【最高考】2022届高考数学二轮专题突破高效精练 第14讲 空间几何体的表面积与体积.docx

1、专题五空间立体几何第14讲空间几何体的表面积与体积1. 与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体表面积之比为_答案：6解析：正方体的棱长与球的直径相等2. 在矩形ABCD中，AB2，BC3，以BC边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为_答案：12解析：将矩形ABCD以BC边所在直线为轴旋转一周后得到的几何体为是以2为底面半径，以3为高的圆柱体，故它的侧面积为22312.3. 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是_(填序号) 矩形； 不是矩形的平行四边形； 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； 每个面都是等边三角形的四面

2、体； 每个面都是直角三角形的四面体答案：4. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_ cm3.答案：6解析：连结AC交BD于点O，则AO平面BB1D1D，则四棱锥ABB1D1D的体积为SBB1D1DAO6.5. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|PC1|2的点P的个数为_答案：6解析：点P在以A、C1为焦点的椭圆上，若P在AB上，设APx，有PAPC1x2，解得x.故AB上有一点P(AB的中点)满足条件同理在AD，AA1，C1B1，C1D1，C1C上各有一点满足条件又若点P在BB1

3、上，则PAPC12.故BB1上不存在满足条件的点P，同理DD1，BC，A1D1，DC，A1B1上不存在满足条件的点P.6. 如图，半径为R的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_答案：2R2解析：设球的一条半径与圆柱相应的母线夹角为，则圆柱的侧面积S2Rsin2Rcos2R2sin2，当时，S取最大值2R2，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为2R2.7. 如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均等于1，且A1ABA1AC60，则该三棱柱的体积是_答案：解析： A1AA1BA1CABACBC. A1ABC为正四棱锥， A1在ABC上的射影O为ABC的中心

4、A1O1A1O， VSABCA1O.8. 已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112.则球O的半径为_答案：解析：由题意将直三棱柱ABCA1B1C1还原为长方体ABDCA1B1D1C1，则球的直径即为长方体ABDCA1B1D1C1的体对角线AD1，所以球的直径AD113，则球的半径为.9. 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm的半圆，则该圆锥的高为_ cm.答案：解析：圆锥的母线长即为展开半圆的半径，圆锥底面圆的半径设为r，则2r2，r1，圆锥高为.10. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40 mm，满盘时直径为

5、120 mm.已知卫生纸的厚度为0.1 mm，则满盘时卫生纸的总长度大约是_m(取3.14，精确到1 m)答案：100解析：纸的厚度为0.1 mm，可以把绕在盘上的纸近似的看做是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再算总和由内向外各圈的半径分别为20.05, 20.15，59.95.因此，各圈的周长分别为40.1，40.3，119.9.因此各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n，则59.9520.050.1(n1)，解得n400，显然各圈的周长组成一个首项为40.1，公差为0.2，项数为400的等差数列根据等差数列的求和公式，得S40040.10.232 000 mm

6、100 m.11. 如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高(1) 证明：平面PAC平面PBD；(2) 若AB，APBADB60，求四棱锥PABCD的体积(1) 证明：因为PH是四棱锥PABCD的高，则PHBD，又ACBD，PH平面PBD，BD平面PBD，PHBDH，所以AC平面PBD.因为AC平面PAC，所以平面PAC平面PBD.(2) 解：因为ABCD为等腰梯形，ABCD，ACBD，AB， 所以HAHB.因为APBADB60，所以PAPB，HDHC1，可得PH.S梯形ABCDACBD2.所以四棱锥的体积为V(2).12. 某商场为促销要准备

7、一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10 cm的圆形包装纸包装要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示设正三棱锥的底面边长为x cm，体积为V cm3.在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值解：正三棱锥展开如图所示当按照底边包装时体积最大设正三棱锥侧面的高为h0，高为h.由题意得xh010，解得h010x.则h，x(0，10)所以正三棱锥体积VShx2.设yV2，求导得y，令y0，得x8，当x(0，8)时，y0，y随着x的增加而增大，当x(8，10)时，y0，y随着x的增加而减小，所以当x8 cm时

8、，y取得极大值也是最大值此时y15 360，所以Vmax32 cm3.答：当底面边长为8 cm时，正三棱锥的最大体积为32 cm3.13. 已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点(1) 求证：CM平面SAE；(2) 求证：SE平面SAB；(3) 求三棱锥SAED的体积(1) 证明：取SA的中点N，连结MN、EM， M为SB的中点，N为SA的中点， MNAB，且MNAB.又E为CD的中点， CEAB，且CEAB. MNCE且MNCE， CENM为平行四边形， CMEN.又EN平面SAE，CM平面SAE， CM平面SAE.(2) 证明： 侧面SCD是直角三角形，CSD为直角，E为CD的中点， SE1.又SAAB2，AE， SA2SE2AE2.则ESSA.同理可证ESSB. SASBS， SE平面SAB.(3) 解：VSAEDVSAEBVESAB41.