【技巧归纳 能力拓展】专项突破一 解三角形（考点1 三角函数的图象与性质及三角恒等变换）(解析版).docx

1、专项一 解三角形考点1 三角函数的图象与性质及三角恒等变换大题 拆解技巧【母题】(2020年天津卷)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=22,b=5,c=13.(1)求角C的大小;(2)求sin A的值;(3)求sin (2A+4)的值.【拆解1】在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=22,b=5,c=13,求角C的大小.【解析】在ABC中,由a=22,b=5,c=13及余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=8+25-132225=22,又因为C(0,),所以C=4.【拆解2】在ABC中,已知C=4,a=22,c=13,求sin A的值.【解

2、析】在ABC中,由C=4,a=22,c=13及正弦定理,可得sin A=asinCc=222213=21313.【拆解3】在ABC中,已知ac,sin A=21313,求sin 2A,cos 2A的值.【解析】由a0,2x0-6-76,-),cos(2x0-6)=-223,cos 2x0=cos(2x0-6)+6=cos(2x0-6)cos 6-sin(2x0-6)sin 6=-22332-1312=-26+16.通法 技巧归纳1.求解三角函数的值域(最值)常见的三种类型:(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(x+)+c的形式,再求值域(最值);(2)形如y=

3、asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);(3)形如y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c的三角函数,可先设t=sin xcos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).2.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的变换.突破 实战训练1.已知函数f(x)=1-2cos2x+23sin xcos x(xR).(1)求f(23)的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.【解析】(1)f(x)=-cos 2x+3sin 2x=2(-12cos 2x+3

4、2sin 2x)=2sin(2x-6),则f(23)=2sin(223-6)=-1.(2)最小正周期T=22=,令-2+2k2x-62+2k,kZ,解得-6+kx3+k,kZ,即单调递增区间为-6+k,3+k,kZ.2.已知函数f(x)=(sin x-1)(cos x+1).(1)若sin -cos =12,求f();(2)求f(x)的值域.【解析】(1)因为sin -cos =12,所以1-2sin cos =14,即sin cos =38.从而f()=(sin -1)(cos +1)=sin cos +sin -cos -1=-18.(2)令t=sin x-cos x,则sin xcos

5、x=1-t22,其中t-2,2,则原问题转化为求y=-t22+t-12在-2,2上的值域.因为y=-t22+t-12=-12(t-1)2,所以y-32-2,0.故f(x)的值域为-32-2,0.3.已知函数f(x)=sin2x+3sin xcos x.(1)求函数y=f(x)图象的对称中心;(2)若f(2-24)=1310,求sin 2.【解析】(1)由二倍角公式得f(x)=32sin 2x-12cos 2x+12,故f(x)=sin(2x-6)+12,令2x-6=k,kZ,解得x=12k+12,kZ,所以函数y=f(x)图象的对称中心是(12+12k,12),kZ.(2)由f(2-24)=1

6、310,得sin(-4)+12=1310,所以sin(-4)=45,故sin 2=cos(2-2)=1-2sin2(-4)=-725.4.设向量a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x0,2.(1)若|a|=|b|,求实数x的值;(2)设函数f(x)=ab,求f(x)的最大值.【解析】(1)|a|2=(3sin x)2+sin2x=4sin2x,|b|2=cos2x+sin2x=1,根据|a|=|b|,得4sin2x=1,又x0,2,从而sin x=12,x=6.(2)f(x)=ab=3sin xcos x+sin2x=32sin 2x-12cos 2x+12=si

7、n(2x-6)+12,x0,2,2x-6-6,56,当2x-6=2,即x=3时,f(x)max=f(3)=32,f(x)的最大值为32.5.已知函数f(x)=sin2x-3-12(cos 2x-1).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移6个单位长度得到的,则当x-2,2时,求满足g(x)54的实数x的集合.【解析】(1)f(x)=sin2x-3-12(cos 2x-1)=1-cos2x-232-12cos 2x+12=12-12-12cos2x+32sin2x-12cos 2x+12=14cos 2x-34sin 2x-12cos 2x+1=

8、-34sin 2x-14cos 2x+1=-12sin2x+6+1.令2x+62+2k,32+2k,kZ,则x6+k,23+k,kZ,所以f(x)的单调递增区间为x6+k,23+k,kZ. (2)由题可知g(x)=-12sin2x-6+6+1=-12sin2x-6+1, 由g(x)54,得sin2x-6-12,由x-2,2,得2x-6-76,56, 由正弦函数的图象与性质可知2x-6-76,-56-6,56,则x-2,-30,2,即所求实数x的取值集合为x|-2x-3或0x2.6.已知(0,3)且满足sin +sin(+3)=435.(1)求cos(2+3)的值;(2)已知函数f(x)=sin

9、 xcos(+6)+cos xsin(+6),若方程f(x)=a在区间0,2内有两个不同的解,求实数a的取值范围.【解析】(1)由sin +sin(+3)=435,得32sin +32cos =435,即sin(+6)=45,则cos(2+3)=cos (2+6)=1-2sin2(+6)=1-2(45)2=-725.(2)由(0,3),令=+6,则(6,2),得cos(+6)=35,f(x)=sin xcos +cos xsin =sin(x+),当0x2时,x+2+,当x+=2,即x=2-时,f(x)max=1,当0x2-时,f(x)是单调递增的,函数值从sin =45增到1,当2-x2时,

10、f(x)是单调递减的,函数值从1减到sin(2+)=cos =35,方程f(x)=a在区间0,2内有两个不同的解,即f(x)图象与直线y=a有两个不同的公共点,则45a1,所以实数a的取值范围是45,1).7.设函数f(x)=asin x+bcos x,其中a,b为常数.(1)当x=23时,函数f(x)取最大值2,求函数f(x)在2,上的最小值;(2)设g(x)=-asinx,当b=-1时,不等式f(x)g(x)对x(0,)恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)由题意得a2+b2=2,32a-12b=2,解得a=3,b=-1,f(x)=3sin x-cos x=2sinx-6.当x2,时,

11、x-63,56,f(x)min=2sin56=1.(2)f(x)g(x),asin x-cos x-asinx.当x(0,)时,sin x(0,1,asin2x-sin xcos x-a,即a(1-cos 2x)-sin 2x-2a,整理得3asin 2x+acos 2x.又sin 2x+acos 2x=a2+1sin(2x+),其中tan =a,(sin 2x+acos 2x)max=a2+1,3aa2+1,解得a24,不等式f(x)g(x)对x(0,)恒成立时,a24,+.8.已知函数f(x)=Acos(x+)（A0,0,-22）的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和

12、第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2,-2).(1)求函数f(x)的解析式;(2)将函数f(x)的图象向左平移a(a(0,2)个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,求实数a的值.【解析】(1)由题意得A=2,T2=x0+2-x0=2,即T=2=4,解得=12,f(0)=2cos120+=1,即cos =12.-20时,函数先取得最小值,后取得最大值,不符合图象,=-3,函数f(x)的解析式为f(x)=2cos12x-3.(2)由题意得g(x)=2cos12(x+a)-3.y=g(x)是奇函数,g(0)=2cosa2-3=0,a2-3=k-2(kZ),即a=2k-3(kZ).又a(0,2),a=53.当a=53时,g(x)=2cos12x+53-3=2cos12x+2=-2sin12x,此时有g(-x)=-g(x),即函数g(x)为奇函数,故a=53.