【八年级下册】 19.4 函数的图象（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题 19.4 函数的图象（知识讲解）【学习目标】1. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.2. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系【要点梳理】要点一、函数图象的定义一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象要点二、用描点法画函数的图象的一般步骤1、列表；2、描点：3、连线。要点三、函数有三种表示形式：（1） 列表法；（2）图像法；（3）解析式法.【典

2、型例题】【类型一】图象的识别从图象中读取信息1已知某函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）自变量x的取值范围是（2）函数值y的取值范围是；（3）当x=0时，y的对应值是；（4）当x为时，函数值最大；（5）当y随x增大而增大时，x的取值范围是；（6）当y随x的增大而减少时，x的取值范围是【答案】（1）4x3；（2）2y4；（3）3；（4）1；（5）2x1（6）4x2和1x3【分析】根据自变量的定义，函数值的定义以及二次函数的最值和增减性，观察函数图象分别写出即可解：（1）自变量x的取值范围是4x3；（2）函数y的取值范围是2y4；（3）当x=0时，y的对应值是3；（4）当x为1时，函数值最大；

3、（5）当y随x的增大而增大时，x的取值范围是2x1（6）当y随x的增大而减少时，x的取值范围是4x2和1x3；故答案为（1）4x3；（2）2y4；（3）3；（4）1；（5）2x1（6）4x2和1x3【点拨】本题考查二次函数的性质，函数图象，熟练掌握函数自变量的定义，函数值的定义以及函数的增减性并准确识图是解题关键举一反三：【变式】如图，直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，由BCDA沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，ABP的面积为y，函数图象如图所示，则直角梯形ABCD的面积为_【答案】26【分析】本题考查动点函数图象的问题，要根据图象判断出各边的边长解：动点P从B点出发，由BCDA沿梯形

4、的边运动；当运动到线段CD上时，三角形的面积的值开始固定由图象可以看出，x为4时，面积开始不变，所以BC为4；x为9时，面积不变结束，所以CD945；那么AD1495，ABCD+直角梯形ABCD的面积为（5+8）426【点拨】应根据题中所给的条件先判断出面积不变的开始与结束的点，进而判断出相应的线段的长度，再求解2小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示（1）家与图书馆之间的路程为多少m，小玲步行的速

5、度为多少m/min；（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）求两人相遇的时间【答案】（1）家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为100m/s；（2）自变量x的范围为0x；（3）两人相遇时间为第8分钟【分析】(1)认真分析图象得到路程与速度数据；(2)采用方程思想列出小东离家路程y与时间x之间的函数关系式；(3)两人相遇实际上是函数图象求交点解：(1)结合题意和图象可知，线段CD为小东路程与时间函数图象，折现OAB为小玲路程与时间图象则家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为（4000-2000）（30-10）=100m/s(2)小东从离家4000

6、m处以300m/min的速度返回家，则xmin时，他离家的路程y=4000300x，自变量x的范围为0x，(3)由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，4000300x=200x解得x=8两人相遇时间为第8分钟故答案为(1)4000，100；(2)y=4000300x，0x；(3)第8分钟.【点拨】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是能从函数的图象中获取相关信息.举一反三：【变式】 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)

7、与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图：(1) 快车的速度为 km/h，C点的坐标为 (2) 慢车出发多少小时候，两车相距200km【答案】（1）100，（8,480）；（2）1.75h和4.875h【分析】（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km， 0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶，进而求出慢车速度，然后再求出快车的速度；A、B段为快车已维修好，两车共同行驶且快车在B点到站，BC段仅为慢车行驶；则可求出B点坐标，进而求出C点的横坐标即可解答；（2）分快车出现故障前和故障后两种情况解答即可解：（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km在0

8、-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶则慢车速度为=60km/h设快车速度为v，则有：（v+60）3=480，解得v=100km/hB点的横坐标为+1=5.8，从坐标为60+（60+100）（5.8-4）=348，即B（5.8,348）慢车行驶时间为h，C点的横坐标为8C点的坐标为（8,480）；（2）在快车出现故障前，两车相距200km 所用时间为：（480-200）（100+60）=1.75h；在快车出现故障后，慢车1小时行驶了60km，然后两车共同行驶了200-60=140km共同行驶时间为140（100+60）=0.875h两车相距200km

9、所用时间为4+0.875=4.875h答：两车相距200km 所用时间为1.75h和4.875h【点拨】本题考查了从函数图象中获取信息和行程问题，从函数图象中获取有用的信息成为解答本题的关键【类型二】描点法画函数图象3通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，下表是一个函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：0123456321.51.21（1）当 时，；（2）根据表中数值描点，并画出函数图象；（3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质： 【答案】（1）3；（2）见分析；（3）函数图像与轴无限接近，但没有交点【分析】（1）观察列表即可得出答案；（2）依

10、照表格中的数据描出各个点，然后利用光滑的曲线连接各点即可；（3）观察函数图像，写出一条符合函数图像的性质即可解：（1）通过观察表格发现：当时，故答案为：3；（2）如下图：（3）观察第（2）问中的图像可以得出一个结论：函数图像与轴无限接近，但没有交点；【点拨】本题考查的是函数图象，主要让学生通过描点画出函数图象，从图象中读取相关的信息举一反三：【变式1】小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完成：(1) 函数的自变量x的取值范围是_，函数值y的取值范围是_；(2) 下表为y与x的几组对应值：x12345y011.411.732在所给的平面直角坐标系中，描

11、出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(3) 当x7时，对应的函数值y约为_（精确到0.01）；(4) 结合图象写出该函数的一条性质：_【答案】(1)x1，y0(2)见分析(3)2.45(4)y随x的增大而增大（答案不唯一）【分析】（1）根据二次根式的性质即可得出结论；（2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；（3）把x=7代入函数解析式，求出y的值即可；（4）根据函数图象即可得出结论（1）解：函数的自变量x的取值范围是x1，函数函数值y的取值范围是y0；故答案为：x1，y0；（2）解：如图所示：（3）解：当x=7时，对应的函数值=2.45，故答案为：2.45；（4）解：由图象可

12、知，y随x的增大而增大故答案为：y随x的增大而增大（答案不唯一）【点拨】本题考查了函数的图象，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键【变式2】探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质(1) 绘制函数图象列表：下表是x与y的几组对应值，其中 321012312343a1描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点 （1，a）；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请补充画出函数图象(2) 探究函数性质，请写出函数的两条性质： ； ；(3) 运用函数图象及性质，根据函数图象，写出

13、不等式2的解集是 【答案】(1) 2；见分析；见分析(2) 函数图象关于y轴对称；当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小(3) x1或x1【分析】（1）将x=1代入即可求a；描出点（1，a）；请画出函数图象（2）写出两条符合图象的性质即可；（3）根据图象即可求得（1）解：当x=1，=，(点如下图所示)，(图象如下图所示)；（2）由图象可知，函数图像关于y轴对称；当x0时，y随x的增大而增大，当x0时，y随x的增大而减小；（3）由图象可知，当x=1，y=2；x1或x1时，y2，不等式2的解集是x1或x1【点拨】本题考查了函数的图形及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用

14、列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质【类型三】动点问题函数图象3如图1，在长方形ABCD中，点P从点B出发，沿BCDA运动到点A停止设点P的运动路程为x，PAB的面积为y，y与x的关系图象如图2所示(1) AB的长度为_，BC的长度为_(2) 求图象中a和b的值(3) 在图象中，当m15时，求n的值【答案】(1)8、5(2)a=18、b=20(3)12【分析】（1）根据函数图象直接可得答案；（2）利用三角形的面积公式结合图象可得a和b的值；（3）首先确定点P在AD上，求出AP的长，再代入三角形面积公式即可.（1）解：由图2知，当x=5时，点P与C重合，BC=5，当x=13时，点P与

15、D重合，BC+CD=13，CD=8=AB，故答案为：8，5；（2）当P与C点重合时，当点P与A重合时，58518；（3），此时点P在AD边上，且AP3【点拨】题目主要考查函数图象中的动点问题，理解题意，结合函数图象及图形得出相关信息是解题关键举一反三：【变式1】已知动点P以每秒2cm的速度沿图(1)的边框按从BCDEFA的路径移动，相应的ABP的面积S与时间t之间的关系如图(2)中的图象表示若AB=6cm，试回答下列问题（1）图（1）中的BC长是多少？（2）图（2）中的a是多少？（3）图（1）中的图形面积是多少？（4）图（2）中的b是多少？【答案】（1）8cm；（2）24cm2；（3）60cm

16、2；（4）17【分析】（1）根据题意得：动点P在BC上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得BC的长；（2）由（1）可得BC的长，又由AB=6cm，可以计算出ABP的面积，计算可得a的值；（3）分析图形可得，甲中的图形面积等于ABAF-CDDE，根据图象求出CD和DE的长，代入数据计算可得答案；（4）计算BC+CD+DE+EF+FA的长度，又由P的速度，计算可得b的值解：（1）由图象知，当t由0增大到4时，点P由B C，BC=42=8(cm) ；（2）a=SABC=68=24(cm 2) ；（3）同理，由图象知 CD=4cm，DE=6cm，则EF=2cm，AF=14 cm图（1）中的图象面积为

17、614-46=60cm 2 ；（4）图（1）中的多边形的周长为(14+6)2=40cmb=(406)2=17秒【变式2】如图，在长方形ABCD中，AB4，BC5，延长BC到点E，使得CECD，连接DE若动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着BCCDDA向终点A运动，设点P的运动时间为秒(1) 在整个运动过程中，点P运动了多少时间？(2) 当为何值时，ABP和DCE全等；(3) 在整个运动过程中，求ABP的面积【答案】(1)7秒(2)当或时，ABP和DCP全等 (3)【分析】（1）利用时间=总路程速度计算即可；（2）先求出CE=2，当P在BC上时，若ABP与DCE全等，则，；当P在AD上时，

18、若ABP与DCE全等，则，然后根据时间路程的关系可求t的值；（3）分P在BC，CD，AD上进行讨论即可（1）解：长方形ABCD中，AB4，BC5，AD=BC=5，CD=AB=4，在整个运动过程中，点P运动的时间t=（5+4+5）2=7（秒）；（2）解：由题意，知AB=CD=4，AD=BC=5， CECD=2，当P在BC上时，ABP与DCE全等，；当P在AD上时，ABP与DCE全等，综上，当或时，ABP和DCP全等；（3）解：当P在BC上，即时，；当P在CD上，即时，；当P在AD上，即时，；综上，【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形的面积公式等知识，运用分类思想是解题的关键【类型四】函数三

19、种表达方式再训练4已知三角形的三边长分别为10cm，7cm，xcm，它的周长为ycm（1）求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；（2）当x=6cm时，求三角形的周长；（3）当x=18cm时，能求出三角形的周长吗？为什么？【答案】（1）3x17；（2）23cm；（3）不能求三角形的周长，理由见分析.【分析】（1）根据三角形周长公式得出y与x的函数关系式即可，再利用三角形三边关系得出x的取值范围；（2）将x=6代入求出周长；（3）利用（1）中所求x的取值范围得出答案解：（1）由题意可得出：y=10+7+x=17+x107x10+7，3x17（2）当x=6时，y=17+6=23cm；（3）x=

20、18不在范围3x17内，不能求三角形的周长.【点拨】此题主要考查了三角形三边关系以及函数值求法等知识，根据三角形的三边关系得出是解题关键举一反三：【变式1】如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm（1）观察图形，填写下表：链条节数/x（节）234链条长度/y（cm）4.2（2）上表的两个变量中，自变量是 ；因变量是 ；（3）请你写出y与x之间的关系式；（4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么链条的总长度是多少？【答案】（1）5.9，7.6；（2）链条节数；链条长度；（3）y1.7x+0.8；（4）这辆自行车链条的总长为102cm【分析

21、】（1）根据图形找规律，即可求得；（2）根据函数的知识，链条的长度随着链条的节数变化而变化，即可求得；（3）根据（1）的结论写出解析式即可；（4）根据（3）解析式代入求解，最后根据实际情况，减去一个交叉重叠部分的圆的直径解：（1）根据图形可得：2节链条的长度为2.520.84.2（cm），3节链条的长度为2.530.825.9（cm），4节链条的长度为2.540.837.6（cm），故答案为：5.9，7.6；（2）链条的长度随着链条的节数变化而变化自变量是链条节数，因变量是链条长度；故答案为：链条节数；链条长度；（3）由（1）可得x节链条长为：y2.5x0.8（x1）1.7x+0.8，y与x之

22、间的关系式为y1.7x+0.8；（4）自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要减少0.8cm，这辆自行车链条的总长为1.760+0.80.8102（cm）【点拨】本题考查了函数的表示方法，求函数的解析式，函数的定义，掌握函数的相关知识是解题的关键【变式2】某超市为方便顾客购买，将瓜子放入包装袋内出售，其质量x(kg)与售价y(元)之间的关系如下表(售价中的0.10元是包装袋的费用):(1) 观察表格，写出y与x之间的关系式；(2) 买8 kg这种瓜子需花费多少元?(3) 用100元去买这种瓜子，最多能买多少千克?【答案】（1）y=15x+0.1；（2）买8 kg这种瓜子需花费120.1元；（3）用100元去买这种瓜子，最多能买6.66 kg【分析】（1）应先得到1千克苹果的售价，总售价=单价数量，把相关数值代入即可求得相关函数关系式；（2）把x=8代及函数关系式可得；（3）把y=8代及函数关系式可得.解：(1) y=15x+0.1.(2) 当x=8时，y=158+0.1=120.1买8 kg这种瓜子需花费120.1元；(3) 当y=100时，15x+0.1=100，x=6.66 用100元去买这种瓜子，最多能买6.66 kg；【点拨】此题主要考查了函数关系式以及函数值，解决本题的难点是得到每千克苹果的售价，关键是得到总售价的等量关系