【九年级上册】24.30 弧长及扇形的面积（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题24.30 弧长及扇形的面积（知识讲解）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中（1）：360的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：（2）：n的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)特别说明：(1)对于弧长公式，关键是要理解1的圆心角所对的弧长是圆周长的，即 ；(2)公式中的表示1圆心角的倍数，故和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要

2、点二、扇形面积公式1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式 半径为R的圆中n的圆心角所对的扇形面积公式：特别说明：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1的扇形面积是圆面积的，；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、求弧长和扇形面积1.如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角，半径为6m，求该

3、扇形的弧长与面积（结果保留） 【答案】扇形的弧长为：；扇形的面积为：【分析】直接利用扇形的弧长公式和扇形的面积求解即可解：由题意得，扇形的弧长为： 扇形的面积为：【点拨】本题考查了扇形的弧长公式和扇形的面积的计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式和扇形的面积公式举一反三：【变式1】如图，直线PA与相切于点A，弦于点C，OP与相交于点D，(1) 求弦AB的长；(2) 求阴影部分的周长【答案】(1)(2)【分析】（1）根据切线的性质得到，之后在中利用勾股定理即可求出答案；（2）利用勾股定理求得长度，之后求、弧长即可（1）解：PA与相切于点A，弦于点C，在中，；（2） 解：在中， ， ，阴影部

4、分的周长【点拨】本题主要考查圆的切线的性质，勾股定理，弧长的公式，灵活地运用公式以及定理是解题的关键【变式2】如图，是以为直径的半圆上的两点，连结(1)求证：(2)若，求阴影部分的面积【答案】(1)答案见分析(2)【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到ACDDBA，根据 CABDBA得到CABACD，进而得到结论；（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论（1）证明：=，ACDDBA，又CABDBA，CABACD，；（2）解：如图，连结OC，OD ACD30，ACDCAB30，AODCOB60,COD180-AOD-COB60，SDOC=SDBC，S阴影=S

5、弓形COD+SDOC=S弓形COD+SDBC=S扇形COD，AB4，OA2，S扇形COD=S阴影=【点拨】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键类型二、求半径2.如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？【答案】8.5m【分析】由弧长公式l得到关于R的方程，解方程即可解：由l，可知R8.5（m）这段圆弧所在圆的半径R是8.5米【点拨】本题考查了弧长的计算公式：l，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数举一反三：【变式1】已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，求该圆的半径【答案

6、】半径为【分析】设该圆的半径为R，根据弧长公式列出方程，解方程可得解：设该圆的半径为Rcm，根据题意，得：，解得：R7.2，答：该圆的半径为7.2cm【点拨】本题考查了弧长公式：（n为弧所对的圆心角的度数，R为弧所在圆的半径）【变式2】如图，已知（1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若的度数为120，的长是8，求所在圆的半径的长【答案】（1）作图见分析；（2）12【分析】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可（2）根据弧长公式计算即可；解：（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可，点O即为所求；（

7、2）如图，连接AO，BO，弧AB的度数为，又弧AB的长是，解得：，所在圆的半径的长是12【点拨】本题主要考查了弧长公式的应用，结合垂直平分线作图求解是解题的关键类型三、求圆心角3.已知圆弧的半径为15厘米，圆弧的长度为，求圆心角的度数【答案】【分析】根据弧长的计算公式计算即可解：圆心角的度数【点拨】本题考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键举一反三：【变式1】如图，在ABC中，C=60，AB=4.以AB为直径画O，交边AC于点DAD的长为，求证：BC是O的切线.【分析】连接OD，根据弧长公式求出AOD的度数，再证明ABBC即可；解：证明：如图，连接,是直径且，.设，的长为，解得.即 在O中，

8、. ，即又为直径，是O的切线.【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型【变式2】若一条圆弧所在圆半径为9，弧长为，求这条弧所对的圆心角【答案】【分析】根据弧长公式计算即可.解：， ，【点拨】此题考查弧长公式，熟记公式并掌握各字母的意义即可正确解答.类型四、求点的运动路径长4.如图，AB是O的直径，M是半圆弧的中点，点C是上的动点（不与端点M，B重合），点D在弦AC上，(1) 求证：；(2) 填空：若，则点D移动的路径长等于_【答案】(1)见分析(2)【分析】（1）连接MA、MB，证明AMDBMC（SAS），即可解决问题；

9、（2）由MDC=45，推出ADM=180-45=135，推出点D的运动轨迹是弧ADM，设圆心为T，连接AT，MT，则T=90，利用弧长公式求解即可(1)证明：连接MA，MBM是半圆弧的中点，MAB=MBA=45，DCM是等腰直角三角形，AMDBMC（SAS） (2)MDC=45，ADM=180-45=135，点D的运动轨迹是弧ADM，设圆心为T，连接AT，MT，则T=90，AB=4，AM=，AT=TM=2，的长=【点拨】本题考查动点的轨迹，弧长公式，圆周角定理、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题举一反三：【变式1】在

10、如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）(1) 画出先向下平移个单位，再向右平移个单位后的图形，并写出的坐标；(2) 画出绕点顺时针旋转后的，并写出的坐标；(3)写出（2）中点到点所经过的路径长【答案】(1)见分析，(2)见分析，(3)【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；（3）利用弧长公式求解(1)解：如图，即为所求，的坐标；(2)解：画出绕点顺时针旋转后的，的坐标；(3)解：，点到点所经过的路径长【点拨】本题考查作图平移变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是

11、掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型【变式2】如图，ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）(1) 请画出ABC绕点O逆时针旋转90后的；(2) 写出点，的坐标；(3) 求出（1）中C点旋转到点所经过的路径长（结果保留）【答案】(1)见分析(2)（4，2）；（3，4）(3)点C走过路线长=2.5【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，即可画出图形；（2）由（1）可知，写出点，的坐标即可；（3）先计算出OC的长，然后根据弧长公式计算C点旋转到C1点所经过的路径长(1)解：如图所示：(2)解：由（1）可知，（4，2）；（3

12、，4）；(3)解：根据题意，C点旋转到C1点所经过的路径长=；【点拨】本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形类型五、求旋转扫过的面积5.如图，在77的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上将绕点顺时针旋转，得到(1)画出；(2)边在旋转过程中扫过的图形面积为_【答案】(1)图见分析(2)【分析】（1）利用旋转的性质找出点和点的对应点即可画出图形；（2）根据扇形的面积公式计算即可(1)解：如图，小正方形的边长为1

13、个单位长度，是等腰直角三角形，点和点是一组对应点，点和点是一组对应点，连接，则即为所作 (2)由（1）知：边在旋转过程中扫过的图形面积就是以的长为半径，圆心角为的扇形的面积，边在旋转过程中扫过的图形面积为：故答案为：【点拨】本题主要考查了作图旋转变换，扇形的面积计算，旋转的性质，勾股定理及勾股定理逆定理等知识，旋转的性质：旋转后的图形与原图形全等；对应线段与旋转中心形成的角叫做旋转角，各旋转角都相等；对应点到旋转中心距离相等准确画出旋转后的图形是解题的关键举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、 (1)点关于坐标原点对称的点的坐标为_；(2)将绕着点顺时针旋转，画出

14、旋转后得到的；(3)在（2）中，求边所扫过区域的面积是多少？（结果保留）【答案】(1)（1，-1）；(2)见分析；(3)【分析】（1）根据两个点关于原点对称时，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得出答案；（2）分别找到点A、B绕着点C顺时针旋转90以后的对应点A1、B1，然后顺次连接即可得出旋转后的图形A1B1C；（3）边CA旋转到CA1所扫过的图形为扇形，且圆心角为90度，半径CA利用勾股定理求得，然后利用扇形的面积公式计算即可；(1)解：B（-1，1），点B关于坐标原点O对称的点的坐标为（1，-1）故答案为（1，-1）；(2)如图所示，A1B1C即为所求作的图形；(3)，【点拨】此题考查了旋转

15、作图，关于原点对称的点的坐标特征，扇形的面积公式，坐标与图形变化-平移的问题，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点，注意规范作图，难度一般【变式2】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是、，AOB绕点O逆时针旋转90后得到(1) 画出，直接写出点，的坐标；(2) 求在旋转过程中，线段OB所扫过的面积 【答案】(1)见分析，（-3，3），（-2，1）(2)【分析】（1）根据网格结构找出点A，B绕点O逆时针旋转90后的对应点A1，B1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；（2）利用勾股定理列式求出OB的长，再利用弧长公式列式计算即可

16、得解（1）解：如图：A1点坐标为（-3，3），B1点坐标（-2，1）；（2）解：B1点的坐标为(-2，1)， ，线段OB所扫过的面积= 【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置和熟记扇形面积公式是解题的关键类型六、求弓形的面积6.如图，AB、AC分别是半的直径和弦，于点D，过点A作半的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F(1) 求证：PC是半的切线；(2) 若，求由劣弧AC、线段AC所围成图形的面积S 【答案】(1)见分析(2)【分析】（1）连接OC，由题意可证OCPOAP（SSS），利用全等三角形的对应角相等

17、以及切线的性质定理可得，即可证得结论；（2）根据AB6，ADO90，CAB30，可求得OD、AC，然后根据SS扇形AOCSAOC即可求得结果（1）证明：如图，连接OC，PA是半O的切线，PAOA，OAP90，ODAC，OD经过圆心O，CDAD，PCPA，OCOA，OPOP，OCPOAP（SSS），OCPOAP90，PC经过O的半径OC的外端，且PCOC，PC是O的切线（2）解：AB是O的直径，且AB6，OAOB3，ADO90，CAB30，ODOA，AC2AD，COB2CAB60，AOC18060120，S扇形AOC，SS扇形AOCSAOC【点拨】本题主要考查了切线的性质和判定、扇形的面积公式、

18、勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂径定理和直角三角形中30角所对直角边是斜边的一半熟练掌握切线的性质和判定、扇形的面积公式和做辅助线的方法是解题的关键举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，点P为CA的延长线上一点，CAD45(1) 若AB8，求图中阴影部分的面积；(2) 若BCAD，ADAP，求证：PD是O的切线【答案】(1)图中阴影部分的面积为48(2)见分析【分析】(1)连接OC，OD，由圆周角定理得到COD=2CAD，CAD=45，于是得到COD=90，根据扇形面积和三角形面积公式即可得到结论；(2)由已知条件得到BOC=AOD，由圆周角定理得到AOD=45

19、，根据等腰三角形的性质得到ODA=OAD，求得ADP=CAD=22.5，得到ODP=ODA+ADP=90，由切线的判定定理可得到结论(1)解：如图，连接OC，OD， COD2CAD，CAD45，COD90，AB8，OCAB4，S扇形COD4，SOCDOCOD448，S阴影= S扇形COD- SOCD =48(2)证明：BCAD，BOCAOD，COD90，AOD45，OAOD，ODAOAD，AOD+ODA+OAD180，ODA67.5，ADAP，ADPAPD，CADADP+APD，CAD45，ADPCAD22.5，ODPODA+ADP90，PD是O的切线【点拨】本题考查了切线的判定，圆内接四边形

20、的性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键【变式2】如图，在RtABC中，B=90，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使BCM=2A(1) 判断直线MN与的位置关系，并说明理由；(2) 若OA=6，BCM=60，求图中阴影部分的面积【答案】(1)MN与O相切，理由见分析(2)【分析】（1）MN是O切线，只要证明OCM=90即可（2）求出AOC以及BC，根据S阴=S扇形OAC-SOAC计算即可(1)解： MN是O切线理由：连接OC OA=OC，OAC=OCA，BOC=A+OCA=2A，BCM=2A，BCM=BOC，B=90，BOC+BCO=90，B

21、CM+BCO=90，OCMN，MN是O切线(2)解：由（1）可知BOC=BCM=60，AOC=120，在RtBCO中，OC=OA=6，BCO=30，BO=OC=3，BC=3，S阴=S扇形OAC-SOAC=【点拨】本题考查切线的判定、扇形面积、三角形面积等知识，解题的关键是记住切线的判定定理，扇形的面积公式类型七、求不规则图形面积7.如图，在O中，直径AB2，ABC中，BAC90，BC交O于点D，若C45，求：（1）BD的长为多少？（2）求阴影部分的面积【答案】(1)(2)1【分析】（1）连接AD，可得ADBC再根据ABC是等腰直角三角形，可得BDCD，即可求解；（2）根据AD=BD，可得弧BD

22、=弧AD，从而得到弓形BD的面积弓形AD的面积，进而得到阴影部分的面积RtADC的面积，即可求解（1）解：如图，连接AD，AB是O的直径，ADBC又BAC90，C45，BC45，ABAC，ABC是等腰直角三角形，BDCD，ADBDCD；（2）解：AD=BD，BD=AD，弓形BD的面积弓形AD的面积，阴影部分的面积RtADC的面积【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，求扇形面积，勾股定理，根据题意，作适当辅助线构造直角三角形是解题的关键举一反三：【变式1】如图，点都在上，过点C作AC/BD交延长线于点A，连接，且(1) 求证：是的切线(2) 求的半径长(3) 求由弦与弧所

23、围成的阴影部分的面积（结果保留）【答案】(1)证明见分析(2)O的半径长为6cm(3)阴影部分的面积为6cm2【分析】（1）由圆周角定理解得BOC60，再根据AC/BD得到AOBD30，继而解得ACO90，据此解答；（2）设OC 、BD相交于点E，由垂径定理解得，再根据含30角直角三角形的性质解得OB6；（3）由ASA证明CDEOBE，再利用扇形的面积公式解答即可（1）证明：CDBOBD30，BOC60ACBD，AOBD30ACO90AC为O切线（3） 解：设OC 、BD相交于点EACO90，AC/BD，BEOACO90在RtBEO中，OBD30OE=3OB6即O的半径长为6cm（4） 解：C

24、DBOBD30，又CEDBEO，BEED，CDEOBE（ASA）答：阴影部分的面积为6cm2【点拨】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆切线的判定、含30角直角三角形的性质、扇形面积公式、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键【变式2】如图，在RtABC中，C=90，B=30，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D(1) 求证：直线AB是O的切线；(2) 若，求图中阴影部分的面积【答案】(1)见分析(2)【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC=AB，求出A=90-B=60，根据直角三角形的性质得出BD=AD=A

25、B，求出AD=AC，根据等边三角形的判定得出ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出ADC=ACD=60，求出ODC=DCO=30，求出ODAB，再根据切线的判定得出即可；（2）求出BD=AC=，BO=2DO，根据勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分别求出BDO和扇形DOE的面积即可（1）证明：连接OD，CD，ACB=90，B=30，AC=AB，A=90-B=60，D为AB的中点，BD=AD=AB，AD=AC，ADC是等边三角形，ADC=ACD=60，ACB=90，DCO=90-60=30，OD=OC，ODC=DCO=30，ADO=ADC+ODC=60+30=90，即ODAB，OD过圆心O，直线AB是O的切线；（2） 解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB，又AC=，BD=AC=，B=30，BDO=ADO=90，BOD=60，BO=2DO，由勾股定理得：BO2=OD2+BD2，即（2OD）2=OD2+（）2，解得：OD=1（负数舍去），所以阴影部分的面积S=SBDO-S扇形DOE=【点拨】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键