注重知识本质理解 强化关键能力考查——2022年高考“函数与导数”专题命题分析.pdf

1、下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）注重知识本质理解强化关键能力考查2022年高考“函数与导数”专题命题分析杨林军杨林军（北京市大兴区教师进修学校北京市大兴区教师进修学校）摘要：通过对2022年高考数学试卷中函数与导数相关试题的多角度梳理，从必备知识、关键能力和学科素养等方面分析试题命制中呈现的特点，并通过对典型问题的题例分析，归纳出“注重知识本质理解，强化关键能力考查”的命题主旨，在此基础上提出高考复习教学建议关键词：函数与导数；命题特点；教学建议收稿日期：2022-07-05作者简介：杨林军（1964），男，正高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.卷别全国新高考卷全国新高考卷

2、全国甲卷理文题型选择题选择题（多选）填空题解答题选择题填空题解答题选择题解答题选择题解答题题号71012152281422561221781220分值55551255125551255512考查内容利用函数的性质比较大小，利用导数研究函数的性质三次函数的图象与性质，导数的几何意义抽象函数的性质，具有对称性函数的导函数的性质导数的几何意义，已知切线的性质求参数范围运用导数研究函数的极值、最值等，利用函数性质解决综合问题抽象函数，函数的奇偶性、周期性及其应用对数函数，导数的几何意义，求函数曲线的切线运用导数工具研究函数的单调性、极值、零点，不等式的性质，数列求和指数函数、三角函数，函数的奇偶性，函

3、数的图象求导运算，导数的几何意义，函数的极值与最值构建新函数，运用导数工具研究函数单调性，利用单调性比较大小不等式性质，利用导数研究函数的性质，函数性质的综合应用根据函数解析式的代数特征研究函数的性质求导运算，导数的几何意义，函数的极值与最值指数函数的对数运算，不等式性质，构建函数，利用函数的单调性比较大小导数的几何意义，利用导数求三次函数的切线，利用公切线求参数的范围表1函数与导数题型、题号、分值、考查内容统计表函数作为高中数学课程的四大主线之一，历来都是高考考查的重点.同时，由于内容的联系性、综合性，以及解法的灵活性，函数与导数相关试题在整套试卷的各类题型中常常作为“把关题”出现，承担着区

4、分与选拔的功能.2022年高考数学试卷对于函数与导数内容的考查，在必备知识、关键能力和学科素养等方面呈现怎样的特点？这些特点对我们以后的教学有怎样的启示？下面针对这些问题，从整体上进行如下分析.一、考查内容分析针对2022年高考数学试卷中函数与导数的相关试题，从题型、题号、分值、考查内容等方面进行梳理，如表1所示.命题研究 24下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）卷别全国乙卷北京卷天津卷浙江卷上海卷理文题型选择题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题填空题解答题题号12162181620411142035152079142281218分

5、值551255124551555515446155514考查内容抽象函数，函数的奇偶性、周期性、对称性求导运算，利用导数研究函数的极值导数的几何意义，求导运算，利用导数研究函数零点函数的奇偶性，函数的图象与性质对数运算，函数的奇偶性，对数函数的图象与性质函数求导，利用导数求函数极值、最值、零点由函数解析式判断函数的性质（对称性）一次函数、二次函数的图象与性质，求解不等式分段函数的图象与性质，参数的几何意义导数的几何意义，利用导数工具研究函数的单调性，利用函数性质证明不等式利用函数解析式判断函数的图象与性质幂函数、指数函数、对数函数性质的应用含参函数的图象与性质，函数零点导数的几何意义，利用导数

6、研究函数的性质，利用性质证明不等式幂函数、指数函数、对数函数的运算含绝对值一次函数的图象与性质，不等式的性质分段函数的图象与性质，性质的应用利用导数判断函数的单调性，应用函数的性质解决不等式综合问题分段函数，函数的奇偶性抽象函数，函数的概念、定义域、值域、图象与性质对数函数，函数图象的平移，利用函数的性质解不等式续表通过梳理，可知2022年高考对函数与导数内容的考查呈现如下特点.（1）函数与导数内容是高考考查的重点.从分值占比来看，全国卷中函数与导数相关内容占22 32分，地方卷中函数与导数相关内容占24 30分，与往年相比相对稳定.其中，全国新高考卷和2020年所占分值相同，为32分.整体而

7、言，地方卷对函数与导数的考查分值高于全国卷.（2）在整套试卷中，函数与导数内容几乎覆盖了选择题（包括多选题）、填空题、解答题等所有题型，凸显了其基础性、综合性、应用性和创新性.特别是在全国新高考卷中，通过两道多选题，多角度、多层次考查了学生对函数与导数内容的深度理解和灵活应用.（3）从函数与导数试题在各份试卷中所处的位置来看，绝大多数试题位于各类型试题压轴题的位置，凸显了函数与导数内容在考查学生思维品质、创新思维和关键能力方面的重要作用.同时，体现了函数与导数内容在区分与选拔方面的重要作用.（4）从函数与导数试题考查的必备知识来看，2022年高考函数与导数相关试题全面考查了函数主线的核心知识.

8、例如，函数的概念，函数的单调性、奇偶性、周期性，幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象与性质，导数的概念、几何意义、求导运算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值和零点等.函数性质的应用主要考查了实数比较大小，解超越方程与含参不等式解的讨论，实际问题中的极值与最值问题，几何与代数主线中的最值问题等.各份试卷必备知识的考查范围、比例和要求层次与课程内容与要求保持一致.（5）从函数与导数试题中考查的通性、通法和关键能力看，2022年高考函数与导数相关试题更加注重对本原性方法的考查.例如，对利用导数研究函数单调性的方法，更注重考查为什么要用导数工具，如何用导数工具等.同时，试题全面考查了几何

9、直观、代数运算、极限运算（求导）等研究函数性质的一般方法.在解决问题的全过程中，考查抽象概括、逻辑推理和运算求解等关键能力.（6）从考查的学科素养来看，2022年高考函数与导数试题主要通过设置综合情境，考查学生在情境中命题研究 25下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）提取有用信息，明确问题，分析问题，构建函数，灵活运用多种工具，特别是导数工具探究函数的性质，进而利用性质解决问题的素养，主要包括数学抽象、几何直观、逻辑推理和数学运算等素养.同时，加强了对学生思维品质的考查，这是2022年高考考查的一大特点.例如，全国新高考卷第8题对学生思维的灵活性有较高要求，在抽象的情境中发现函数周

10、期性是问题求解的关键；全国新高考卷第22题通过设置综合性的问题和较为复杂的情境，在数学知识、数学能力和创新思维等方面对学生进行考查，具有较好的选拔功能.全国新高考卷第22题将函数、导数、数列与不等式等知识有机结合，考查学生灵活运用函数、不等式思想解决复杂问题的能力，同时对学生的直观想象和逻辑推理能力也有较高要求.二、命题特点分析1.命题意图分析2022年各份高考数学试卷，通过创设多角度、多层次的问题情境，全面考查学生对函数与导数基础知识的理解，对通性、通法的掌握，以及分析问题和解决问题的能力，试卷中的多数试题常常有多种解决途径，通过不同方法的选择，考查学生思维的灵活性、深刻性和创新性，最终实现

11、对学生理性思维和逻辑推理、直观想象和运算求解等的考查目标，以及区分和选拔目的.（1）对基本初等函数图象与性质的考查是通过由其经过代数运算、复合运算、对称变换等构建的复杂函数的性质进行的.例如，全国新高考卷第14题通过求函数 f()x=ln|x 的切线考查对数函数 y=ln x 的图象与性质；全国新高考卷第10题，通过函数 f()x=x3-x+1 考查幂函数 y=x3 与 y=x 的性质与图象；全国甲卷理科第5题，通过函数 f()x=()3x-3-x cos x 考查指数函数 y=3x，y=13x和 y=cos x 的图象与性质；等等.可以看出，高考数学对基本初等函数性质的考查是在综合情境中进行

12、的.例1（全国甲卷文12）已知 9m=10，a=10m-11，b=8m-9，则（）.（A）a 0 b（B）a b 0（C）b a 0（D）b 0 a考查目标：指数函数、对数函数的运算，指数函数的性质，不等式的性质.命题意图：此题以实数的大小比较为载体，通过设置综合情境，考查学生的问题意识.首先明确要解决的问题是什么，进而通过解决问题途径的选择考查学生思维的灵活性和创新性.在解决问题的过程中，考查学生的必备知识、关键能力，以及数学抽象、运算求解、逻辑推理和直观想象等素养.试题解析：通过读题，首先明确要解决的问题是判断 a，b 与 0 的大小关系，其次是通过何种手段判断a，b 与 0 的大小关系.

13、思路1：由 9m=10，得 m=log910.进而将比较 a与 0 的关系转化为比较 m 与 lg 11 的大小关系，即 1lg 9与 lg 11 的大小关系.由基本不等式 lg 9 lg 11 lg 11，即 a 0.同理，可得 b 1()m 1.利用导数工具判断函数单调性即可得到结论.思路3：在同一坐标系作出三个函数 f()x=10 x，g()x=9x，h()x=8x 的图象.当 x=1 时，f()1-g()1=1，g()1-h()1=1.由于三个函数在()0，+上均为增函数，且底数越大增长得越快.借助几何直观，当 x=m()m 1 时，f()m-g()m 1，g()m-h()m 1.因为

14、g()m=10，所以 f()m 11，h()m 0 时，f()x ln()n+1.考查目标：函数的求导法则、导数的几何意义、导数与单调性之间的关系、利用导数工具求函数极值和最值的方法、对数函数的性质、不等式的转化、数列求和.命题意图：此题第（1）小题面向全体学生，考查利用导数研究函数单调性的方法.第（2）小题由不等式恒成立，求参数的范围.在求解过程中，要对参数进行分类讨论，在分类讨论中找出符合题意的参数的范围.因此，考查分类与整合思想.第（3）小题考查学生对与自然数有关的不等式问题进行转化的能力，关键是要把前两道小题的结论与第（3）小题中的不等式建立联系，这就需要从不等式出发，对不等式进行变形

15、，找出代数结构的共同点，构建新函数，利用函数的性质解决问题.考查学生的运算求解能力和灵活运用导数工具分析问题和解决问题的能力，以及数形结合、分类整合、函数与方程等思想.试题解析：第（1）小题，直接求导，可以判断 f()x在()0，+上单调递增，在()-，0 上单调递减.第（2）小题，将不等式恒成立问题转化为求新函数在()0，+上的最值问题.令 g()x=xeax-ex+1，由于g()0=0，则问题转化为已知 g()x g()0 恒成立，求参数取值范围的问题，进而利用导数工具，研究函数性质，获得必要条件 a 12.接下来，分类讨论，若 a 12，满足题意；若 a 1，g()x 单调递增，不符合题

16、意；若12 a 0 使得 g()x0 0，不符合题意.综上可得a 12.第（3）小题观察所证不等式左边的结构特征，命题研究 27下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）将1n2+n恒等变形为()n+1-nn()n+1=n+1n-nn+1.令t=n+1n，则不等式左边具有相同的结构 t-1t.由第（2）小题结论可知，当 a=12 时，f()x=xe12 x-ex -1.令t=e12 x，则 2t ln t-t2 2 ln t.进而可以证明不等式成立.命题评价：高中阶段引入导数概念，有利于学生深刻理解不断运动变化的事物的本质，提高思维层次.导数的应用之一，就是利用导数研究函数的单调性、极值

17、、最值，这是学生在高中函数学习过程中必须掌握的重要技能.此题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，重点突出，多角度考查了导数的基础知识、利用导数研究函数性质的方法，以及不等式的性质与推导方法.同时，对数列通项、数列求和思想、利用函数性质研究数列性质、对数函数及其性质都有很好的考查.对学生分析问题、转化问题和构建函数的能力也都有不同程度的考查.试题层次分明，内容丰富，区分度较高，可以使不同层次的学生充分展示理性思维，较好地考查了学生进一步学习的潜能.引导高中数学教学回归教学本质，回归概念，从概念出发思考问题，运用通性、通法解决问题，最终达成全面提升学生的逻辑思维、运算求解和问题转化能力，在问题解决中

18、培养学生思维的灵活性、深刻性和创新性，全面提升学生的数学核心素养.2.命题导向分析（1）试题将对基础知识的考查置于新的情境之中，置于运用知识解决问题的过程中.因此，不是单纯地就知识考知识，而是在运用基础知识解决问题的过程中进行的，对基础知识的考查更加注重理解的深度.例如，与指数函数有关的不等式 ex x+1，ex ex等，结论大家都熟悉，但为什么要引入这些不等式、在什么情况下使用这些不等式才是考查的重点.例4（全国新高考卷7）设 a=0.1e0.1，b=19，c=-ln 0.9，则（）.（A）a b c（B）c b a（C）c a b（D）a c b考查目标：函数的概念，幂函数、指数函数和对数

19、函数的图象与性质，导数的概念，指数函数和对数函数的运算法则，利用导数工具研究函数单调性的方法.命题意图：此题给定三个具体的实数 a=0.1e0.1，b=19，c=-ln 0.9，要求学生比较a，b，c的大小.这三个数分别为指数式、分式、对数式，不能通过直接计算比较大小，需要学生观察给定的三个数代数结构的共同特点，通过数学抽象，恰当构建函数，利用导数工具研究所构建函数的单调性，进而比较出它们之间的大小关系.在解决问题的过程中，深度考查指数函数、对数函数的图象与性质，同时考查学生的数学观察能力、抽象概括能力、逻辑推理能力和运算能力，以及灵活运用知识分析问题、解决问题的能力.分析问题时，在运算的选择

20、、函数的构建等方面对学生思维的灵活性也有较高要求.试题解析：依据指数函数和对数函数的性质对三个数进行粗略估计，即a，b，c都是大于0小于1的数.由 于 a=0.1e0.1，观 察 到 b 可 以 化 为0.11-0.1，则 ab=()1-0.1 e0.1，构建函数 f()x=()1-x ex，x ()0，1，利用导数研究函数 f()x 的单调性，可得 a b.同理，可得 c=ln109=ln1+19 c.答案：C.命题评价：此题以学生熟悉的实数大小比较为背景命制，在选取的具体实数上精心设计.由于三个数的差别很小，很难通过估值直接比较大小，故需要学生在初步估计的基础上，通过代数运算、数学抽象等构

21、建函数模型，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性判断大小.此题在解决问题的过程中对指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，导数的概念，运用导数研究函数的单调性的方法，函数性质的应用等知识与方法进行考查.并不是就知识考知识，而是要学生通过对条件的分析自己提出问题，明确要解决的问题，并在此基础上有目的地构建函数.在构建函数时，可以直接作差，也可以作商，还可以取对数之后再作差，综合考查学生抽象概括、逻辑推理，以及分析问题和解决问题的能力，有利于教考衔接，规避模式化训练.（2）2022年高考函数与导数相关试题对通性、通法的考查，更加注重对本原性方法的考查.已知抽象函数满足一些性质，在此基础上判断函数

22、的其他性质是一类常见题型.通法是通过赋值，形成归纳，进而命题研究 28下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）解决问题.抽象函数也是函数，只是没有给出解析式，因此，仍然可以遵循研究函数的一般方法，即先通过赋值判断其是否具有奇偶性、周期性，将研究范围缩小，进而通过归纳形成递推关系，这是本原性方法，可以高效解决问题.例5（全国新高考卷12）已知函数 f()x 及其导 函 数 f()x 的 定 义 域 均 为 R，记 g()x=f()x.若f 32-2x，g()2+x 均为偶函数，则（）.（A）f()0=0（B）g-12=0（C）f()-1=f()4（D）g()-1=g()2考查目标：函数的

23、概念，函数的奇偶性、对称性、周期性，导数的概念，复合函数求导，函数的对称性、周期性与其导函数的对称性、周期性等性质之间的关系.命题意图：选取抽象函数作为载体，通过多选题型，设置综合情境，通过逻辑推理，获得抽象函数具有的特殊性质.要求学生正确理解概念，通过观察归纳、逻辑推理、运算求解等获得函数的性质，利用性质判断每个选择是否正确，从而完成解答.考查数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养，以及观察、归纳、合情推理等思想与方法.试题解析：由 f 32-2x，g()2+x 均为偶函数，可得 f()x，g()x 的图象分别关于直线 x=32 和 x=2 对称，所以选项C正确.对 f()x=f()3-x 两边

24、求导，得g()x=-g()3-x.所以 g()x 的图象关于点 32，0 成中心对称，所以 g()x 的图象既关于直线 x=2 对称，又关于点 32，0 成中心对称.所以可以推出 g()x 是以2为周期的周期函数.所以 g-12=g32=0.综合运用中心对称性质，得 g()-1=g()1=-g()2.所以选项B正确，选项D错误.另一方面，若 f()x 满足条件，则f()c+C（C 为常数）也满足条件，所以选项A错误.对于抽象函数，也可以构造满足所有条件的具体函数，如 f()x=sin x+C（C 为常数），通过验证确定答案.答案：BC.命题评价：此题以抽象函数为载体，将创设函数与其导函数性质之

25、间具有的对称性作为综合情境，深度考查了函数与导数的相关知识，以及研究抽象函数性质的方法等.例如，由奇函数图象关于原点对称获得一般函数关于点()a，b 成中心对称的结论.同时考查学生依据数学概念进行思考与逻辑推理的思维习惯，在推理过程中，还要借助由数学活动积累的经验形成猜想.例如，具有对称性、周期性的三角函数的导数具有相应的性质等.在猜想的基础上进行代数推理，从而获得周期性这一解题的关键.同时，多选题的设计具有一定的开放性，充分考查了学生思维的灵活性和深刻性，突出对学生发散性思维和创新性思维的考查.（3）2022年高考函数与导数相关试题对基于数学核心素养和关键能力的考查是在综合、复杂情境中，运用

26、知识、方法、思想解决问题的过程中进行的.这些试题大多数位于各类题型压轴题的位置.除了对函数与导数的基础知识，通性、通法，关键能力等方面全面考查以外，还对学生分析和解决问题的能力、思维的灵活性和创新性进行全面考查.例6（全国新高考卷22）已知函数 f()x=ex-ax 和 g()x=ax-ln x 有相同的最小值.（1）求 a；（2）证明：存在直线 y=b，其与两条曲线 y=f()x和 y=g()x 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.考查目标：导数的概念和求导法则，以及利用导数判断函数单调性的方法.命题意图：试题以学生熟悉的指数函数、对数函数与一次函数的差并融入参数构

27、成的新函数为载体，通过分类讨论，分别求两个函数的最小值，利用最小值相等，求出参数的值.第（1）小题面向全体学生，考查函数求导和利用导数判断函数单调性的基本方法.第（2）小题需要在新的情境下，运用函数思想构建新函数，利用其单调性求解超越方程的根.在解决问题的过程中，考查学生灵活运用导数工具分析问题和解决问题的能力，综合考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力，以及分类整合思想.试题解析：通过分类讨论可知，当a 0时，f()x，g()x 均有最小值，f()xmin=f()ln a，g()xmin=g1a.由 f()ln a=g1a，得 ln a-a-1a+1=0.构建函数 h()a=ln a-a-1a

28、+1.因为 h()a 在()0，+单调递增，且 h()1=0，所以命题研究 29下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）a=1.此时 f()x=ex-x，g()x=x-ln x，通过分类讨论可知 b 1 为必要条件.进一步可以证明 y=f()x 与y=g()x 在区间()0，1 上有唯一零点，记为 x2，则ex2-x2=x2-ln x2.令 b=ex2-x2=x2-ln x2，易证 y=b 与y=f()x 在()-，0 上有唯一交点 x1，y=b 与 y=g()x在()1，+上 有 唯 一 交 点 x3.此 时，由 于 b=ex2-x2=x2-ln x2，即 ex2+ln x2=2x2

29、.因为 ex1-x1=x2-ln x2=eln x2-ln x2，所以由 f()x 单调性，得 x1=ln x2.同理，由 x3-ln x3=ex2-x2=ex2-ln ex2 和 g()x 的 单 调 性，得x3=ex2.所以 x1+x3=ln x2+ex2=2x2，故 x1，x2，x3 成等差数列.命题评价：此题通过设置综合性问题和较为复杂的情境，分步设问，逐步推进，重点突出，多角度考查了函数与导数的基础知识.对学生的逻辑推理、运算求解、分析归纳等关键能力，以及问题转化、方程、函数等思想都提出了较高要求.试题层次分明，内容丰富，区分度较高，使不同层次学生的理性思维在深度与广度上得到了充分展

30、示，在数学知识、数学能力和创新思维层面都有所考查，具有较好的选拔功能.三、复习教学建议通过上述分析可以看出，2022年各份高考数学试卷都注重对函数与导数内容的深度理解、本质理解，强化在问题解决中考查通性、通法和关键能力，通过创设问题情境，考查学生的思维品质.为此，针对2023年高考函数与导数部分的复习教学提出如下建议.（1）对基础知识的复习，要回归教材，立足对概念本质的理解.从2022年高考数学试题对基础知识的考查特点可以看出，对于基础知识的教学，不能停留在知识本身，而应该着眼于知识的应用.因此，对知识本质的再认识是高考复习的重中之重，怎么强调都不过分.基于概念进行思考，基于对知识的本质理解进

31、行转化是数学思维的特点，回到概念去和理解本质应该成为高考复习的重点.例如，对于四种基本初等函数的图象与性质，要从模型背景、研究方法、个性特征、渐近线、重要的切线、性质应用等方面进行全面、深入的复习，在此基础上，掌握由基本函数通过四则运算构建的新函数，如 x-1x，ex-x2，xex，ln xx 等的图象与性质.再如，对导数概念的本质理解.高考复习要明确以下问题：为什么要引入导数；函数研究的是两个变量之间的依赖关系，导函数研究的是什么，它的正负意味着什么，大小意味着什么；什么是“以直代曲”思想；如何用某点处切线的斜率刻画函数在切点附近变化的差异；如何利用函数在某点处的切线进行近似计算、比较大小；

32、等等.（2）以函数基本问题为引领，梳理求解问题的通性、通法，进而建立以问题为中心的函数与导数知识、方法与思想体系，在问题解决中不断提升关键能力.复习教学中，对于函数基本问题不仅要求学生能按照相应步骤求解，更应该关注方法的使用背景和方法背后蕴含的数学思想等本原性、思想性问题.以问题为引领，就是要将方法置于问题情境.例如，在考场上面对一个函数问题，自然的想法是这是一元函数问题还是二元函数问题.如果是二元函数问题，是有约束条件还是有独立变量，如果是有独立变量，就可以构造某一变量的一元函数，从而将二元函数问题转化为一元函数问题.对通性、通法的复习要注重本原性.例如，利用导数研究函数的单调性，不能只是会

33、求导、判断导函数的正负，更应该关注为什么要用导数工具，如注意到已知函数无法用代数方法判断单调性，也不能判断增长的快慢，所以要通过求导进行判断.（3）复习教学应该由解题向解决问题转变，在解决问题的过程中，全面提升学生分析问题和解决问题的能力.解题更多地聚焦于如何获得问题的答案，而解决问题则更聚焦于获得答案的思维过程，即这个方法是如何想出来的，这才是数学学习的根本.在复习教学中，教师要引导学生在面对新的问题情境时，通过读题、审题，厘清已知和要解决的问题，然后基于问题，通过模式识别、转化与化归、特殊探路、层次解决等思维策略，逐步找到解决问题的路径.在寻找路径的过程中，提升学生分析问题和解决问题的能力

34、，在路径和方法的选择等方面锻炼他们思维的灵活性和深刻性.2022年高考更加注重对学生思维能力与思维品质的考查.对此，教师选择的日常教学例题要具有一定的挑战性，给出例题后一定要让学生先独立思考，再引导他们在不断地分析、转化和试误中找到解题思路.只有在长期的解题实践中不断积累解题经验，才能学会思考，发展思维能力，提升思维品质.2022年高考数学试题发出的强烈信号就是“题海战术”没有出路，题型教学不会取得好成绩，中学数学教学应该回归通过教学提升数学核心素养这一最终命题研究 30下半月（高中版）2022年第9期（总第270期）目标上来.对于高考复习教学，“知识点梳理、典型例题、巩固练习”的课堂教学结构

35、亟须改进.函数与导数综合问题一般居于各类题型压轴题的位置，从教学实际来看，教师花费了很多时间和精力，但效果甚微.很重要的原因是教师把应对压轴题的“宝”，压在了对一般学生不作要求的高等数学的相关结论的记忆上.例如，超越函数的泰勒展开式和洛必达法则等，这是不提倡的.实际上，2022年高考函数与导数压轴题完全可以通过基本概念、基本方法和基本思想等常规思路完成解答.总之，对于函数与导数内容的复习，要做好以下三点：首先，对基础知识的深度理解和对通性、通法的本原性理解是复习的重点，要回归概念，回归教材，这是根本.其次，要在问题解决的过程中提升学生分析问题和解决问题的能力.具体而言，就是面对复杂的情境，弄清

36、楚要解决的问题是什么，然后通过恰当构建函数，研究函数的性质，利用函数性质解决问题.最后，就是根据问题的特点，灵活选择几何直观、代数运算和极限运算（求导运算）等工具，提升学生的思维品质.导数是研究函数的工具之一，不是模式化的解题套路.在具体使用时，需要先分析函数解析式的代数性质，再考虑是否需要用，在哪个阶段用，怎么用.在此基础上，引导学生在解决情境更复杂、更综合的问题时体会如何通过分析、转化、分类讨论等有逻辑地解决问题，逐步提升他们分析问题和解决问题的能力，真正实现对函数与导数问题从策略到方法的有效把握.四、典型模拟题1.已知函数 f()x=ln x-kx，x 0，kx2-x+1，x 0若 f(

37、)x 恰有两个零点，则 k 的取值范围为.答案：()-，0 0，1e.2.已知函数 f()x 在定义域内恒满足 4f()x f()y=f()x+y+f()x-y，且 f()1=14，则 f()2 023 的值为.答案：14.3.对 每 一 个 实 数 对()x，y，函 数 f()t 满 足：f()x+y=f()x+f()y+xy+1.若 f()-2=-2，求满足方程 f()t=t 的所有整数解.答案：-2 和1.4.求 f()x，t=e2x-2t()ex+x+x2+2t2()x，t R 的最小值.答案：12.5.设 f()x=ln()1+xx()x 0.（1）判断函数 f()x 的单调性.（2

38、）是否存在实数a，使得关于 x的不等式ln()1+x ax在()0，+上恒成立？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，试说明理由.（3）求证：1+1nn e，n N（其中 e 为自然对数的底数）.答案：（1）f()x 在()0，+上单调递减；（2）a 1；（3）略.参考文献：1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2 教育部考试中心.高考试题分析（理科综合分册）M.北京：高等教育出版社，2020.3 章建跃.通过直观理解导数概念感悟极限思想运用导数研究函数性质解决实际问题J.数学通报，2021，60（10）：7-12，封底.4 杨林军.宏观本质思维：基于能力的高三数学复习策略J.数学通报，2015，54（12）：24-29.命题研究 31