已知2sin=1+cos,则tan等于()A.2B.C.或不存在D.不存在【解析】选C.当1+cos=0时,tan不存在.当1+cos0时,2.(5分

7、)(2022上海高考)方程sinx+cosx=1在区间上的所有解的和等于.【解题提示】首先将左边函数化为Asin(x+)的形式,再根据三角函数的图象特点可求.【解析】令f(x)=sinx+cosx=2sin=1,所以sin=,又x0,2所以x+=或2+,解得x=或,所以所有解的和为.答案:3.(5分)(2022西安模拟)设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos=.【解题提示】用辅助角公式求解,注意辅助角的正、余弦值.【解析】f(x)=sin x-2cos x=sin(x+),其中tan=-2,当x+=2k+时,函数f(x)取得最大值,即=2k+-.所以cos=co

8、s(-)=sin,又因为tan=-2,在第四象限,所以sin=-,即cos=-.答案:-4.(12分)(2022保定模拟)已知函数f(x)=sin cos +cos 2-1.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.(2)求函数f(x)在上的最小值.【解析】(1)f(x)=sin cos + -1=sin x+cos x-=sin(x+)-.所以函数f(x)的最小正周期为2.由2k+x+2k+,kZ,得2k+x2k+.则函数f(x)的单调递减区间是2k+,2k+,kZ.(2)由x,得x+.则当x+=,即x=时,f(x)取得最小值【加固训练】已知函数f(x)=cos 4x-2sin xco

9、s x-sin4x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)的单调区间.(3)若x0,求f(x)的最大值及最小值.【解析】(1)f(x)=(cos 2x-sin 2x)(cos 2x+sin 2x)-sin 2x=cos 2x-sin 2x=cos (2x+),所以最小正周期T=.(2)由2k-2x+2k,kZ,得k-xk-,kZ,所以函数f(x)的单调增区间为k-,k-(kZ).由2k2x+2k+,kZ.得k-xk+,kZ,所以函数f(x)的单调减区间为k-,k+(kZ).(3)因为0x,所以2x+,所以-1cos (2x+),所以-f(x)1.所以当x=0时,f(x)有最大值为1,当

10、x=时,f(x)有最小值为-.5.(13分)(能力挑战题)某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=25米,为了便于居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE,EF和OF,考虑到小区整体规划,要求O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且OEOF,如图所示.(1)设BOE=,试将OEF的周长l表示成的函数关系式,并求出此函数的定义域.(2)经核算,三条路每米铺设费用均为400元.试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.【解题提示】(1)由题意可知OFA=,利用直角三角形中边角的关系列式,结合图形求定义域. (2)利用换元法求最值,要注意的范围.【解析】(1)在RtBOE中,OE=,在RtAOF中,OF=.在RtOEF中,EF=当点F在点D时,角最小,=,当点E在点C时,角最大,=,所以l=定义域为,.(2)设t=sin+cos,所以所以当=时, lmin=50(+1),总费用最低为20 000(+1)元.