注重“四基”凸显“四能”彰显核心素养——2022年高考“复数和平面向量”专题命题分析.pdf

1、下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）2022年高考中的复数和平面向量试题保持了往年的考查特点，试题注重对基础知识和基本技能的考查，能体现学生对解题经验与方法的积累程度，考查了学生的数学运算和直观想象素养.一、考查内容分析作为中学阶段数系的最后一次扩充，复数既有代数形式也有几何意义.其中，代数运算是考查的重点，主要考查学生的数学运算素养.平面向量是既有大小又有方向的量，是沟通几何与代数的桥梁，它同样既有几何表示形式又有代数表示形式，每种形式的运算及运算的应用是高考考查的重点，主要对学生的数学运算和直观想象素养进行考查.从2022年高考数学全国卷和地方卷的考查内容上看，复数与平面向量各

2、有一道题，均以填空题或选择题的形式出现.除浙江卷和上海卷的复数试题每道题为4分外，其余试卷每道题均为5分.2022年高考复数与平面向量试题的命题特点与分布分别如表 1 和表 2 所示.卷别与题号全国甲卷理1全国甲卷文3全国乙卷理2全国乙卷文2全国新高考卷2全国新高考卷2北京卷2天津卷10上海卷1浙江卷2情境水平熟悉情境熟悉情境熟悉情境熟悉情境熟悉情境熟悉情境熟悉情境熟悉情境熟悉情境熟悉情境考查知识复数运算复数运算与复数的模复数运算与复数相等复数运算与复数相等复数运算与复数相等复数运算复数运算与复数的模复数运算与复数的模复数运算复数运算与复数相等关键能力运算求解运算求解运算求解运算求解运算求解运

3、算求解运算求解运算求解运算求解运算求解核心素养数学运算数学运算数学运算数学运算数学运算数学运算数学运算数学运算数学运算数学运算难度容易题容易题容易题容易题容易题容易题容易题容易题容易题容易题表12022年高考复数试题的命题特点与分布注重“四基”，凸显“四能”，彰显核心素养2022年高考“复数和平面向量”专题命题分析刘勇（天津市滨海新区汉沽第一中学）摘要：通过对2022年高考复数和平面向量专题考查内容的整体分析，以及每道题的命题意图与导向分析，总结命题特点，厘清高考复习目标与教学方法，提出“以课程标准和教材为依据，定位复数复习要点”“强化平面向量基础知识，形成完整的单元知识结构”“挖掘平面向量中

4、蕴含的数学思想方法，发展学生分析问题和解决问题能力”的高考复习建议.关键词：数学运算；直观想象；单元结构；思想方法收稿日期：2022-07-05作者简介：刘勇（1979），男，正高级教师，主要从事高中数学教学与评价研究.命题研究 49下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）2022年高考复数试题主要考查了复数代数表示的四则运算、两个复数相等的含义，以及复数模的求法.试题均为熟悉情境和简单运算，按照 普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）（以下简称标准）对数学核心素养水平的划分，均为数学运算素养的水平一的要求.2022年高考平面向量试题主要考查了平面向量的运算及其几何意

5、义、用向量的数量积判断两个向量的垂直关系，以及平面向量与其他知识相关联的问题.其中，全国甲卷（文、理科）、全国乙卷（文、理科）、全国新高考卷和全国新高考卷注重对基础知识与基本技能的考查，均是学生较为熟悉的情境，通过简单的运算即可以解决，是数学运算或直观想象素养的水平一的要求.而四套地方卷的平面向量试题具有一定的创新性，是对学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的考查，在考查基础知识与基本技能的基础上强调数学思想方法的运用.例如，用函数思想求最值，直观想象与数学运算相结合，运用平面几何知识挖掘图形性质进而与向量相结合，等等.试题均为关联情境或综合情境，是对学生直观想象和数学运算素养的深度

6、考查，这两个素养要达到水平二及以上的要求.虽然各试卷间的考查内容及素养水平有所差异，但是每份试卷与各自的往年试卷相比，基本上保持了原来的命题特征.二、命题特点分析1.复数注重运算过程，强化运算方法复数的运算是建立在复数集内，运算的结果为a+bi（a，b R）的形式.作为基本运算的加法与乘法，运用运算法则计算即可以得到结果.减法与加法类似，除法是在乘法的基础上运用“复数与其共轭复数相乘的结果为实数”这一结论进行运算的.2022年高考复数试题都较为基础，均由教材中的例题、练习题、习题或复习参考题变式或嫁接而成，以考查复数的四则运算为主.试题情境略倾向于单元内的关联，即将复数的概念、运算、复数的模和

7、两个复数相等的问题结合在一起进行考查.例 1（全国新高考卷2）若 i()1-z=1，则z+z 的值为（）.（A）-2（B）-1（C）1（D）2命题意图与导向分析：此题将复数的概念、四则运算与共轭复数的概念相结合，考查了学生的数学运卷别与题号全国甲卷理13全国甲卷文13全国乙卷理3全国乙卷文3全国新高考卷3全国新高考卷4北京卷10天津卷13上海卷11浙江卷17情境水平熟悉情境熟悉情境熟悉情境熟悉情境熟悉情境关联情境关联情境关联情境关联情境综合情境考查知识平面向量数量积运算用坐标表示平面向量垂直的条件平面向量的数量积运算及性质平面向量的坐标运算平面向量线性运算及其几何意义平面向量的夹角与数量积的坐

8、标运算平面向量的坐标形式的运算及函数的最值问题平面向量线性运算，用数量积解决平面向量的垂直关系，运用基本不等式求最值平面向量的运算平面向量的运算（“几何形式”或“坐标形式”），平面几何与平面向量的关系，函数的最值关键能力运算求解运算求解运算求解运算求解空间想象运算求解空间想象运算求解空间想象运算求解运算求解空间想象运算求解创新意识核心素养数学运算数学运算数学运算数学运算直观想象数学运算数学运算直观想象数学运算直观想象难度容易题容易题容易题容易题容易题容易题中档题中档题中档题难题表22022年高考平面向量试题的命题特点与分布命题研究 50下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）算素养，以

9、及处理简单关联运算情境的能力.从命题导向上看，复数以考查数学运算素养为核心，考查学生的运算求解能力，设计的情境不一定是单一的，可以将一些简单的运算情境关联在一起.例2（全国甲卷文3）若 z=1+i，则|iz+3z 的值为（）.（A）4 5（B）4 2（C）2 5（D）2 2命题意图与导向分析：此题主要考查复数的运算与复数的模，是简单的关联情境，考查学生的数学运算素养.从命题导向上看，注重复数单元内关联内容的考查，设置情境较为简单，但体现了一定的关联性，要求学生在解题中清晰地设计运算的程序.例 3（全国乙卷理 2）已知 z=1-2i，且 z+az+b=0，其中a，b为实数，则（）.（A）a=1，

10、b=-2（B）a=-1，b=2（C）a=1，b=2（D）a=-1，b=-2命题意图与导向分析：此题主要考查复数的运算及两个复数相等的判定.标准中要求：掌握复数代数表示的四则运算，理解两个复数相等的含义.因此，从命题的视角上看，将两者相结合是高考命题的导向之一.2.平面向量注重向量运算，强化相关联问题的解决平面向量既是几何研究的对象，也是代数研究的对象.从几何角度来看，向量是有向的线段，既可以求模长，也可以求两个向量的线性运算和数量积运算.根据向量的这一特点，向量与平面几何有着密切的联系，利用平面几何知识可以探究线段的长度、夹角和关系等.而平面向量的基本定理可以将向量转化为两个“已知向量”，这为

11、从关联情境的视角命题创造了条件，即将平面向量的运算、平面向量的基本定理及平面几何知识结合起来，考查学生的直观想象和数学运算素养.从代数角度来看，向量可以用坐标表示，运用向量的坐标可以对两个向量进行运算，既可以求两个向量的夹角，也可以判定两个向量共线与垂直的关系，还可以求向量的模.这也是常见的命题角度，主要考查学生的数学运算素养.平面向量可以设计运动变化的情境，即运动的点、运动的向量和变化的角等，这样可以将向量与最值问题相关联，利用函数、基本不等式、三角函数等工具探究相关的最值问题，这类问题融基础性、综合性和创新性于一体，较全面地考查了学生的数学运算和直观想象素养，考查了学生的逻辑思维能力.20

12、22 年高考平面向量试题的设计源于教材又高于教材，有些试题源自教材中的向量单元，或由向量与其他单元关联而成.（1）注重平面向量运算，考查数学运算素养.例4（全国乙卷理3）已知向量 a，b 满足|a=1，|b=3，|a-2b=3，则 a b 的值为（）.（A）-2（B）-1（C）1（D）2命题意图与导向分析：该题主要考查平面向量数量积的性质，考查了学生对性质 a a=|a2 的理解与应用.同样地，全国甲卷理科第13题也考查平面向量数量积的运算.这些问题情境学生较为熟悉，与教材中的例题相仿，是对平面向量基本公式的考查.因此，考查平面向量的基本运算及性质是高考命题的导向之一.例5（全国乙卷文3）已知

13、向量 a=()2，1，b=()-2，4，则|a-b 的值为（）.（A）2（B）3（C）4（D）5命题意图与导向分析：该题主要考查平面向量的坐标运算及相关公式.全国甲卷文科第13题考查了运用坐标运算判断两个平面向量的垂直关系.这些试题的情境都是学生熟悉的简单情境，教材中此类例题和习题经常出现，难度相当，均以平面向量的坐标运算为载体，体现了高考数学回归教材、注重基础知识和基本运算的命题导向.（2）注重平面向量运算与平面几何性质相结合，考查数学运算和直观想象素养.例6（全国新高考卷4）已知向量 a=()3，4，b=()1，0，c=a+tb，若 a，c=b，c，则 t 的值为（）.（A）-6（B）-5

14、（C）5（D）6命题意图与导向分析：解决该题可以选择坐标运算或关联平面几何两种方法.命题研究 51下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）选择坐标运算法需要求出向量 c 的坐标，然后分别求两组向量夹角的余弦值，列方程解出 t 的值.已知两个向量的坐标求向量的夹角问题在教材的例题和习题中均多次出现，所以这是学生熟悉的情境.学生需要运用“平面向量的坐标运算列出方程解方程”的运算思路解决此问题，要求学生的数学运算素养达到水平二的基本要求.从解题方法的视角来看，高考命题注重平面向量的综合运算，试题难度较低，情境熟悉，内容具有关联性.关联平面几何法是将平面向量及其运算的几何表现形式与平面几何知识

15、相结合.不难联想到菱形的对角线平分一组对角，若向量 c 是两个模长相等的向量的和，即可以满足 a，c=b，c.由于|a=5，|b=1，所以只需 t=5 即可.人教A版普通高中教科书数学（以下统称“人教A版教材”）必修第二册习题6.2的第10 题为“当非零向量 a，b 满足时，a+b 平分a 与 b 的夹角”.这两道题的情境与所用知识基本相同，学生若能熟悉该情境并具备较强的平面几何解题意识，就能在这样的关联情境中抽象出关键图形，运用图形性质解决问题.由此看来，学生将义务教育阶段学习的平面几何知识迁移到平面向量问题中的能力是尤为重要的，这也是直观想象素养的体现.通常，关联平面几何的方法具有简洁性，

16、运用此类方法解题的学生直观想象素养已达到水平二的要求.从解题方法视角来看，挖掘平面图形的性质解决平面向量问题是高考命题的常见方式.例7（浙江卷17）设点 P 在单位圆的内接正八边形 A1A2A8 的边 A1A2 上，则 PA12+PA22+PA82的取值范围是.命题意图与导向分析：此题涉及平面向量、平面几何和最值问题，具有一定的综合性，有效考查了学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.试题中的动点是引起所求取值范围的唯一自变量，因此采用坐标法可以求最值.而此题的解决要写出各点的坐标，求坐标要建立在合理的坐标系的基础上，这是评价学生直观想象素养的标准之一.能正确选择坐标系，并写出各点坐

17、标的学生，其直观想象素养至少要达到水平二的要求.考虑到单位圆及每条边所对的圆心角为 45，选择单位圆的圆心为坐标原点.考虑到点的坐标的简洁性，不妨分别以 A7A3，A1A5 为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系，可得各点的坐标 A1()0，-1，A2|22，-22，A3()1，0，A4|22，22，A5()0，1，A6|-22，22，A7()-1，0，A8|-22，-22.而动点 P的坐标表示可以考虑选择一个变量或两个变量.若采用一个变量，设点 P 的横坐标为 x|x|0，22，则点 P 的纵坐标为()2-1 x-1，显然 PAi 的坐标及 PAi2的运算烦琐.此时，学生需要及时调整为选择两

18、个变量，即设点 P 的坐标为()x，y，通过运算需要求出含有两个变量的函数 PA12+PA22+PA82=8()x2+y2+8的范围，这是对学生直观想象素养的考查，学生要理解 x2+y2 的几何意义（即 OP 的距离的平方），并将图形和三角函数的相关运算相结合，求得其最大值和最小值.分析此题的解题过程，发现无论是建立平面直角坐标系还是设点的坐标均体现了学生的元认知能力.具体表现为学生在解题时对建立平面直角坐标系和设动点为一个变量还是两个变量要进行调整，对所建立的坐标系要有信心，计算每个点的坐标时要有意志力.同时，要相信自己的做法能解决问题，当遇到运算困难时及时调整解题策略.由此看来，该题具有综

19、合性和创新性的特点，对学生的直观想象素养要求较高，学生不但要具备平面向量坐标运算的知识基础，还要理解并运用数形结合思想和函数思想，而且能将知识与思想方法融会贯通，解题中遇到困难时要能及时调整解题策略.根据上述分析，此题的情境较为综合，试题难度大，区分度强，基本达到了直观想象素养水平三的要求，充分考查了学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.不难发现，以平面向量为载体，以求最值为问题表征，以数形结合为工具，深层次地将直观想象与数学运算相融合是高考平面向量试题命制的导向之一.在人教 A 版教材必修第二册第六章“平面向量及其应用”的“数学探究”栏目中，研究了“用向量法研究三角形的性质”.类

20、比研究方法，学生可以联想经命题研究 52下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）过正八边形中心 O 的向量有丰富的几何性质，于是运用平面向量基本定理将向量 PAi 转化为与中心 O 相关的向量.通过分析图形中的关系，不难发现动向量 PAi可以用定向量 OAi 和 OP 表示，即 PAi=OAi-OP.这要求学生熟悉平面向量基本定理，具有运用平面几何知识解决平面向量问题的意识，具有用向量方法探究平面图形性质的活动经验.然后根据平面向量运算的性 质，得 PAi2=()OAi-OP2=OAi2-2()OAi OP+OP2.通过分析圆的内接正八边形的性质，可以得 OA1=-OA5，OA2=-O

21、A6，OA3=-OA7，OA4=-OA8.所以i=18 PAi2=8+8 OP2.接下来只需探究等腰三角形 OA1A2 的性质，即可以求得|OP 的范围.该方法以平面向量基本定理为转化工具，通过对平面图形性质的研究发现向量的关系，运用平面向量的运算达到化简的目的.这要求学生掌握转化与化归的数学思想方法，深刻理解平面向量的几何表示及两个相反向量的关系，需要学生具备较强的几何意识及平面向量运算能力，是对学生综合能力的考查，对评价学生的直观想象素养有特别重要的意义.此方法显然比上述方法的运算量要小，体现了运用图形的几何性质解决问题的简洁性.从这种解题角度来看，通过探究几何图形的性质发现向量的特点和向

22、量的关系是高考命题的常见导向.该题的两种解法均考查了学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.对于坐标法，学生运用几何直观发现图形中角的大小和垂直关系，提出“运用建系求点的坐标及函数知识”解决问题.由于该题需要求取值范围，学生要分析动点 P 是引起取值变化的自变量，根据解决此类问题的基本活动经验建立函数并求得范围.如果遇到运算上的困难，学生还要提出“如何使运算更便捷”的问题，在分析与尝试中调整解题方法.对于几何法，学生在转化思想的引领下，发现向量与向量之间的关系，提出“将动向量转化为定向量”的问题，进而通过分析几何图形的性质并结合数学运算解决问题.由此看来，对学生“四基”“四能”的考查

23、已逐渐成为高考的热点.（3）注重平面向量运算与数学思想方法相结合，考查学生综合解决问题的能力.例8（天津卷14）在ABC 中，D 是 AC 的中点，点 E 满足 CB=2 BE，记 CA=a ，CB=b，用 a，b表示 DE 为；若 AB DE，则 ACB 的最大值为.命题意图与导向分析：此题由两个小问构成.第一问考查平面向量基本定理，考查学生的直观想象素养.问题情境较简单，是对基础知识和基本技能的考查.与此类似的试题还有全国新高考卷第 3 题.第二问设置了垂直的情境，与平面向量的数量积运算相关联.对于最值问题，以基本不等式为工具，凸显问题的综合性.解题时，运用第一问的结论，结合条件中的垂直关

24、系，不难发现运用“基底法”可以将相 关向量转换成已知向量，于是可以得到()b-a 32b-12 a=0，整理，得 2|a|b cos C=32b2+12 a2，即cos C=32b2+12 a22|a|b.结合所求的最值问题，需要联想求最值的工具.对于含有两个变量的最值问题，运用基本不等式求解是首选.由基本不等式，得 cos C=32b2+12 a22|a|b2 32|b 12|a2|a|b=32，当且仅当3|b=|a 时，等号成立.于是 ACB 的最大值为 6.该问将数学中平面向量与不等式单元相融合，充分考查了学生灵活运用知识的技能和理解数学思想方法的能力，这也是该题的创新点与命题的主要意图

25、.平面向量的关联情境是高考的热点问题，通过平面向量基本定理对所求向量进行转化，通过向量运算、函数、基本不等式等方法解决相关最值问题是高考的命题导向.综合情境与解法来看，该题是对学生“四基”“四能”的考查，它融基础性、应用性、综合性和创新性于一体.试题中含有平面向量的基本定理、向量的线性运算和两个向量垂直判定的基础知识，解题时要运用将向量转化为两个不共线向量和基本不等式求最值的基本技能.解题主要运用了转化与化归的数学思想方法.该题设置的求最值问题情境，既体现了基本不等式的应用，又对学生求含有两个变量的最值问题的基本活动经验进行了考查.试题的综合性与创新性在于将平面向量与基本不等式巧妙地结合在一起

26、.学生命题研究 53下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）在解第二问时，要先提出“如何建立所求角与边之间的关系”的问题，然后结合图形与垂直条件发现其中的等量关系.由于已知条件中没有边之间的关系，学生会提出“用什么知识作为求最值的工具”的问题，通过提取基本活动经验，联想到基本不等式，进而求得结果.该过程是学生“四能”的体现，特别是面对新情境，发现问题与提出问题是解题的关键.高考经常通过设计基础性、应用性、综合性和创新性相结合的试题来考查学生的“四基”“四能”.例9（北京卷10）在ABC 中，AC=3，BC=4，C=90.P 为ABC 所在平面内的动点，且 PC=1，则 PA PB 的取

27、值范围是（）.（A）-5，3（B）-3，5（C）-6，4（D）-4，6命题意图与导向分析：该题是直角三角形、平面内动点及平面向量相关联的问题情境，设计了求最值的问题表征.试题中具有明显的建立坐标系的条件，可以选择“坐标法”求解.解决该题的关键在于设点 P的坐标.根据 PC=1 及最值问题，可以联想利用三角函数设点的方法，即设 P()cos，sin ，0，2.这里只含有一个变量，运用三角函数的最值即可求得其范围，PA PB=()3-cos，-sin ()-cos，4-sin =-3 cos -4 sin +cos2+sin2=1-5 sin()+（其中sin =35，cos =45）.由此得 P

28、A PB 的取值范围是-4，6.不难发现，这种做法考查了学生的直观想象和数学运算素养，将坐标与三角函数相结合是解决问题的要点，体现了高考命题既注重基础性又注重综合性的特点.与平面向量相关的最值问题体现了各单元知识的融合，是对学生综合能力的考查，也是高考中中档题和难题的命题导向.三、复习教学建议1.以课程标准和教材为依据，定位复数复习要点对于复数的复习，通过分析课程标准、教材，以及各年的高考试题，不难发现其重点在于运算，且运算过程呈现程序化的特点，运算步骤较为简洁，运算思路较为明确.在高考复习时需要重点关注两个问题：一是复数的四则运算，复习难度与教材例题、习题相当即可，不宜增加难度；二是复数单元

29、内知识的整合，像复数相等的条件、复数的模、复数的实部与虚部等内容，标准中均要求理解或掌握，它们经常与复数运算融合考查，所以在复习中不能出现知识“盲区”，每个点均要落实到位.虽然是关联情境，但学生较为熟悉，难度也不大，教学中可以将教材中两个熟悉的情境关联起来，为学生创设复数单元内知识关联的情境，特别是复数运算与其他复数知识的交会问题，要重点强调，加强练习，让学生达到能熟练解决问题的水平.以往的考后数据显示，经常会有个别学生的复数运算出现错误，这种情况一般是由运算习惯或心理因素造成的.因此，在教学中，教师要帮助学生养成良好的运算习惯.例如，采用边算边验、整体回顾验证等方法提高运算的准确率.教师要帮

30、助学生理解“为何这样算”“如何探索运算思路”“怎样设计运算程序”，帮助学生理解复数运算的本质.必要的时候，要对个别学生进行个性化指导.2.强化平面向量基础知识，形成完整的单元知识结构（1）深入理解平面向量几何形式的运算，注重对平面几何图形性质的挖掘.平面向量的方向和大小共同决定了向量的运算.向量的加法是最基本的运算.教学中，教师要强化三角形法则和平行四边形法则的应用，帮助学生理解并熟练运用首尾相连的方法.减法由加法“衍生”而成，教学中教师要帮助学生理解向量减法与向量加法的关系，提炼出向量减法的运算规律.学生要理解并熟练运用“共起点，连接终点指向被减”的方法.数乘运算不但能解决共线问题，还与平面

31、几何中的“线段的分点”有着密切的关系.教学中，教师要通过典型例题让学生理解数乘的意义.将上述三种“线性运算”结合起来考查是高考的命题热点，教师要注重创设“正反”两个方面的问题情境：“正向”运算即进行加法、减法、数乘的综合运算；“反向”运算是平面向量基本定理的应用，即将一个向量转化为两个不共线的向量的组合形式.教师要让学生经历解题过程，帮助他们先树立一定能转化的信心，再利用这三种线性运算将其转化.特别要向学生重点强调，解题时会经常运用平面几何知识探究图形的性质，像等腰三角形“三线合一”、平行四边形对角线互相平分、菱形对角线互相垂直等性质，再与向量运算相结合.命题研究 54下半月（高中版）2022

32、年第9期（总第270期）平面向量的数量积是最重要的向量运算，它是求长度和角度的工具，高考中通常有三种表现形式.其一是对 a2=|a2 的应用.此类试题通常以“文字题”的形式出现，其变形|a+b2=()a+b2=a2+2ab+b2 是常见考点.教学中，教师要帮助学生深刻理解该运算公式的由来和运算特点.其二是与平面向量基本定理相关联，即将向量转化后再进行数量积运算，教师要通过具体实例让学生体会如何选基底、如何运用运算法则，体会运算的过程，形成一般化的解题思路.其三是利用平面向量的数量积解决两个向量垂直的问题，教学中要通过创设适当的情境，增强学生运用数量积解决垂直问题的意识，帮助他们掌握解决此类问题

33、的一般步骤.在平面向量四种运算的复习过程中，要将提高学生直观想象素养作为重要的教学目标，无论是直接运算，还是运算与平面几何的关联，都要让学生体会挖掘几何条件对运算的作用，以及向量运算对探究几何性质的作用.教学中，要为学生尽可能多地创设一些几何情境，使学生形成将向量几何形式的运算与平面几何相统一的意识，特别要关注平面向量基本定理、向量运算、平面几何三者相关联的问题，可以采用“解题反思”的方法让学生体验其关系及表现形式.（2）深化运用平面向量坐标形式的运算，注重总结求向量坐标的方法.平面向量运算的另一种形式是坐标形式，“向量坐标运用公式”是该形式的运算程序.此运算的前提是建立适当的平面直角坐标系.

34、坐标系的建立学生需要具有良好的直观想象素养.这就要求教师在教学中要让学生辨析不同几何图形的建系方法，特别是分析几何性质中的垂直条件.例如，直角三角形的两条直角边，等腰三角形（梯形）的底边和高线，以及菱形对角线等均是常见的建立坐标系的关键点.求向量的坐标也是此类问题的难点之一，既需要较强的运算能力，又需要几何直观能力，教学中要重点关注求向量坐标的方法的总结.其一是通过平面几何知识求点的坐标，这仍然要培养学生的几何直观能力，需要为学生创设适当的情境，利用平面几何知识求线段的长，进而求出点的坐标和向量的坐标；其二是通过向量运算求点的坐标，这要培养学生的运算能力，让学生体会运用向量运算求点的坐标的一般

35、步骤.此外，对于运算中公式的直接运用、变形运用均要练习到位，培养学生熟练的运算技能，关注学生运算的准确性.（3）深刻挖掘教材内容，梳理单元知识结构图和解题思维导图.通过上述高考试题分析，不难发现高考中的简单题和中档题大多数源于教材，是由教材中的题目经过变式、嫁接或关联而形成的.这些试题创设的一般是单元内知识的关联情境.由此可见，以教材为“蓝本”，熟悉单元知识结构对高考解题思路的制定是至关重要的.因此，教师要帮助学生梳理单元知识结构图和解题思维导图.对于平面向量的知识结构，教材是从对一个向量的认识开始，过渡到两个向量的关系与运算.四种运算均具有自身的几何形式.将线性运算结合起来就可以探究出平面向

36、量基本定理，利用平面向量基本定理可以将“陌生向量”分解成两个“已知向量”的线性组合形式.平面向量具有坐标表示形式，根据坐标可以对两个向量进行运算，并能求两个向量的夹角，判定两个向量是否共线、垂直等.当建立起单元整体知识结构后，还可以将教材中的例题、习题及往年高考试题融入知识结构框架之中，分析试题的立意，并与知识结构对号入座.这样学生能较容易地领悟平面向量单元的重点、联结点，以及命题的要点.学生熟悉单元结构后，对单元内容驾轻就熟，能快速分析试题情境，抽象出数学问题，准确提取解题知识点，从而形成解题思路.平面向量单元知识结构图和单元解题思维导图分别如图1和图2所示.图1平面向量单元知识结构图平面向

37、量背景与概念平面向量的几何形式运算平面向量基本定理平面向量的坐标及其运算表示（一个向量）相等与共线（两个向量）加法运算及其几何意义减法运算及其几何意义数乘运算及其几何意义数量积运算及其几何意义运算性质运算律判定向量垂直判定向量共线定理定理的应用加、减、数乘运算公式数量积运算公式及其变形应用将向量转换成两个已知向量正交分解命题研究 55下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）图2平面向量单元解题思维导图平面向量基底法平面几何线段长，角平行线：角三角形、等腰三角形、直角三角形、相似等平行四边形、矩形、菱形、正方形性质线性运算：几何意义数量积运算：“换”线段上动点：引入参数解决最值问题：函数

38、、基本不等式等腰梯形、直角梯形等圆的性质模长与夹角，确定基底写坐标基底法建系点的坐标向量坐标向量运算公式建立函数（基本不等式）求最值平面向量单元的解题思维导图是帮助学生快速解决问题的工具.通过对试题情境的分析，学生要准确选择基底法或坐标法.利用基底法时，主要体现转换思想，即将向量转化为已知向量，而已知向量的模长、夹角等经常运用平面几何中三角形、四边形等相关知识进行推理.利用坐标法时，关键在于求向量的坐标，求坐标也要充分利用平面几何知识或向量运算的知识.上述两种方法经常会设计求最值的问题.求最值的关键在于找好自变量，进而建立函数、方程或不等式，利用函数或基本不等式等工具求得最值.教学中，为了能让

39、学生形成解题思维导图，可以采用“问题串”的方法引导学生逐步建立，即教师通过辨析不同的问题情境设计“小步子”的问题，引导学生建立不同问题情境的解题思路.教师要帮助学生总结情境的类型，即单一问题情境、单元内部关联情境和与平面几何的关联情境.还可以从变量角度分为无变量、含一个变量和含有两个变量的问题.也可以从结论上分为直接求值、求最值和求定值等问题.教学中，教师要帮助学生总结解决每类问题的解题策略，不断丰富解题思维导图.3.挖掘平面向量知识中蕴含的数学思想方法，发展学生分析问题和解决问题能力平面向量综合问题中蕴含了转化与化归思想、函数与方程思想和数形结合思想等.上述例6 例9均是较好的例证.教师要帮

40、助学生从思想方法的维度来分析问题，也可以开展题后反思活动体会思想方法在平面向量问题中的表现形式.例如，在求最值问题中，几何形式的动点可以转化为代数形式的变量，通过向量的运算形成所求量与变量之间的关系，得到待研究的函数，再利用函数知识求得最值.教师在教学过程中要将理解函数思想的应用作为教学重点，即因变量与哪些变量之间存在联系，从而正确选择自变量，体会函数思想在解题中的作用.又如，平面向量问题的运算量有时候可能比较大，由于平面向量运算均有几何意义，所以运用平面几何知识往往能解决一些与运算相关的问题.教学中，可以通过比较解法的繁简程度让学生体会数形结合思想在解决平面向量问题中的作用.再如，平面向量问

41、题中有时候可以含有两个变量，可以根据平面向量基本定理中的“唯一性”采用方程思想求得变量的值.教师要让学生体会方程思想的应用.有时候是关于两个变量的最值问题，还可以采用基本不等式求最值，教师要带领学生体验数学方法在解决平面向量问题中的应用.上述几类问题均是数学思想方法在平面向量中的应用，教师要思考思想方法与平面向量为何可以融合、如何运用数学思想方法、由何能将两者结合等问题，让学生进一步体会数学思想方法在解题中的作用.教师要多引导和点拨，学生要深入思考和体验，从而提高解决问题的能力.复数是高考中体现数学运算素养的载体，掌握复数的运算方法是解决问题的关键.平面向量是对学生数学运算与直观想象素养的考查

42、，基底法和坐标法是解决平面向量问题的基本方法，基础知识与数学思想方法相结合是解题的关键，平面向量与平面几何相结合是解题的要点.四、典型模拟题根据上述对2022年高考中复数与平面向量试题的命题特点分析，结合近几年高考的考查要求，以评价学生的数学核心素养水平为目标，命制相关模拟试题1.复数模拟题（1）i 为虚数单位，若 a-2i1-2i 为纯虚数，则实数 a的值为（）.（A）1（B）-1（C）4（D）-4命题研究 56下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）答案：D（2）已知复数 z 在复平面内的对应点是()1，-1，则|z+1z-1 的值为答案：5 2.平面向量模拟题（1）已知 a=()

43、1，2，b=()2，m，若非零向量 c 满足 a c，b c，则|b 的值为（）.（A）5（B）5（C）3（D）3答案：A（2）在梯形 ABCD 中，AB CD，AD=1 ，AB=3 ，CD=1 ，AC AB=32，点M满足 AM=13 AB，则 BAD的大小为；若 BD 与 CM 相交于点 P，N 为线段 AC 延长线上的动点，则 NP NB 的最小值为答案：120；2336 参考文献：1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2 教育部考试中心制定.中国高考评价体系M.北京：人民教育出版社，2019.3 教育部考试中

44、心编写.中国高考评价体系说明M.北京：人民教育出版社，2019.1，2，3，n2 放置在 n 行 n 列（n 3）的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n 阶幻方”.洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15.则7阶幻方的“幻和”为（）.438951276图3图4（A）91（B）169（C）175（D）180答案：C.我们解决数学问题是为了更好地理解数学，而理解数学，则是为了更好地解决数学问题.理解数学意味着让学生知其然，知其所以然，何以知其所以然，何以由然.新高考背景下的数列专题复习教学，要关注对数列概念的理解，关注对数列本质的探求

45、，强化数列知识的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性和思维的系统性.关注数学情境，关注学生从解题到解决问题能力的培养.参考文献：1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2 教育部考试中心制定.中国高考评价体系M.北京：人民教育出版社，2019.3 教育部考试中心编写.中国高考评价体系说明M.北京：人民教育出版社，2019.4 郭慧清，黎治国.2021年高考“数列”专题命题分析J.中国数学教育（高中版），2021（7/8）：59-67.5 李叶，薛红霞.2020年高考“数列”专题命题分析J.中国数学教育（高中版），2020（10）：14-20.6 王峥，胡水林，张金良.2019年高考“数列”专题命题分析J.中国数学教育（高中版），2019（7/8）：64-69，94.（上接第48页）命题研究 57