【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-曲线型-圆-4星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-曲线型几何-圆-4星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率圆B1.了解有关圆的概念和性质2.学习圆的周长和面积公式的推导3.运用圆的性质以及周长和面积公式进行计算少考知识提要圆 概念圆是由一条曲线围成的平面图形圆中心的一点叫圆心，用 O 表示连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母 d 来表示直径所在的直线是圆的对称轴 性质圆有无数条半径，无数条直径，并且所有半径都相等，所有直径都相等；在同圆或等圆中，直径是半径的 2 倍d=2r；圆有无数条对称轴；圆绕着圆心任意旋转，所得到的图形与原来的圆重合；所有平面图形在周长相同的情

2、况下，圆的面积是最大的 公式圆的周长公式：C=2r 圆的面积公式：S=r2 精选例题圆 1. 在图中所示的 1012 的网格图中，猴子 KING 的图片是由若干圆弧和线段组成，其中最大的圆的半径是 4，图中阴影部分的面积是 （圆周率 取 3）【答案】21.5【分析】根据半径为 4 可观察得出小正方形的边长为 1，阴影部分的面积=大圆面积-空白面积.大圆的面积：S=42=48,空白面积：S=52+34122+22=10+4.5+12=26.5,阴影部分面积：48-26.5=21.5. 2. 如图所示的 7 个圆相切于一点，若圆的半径分别是（单位：分米）：1，2，3，4，5，6，7，则图中阴影部分

3、的面积是 平方米（ 取 3）【答案】0.84【分析】阴影面积为：12+(32-22)+(52-42)+(72-62)=1+(3+2)+(5+4)+(7+6)=28=84(平方分米)=0.84(平方米). 3. 如图所示的图形由 1 个大的半圆弧和 6 个小的半圆弧围成，已知最大的半圆弧的直径为 1，则这个图形的周长为 （圆周率用 表示）【答案】【分析】若大圆里有若干个小圆，且大圆的直径等于这些小圆的直径和，则大圆的周长等于所有小圆的周长和，则该图形周长等于一个大圆的周长，d= 4. 如图所示，已知最大的圆的直径是 100cm，则最小的圆的直径是 cm【答案】50【分析】已知最大的圆的直径是 1

4、00cm，而最大的圆的直径刚好是大正方形的对角线所以大正方形的面积为1001002=5000(cm2)图中的小正方形旋转为右图：由此可见，小正方形的面积为大正方形面积的一半所以小正方形的面积为50002=2500(cm2)所以小正方形的为 50cm 而最小的圆的直径刚好等于小正方形的边长，即最小的圆的直径是 50cm 5. 在荷兰的小镇卡茨赫弗尔，2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆的直径分别为 24.2m，19.3m，4.9m，这个雕塑的原始图形来自于阿基米德引理集中的鞋匠刀形 (Arbelos)，即下图中阴影部分所示的图形，那么，该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长为 （圆周

5、率用 表示）【答案】24.2【分析】三个半圆的周长和(19.3+4.9+24.2)2=24.2 6. 一只羊被拴在一个长为 4 米，宽为 3 米的长方形的羊圈内，在 B 处有一个缺口，羊可以自由出入，拴绳长 9 米，那么羊能够到达的地方的面积约为 平方米（ 取 3.14）【答案】50.465【分析】长方形的对角线长为 5，在羊圈外，羊能够到达的图形包括 34 个半径为 4 的圆以及 14 个半径为 1 的圆，所以羊能够达到的总面积为 34+3442+141250.465(平方米) 7. 如图所示，已知大圆的半径为 2，则阴影部分 与的面积之和为 （圆周率用 表示）【答案】-2【分析】和部分面积

6、为 14大圆-直角边为2的等腰直角三角形，如图所示：和部分面积和为1422-1222=-2. 8. 如图是由正方形和半圆形组成的图形，其中 P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边 BC 的中点，那么阴影部分的面积是 （ 取 3.14）【答案】51.75【分析】102+121022-12515+12(15+5)5=100+12.5-87.5=51.75. 9. 如右图所示，ABCD 是边长为 10 厘米的正方形，且 AB 是半圆的直径，则阴影部分的面积是 平方厘米（取 =3.14）【答案】17.875【分析】详解：如图2所示，阴影部分面积等于梯形 ABCD 的面积 减去一个四分之一圆的面积，即

7、 (5+10)52-1452=17.87510. 如图所示，已知大圆的半径为 2，则阴影部分的面积为 （圆周率用 表示）【答案】4-8【分析】可以把中间的四个叶子形状的图形分成两半，刚好可以补到正方形外边的空白处所以大圆的面积减去内接正方形的面积，就是阴影部分的面积S阴=22-442=4-811. 如图所示，大圆的直径是小圆的 5 倍，大圆内的“S”形曲线（图中虚线）由两段半圆弧组成如果已知阴影部分的面积等于 4，那么图中空白部分的面积等于 【答案】21【分析】设小圆的半径为 r，则阴影部分的面积为：122r2-2r2+123r2-3r2=r2+3r2=4r2,所以r2=1,故空白面积为：5r

8、2-4=25r2-4=21.12. 如图，斜边为 6 的等腰直角三角形 ABC 放在半径为 5 的圆内，现在保持 B、C 和圆接触，让三角形 ABC 沿箭头方向在圆内旋转一周，那么三角形 ABC 扫过的图形面积是 （ 取 3.14）【答案】75.36【分析】连接 OA 并延长，交 BC 于 E，得到直角三角形 OBE，BE=3，根据勾股定理可知，OE=5，则OA=4-3=1.所以扫过阴影面积为：52-12=24=75.36.13. 如下图所示的四个正方形的边长都是 1，图中的阴影部分的面积依次用 S1,S2,S3,S4 表示，则 S1,S2,S3,S4 从小到大排列依次是 【答案】S2S4S3

9、S1【分析】S1,S2,S3 的面积都可以算出来，S1=12-1,S2=1-14，利用割补的思想，S3=12对 S1,S2,S3 进行排序得 S2S3S1S4 的面积不好算，但是这里只需比较大小即可如下左图，阴影部分为 S4 的面积，所以 S412=S3如下右图，空白部分面积与图2空白部分面积相等，所以阴影部分为 S2 的面积，所以 S2S4所以 S2S4S31) 倍，当小圆在大圆内侧（外侧）作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？【答案】n-1 或 n+1【分析】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离设小圆的半径为“单位 1”，则大圆的半径为“n”在内测

10、滚动时，如图所示，因为圆心滚动的距离为 2(n-1)所以小圆绕自己的圆心转动了：2(n-1)2=n-1（圈）在外侧滚动时，如图所示因为圆心滚动的距离为 2(n+1)所以小圆绕自己的圆心转动了：2(n+1)2=n+1（圈）32. 面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14）【答案】20【分析】阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形这个图形可以割补成一个顶角为 60 的扇形，如下图所示，因此六个这样的图形面积和正好是一个圆：阴影部分的面积等于两个圆的面积，为 2033. 如图所示，小半圆的直径在大半圆直径上，且线段 EF

11、平行于大圆直径与小圆相切，若 EF=5 厘米，求大半圆比小半圆面积多多少？（注： 取 3.14）【答案】9.8125 平方厘米【分析】不妨设大半圆的半径是 R，小半圆的半径是 r，我们将小半圆的圆心与大半圆的圆心重叠，那么面积差就是圆环的一半，根据S=12(R2-r2),三角形 AOF 是直角三角形，根据勾股定理：R2-r2=522=2.52,所以面积差是 S=3.142.522=9.8125(平方厘米)34. 在右图所示的正方形 ABCD 中，对角线 AC 长 2 厘米扇形 ADC 是以 D 为圆心，以 AD 为半径的圆的一部分求阴影部分的面积 【答案】1.14 平方厘米【分析】如右图所示，

12、S1=4AD2-12AD2，S2+S3=12AC22-12AD2=18AC2-12AD2因为 AC2=2AD2=4，所以阴影部分的面积为：4AD2-12AD2+18AC2-12AD2=14AC2-12AC2=-2=1.14(平方厘米)另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形 ADC 面积之和减去正方形 ABCD 的面积，所以阴影部分的面积为 4AD2+18AC2-AD2=1.14(平方厘米)35. 把四个直径为 8cm 的圆柱形饮料瓶捆扎在一起，截图如下图，那么围绕一周的绳子长度是多少？【答案】57.12cm【分析】为绕一周的长度，分为四段弧和四段直线段四段弧形，考虑实际情况，以下图为例：

13、曲直交换的位置，从而得知每段对应圆周的四分之一，总共正好一个周长，即 d，得 25.12cm四段直的，每段长为直径，所以为 84=32cm总计围绕一周的长度为 57.12cm36. 图中有 7 个相同的面积为 10 的圆，那么阴影部分面积是多少【答案】20【分析】如图，三个小箭头形状能拼成一个半圆，所以原图面积为 2 个圆，为 2037. 如图，一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，其中盘 A 直径为 10 厘米，盘 B 直径为 40 厘米，盘 C 直径为 20 厘米问：A 顺时针方向转动一周时，重物上升多少厘米？（ 取 3.14）【答案】31.4【分析】A 顺时针转一周时，C 顺时针转 12

14、周，同轴的 B 也顺时针转 12 周，从而绳索被拉动的距离等于 B 的半个圆周长即 2062.8，这时重物应该上升去 1262.8=31.4所以重物上升 31.4 厘米38. 如下图所示，图中的曲线是用半径长度的比为 2:1.5:0.5 的 6 条半圆曲线连成的问：涂有阴影的部分与未涂阴影的部分的面积比是多少？【答案】511【分析】不妨设 1 是最小的半圆的半径于是其余两种半圆的半径便是 3 和 4分别用 S1 及 S2 表示涂有阴影及未涂阴影部分的面积，由图可知S1=12+1212+12(42-32)=5,S2=42-S1=11.所以S1:S2=5:11.39. 如图，在一块面积为 12.5

15、6 平方厘米的纸板中，裁出了 2 个同样大小的圆纸板问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米？（ 取 3.14）【答案】6.28 平方厘米【分析】大圆的面积是 12.56 平方厘米，可求出大圆的半径是 2 厘米，那么小圆的半径是 1 厘米，面积是 3.14 平方厘米阴影部分的面积是 12.56-3.14-3.14=6.28 平方厘米40. 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是 1求阴影部分的面积【答案】2.5【分析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形由右图可见，阴影部分面积等于 16 大圆面积减去一个小圆面积，再加上 120 的小扇形面积

16、（即 13 小圆面积），所以相当于 16 大圆面积减去 23 小圆面积而大圆的半径为小圆的 3 倍，所以其面积为小圆的 32=9 倍，那么阴影部分面积为 169-2312=56=2.541. 如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是 9 个圆，右图中阴影部分是 16 个圆哪个图中阴影部分的面积大？为什么？ 【答案】两图中阴影部分的面积相等【分析】设正方形的边长为 a，每一个圆的半径为 r，则正方形的每一条边上都有 a2r 个圆，从而正方形内部共有 a2ra2r 个圆，于是这些圆的总面积为：S阴影=r2a2ra2r=14a2可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面

17、积只与正方形的边长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分的面积就是一定的由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等42. 如图，大圆半径为小圆的直径，已知大圆半径是 20 厘米，那么阴影面积是多少？（ 取 3.14）【答案】456 平方厘米【分析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形，那么阴影面积是大圆减正方形面积大圆半径为 20 厘米，则正方形面积是S=12402=800(平方厘米),阴影面积是S=202-800=456(平方厘米).43. 有 10 个同心圆，任意两个相邻的同心圆半

18、径之差等于里面最小圆的半径小圆半径为 1 厘米，求所有阴影面积的和（=3.14） 【答案】78.5 平方厘米【分析】将所有阴影放在同一个扇形内，如下图，所以 S阴影=143.14102=78.5(平方厘米)44. 如图，在一块面积为 28.26 平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？（ 取 3.14）【答案】6.28【分析】28.263.14=32，大圆半径是 3 厘米小圆半径是 1 厘米，所以边角料面积为 28.26-7123.14=6.28 平方厘米45. 用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了 7 个同样大小的圆铝板问：所

19、余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【答案】8【分析】大圆直径是小圆的 3 倍，半径也是 3 倍，小圆面积大圆面积 =r2:R2=1:9，小圆面积 =3619=4，7 个小圆总面积 =47=28，边角料面积 =36-28=8(平方厘米)46. 下图中的大正方形边长为 4 厘米，每个圆弧皆是半径为 1 厘米的半圆或四分之一圆，请问阴影部分面积为多少平方厘米？=227【答案】10【分析】将图形分割如下图所示，阴影部分可拼成 10 个小正方形所以阴影部分面积为 1110=10(平方厘米)47. 有一辆杂技自行车，前轮的半径是 4111 分米，后轮的半径是 313 分米，那么当后轮转的圈数比前轮多 1

20、0 圈的时候，这辆车前进了多少米？（圆周率取近似值 3.14）【答案】113.04 米【分析】由于前后轮的半径比是 4111:313=27:22，所以前后轮的周长比也是 27:22，那么当转过相同路程时，前后轮转过的圈数比是 22:27，所以当后轮转的圈数与前轮多转 10 圈时，车的前轮转了 1027-2222=44 圈，后轮转了 54 圈，前进了 23.14411144110=113.04 米48. 如图所示，两条线段相互垂直，全长为 30 厘米圆紧贴直线从一端滚动到另一端（没有离开也没有滑动）在圆周上设一个定点 P，点 P 从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到直线，而在圆滚动

21、的全部过程中点 P 是不接触直线的那么，圆的半径是多少厘米？（设圆周率为 3.14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位如有多种答案请全部写出）【答案】4.47 或 2.31【分析】如上图：因为在圆滚动的全部过程中点 P 是不接触直线的，所以这个圆的运动情况有两种可能一种是圆滚动了不足一圈，根据 P 点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了 270另一种是圆在第一条直线上滚动了将近一圈，在第二条直线上又滚动了将近一圈，根据 P 点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了270+360=630.因为两条线段共长 30 厘米，所以 270 的弧长或者 630 的弧长再加上两个半径是 30 厘米2r27036

22、0+2r=30(厘米),或者2r630360+2r=30(厘米),所以圆的半径是 4.47 厘米或 2.31 厘米49. 如图是一个对称图形比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积与灰色部分面积什么关系【答案】相等【分析】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的 14，则 4 个小圆的面积之和等于大圆的面积而 4 个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等50. 已知右图中正方形的边长为 20 厘米，中间的三段圆弧分别以 O1、O2、O3 为圆心，求阴影部分的面积（=3）【答案】150 平方厘

23、米【分析】图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积而这一块的面积，等于大正方形的面积减去一个 90 扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：S正方形-S扇形-S正方形-S圆4=2020-14202-2020-1004=75(平方厘米),所以阴影部分的面积为 752=150(平方厘米)51. 如图，15 枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置问：这枚硬币自身转动了多少圈？【答案】见解析【分析】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转了180-60-60

24、=60.而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 120当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转了360-60-60-90=150.而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 300长方形的外圈有 12 个硬币，其中有 4 个在角上，其余 8 个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有 8 次是在长方形的一条边之内滚动，4 次是从长方形的一条边滚动到另一条边1208+3004=2160,所以这枚硬币转动了 2160，即自身转动了 6 圈另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个 2 即滚动了一圈52. 如果半径为 25

25、厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？【答案】3【分析】如图，同样考虑小圆的一条半径 OA，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径 OA 滚动了 540，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了 3 圈也可以考虑小圆圆心转过的距离小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的 3 倍，所以这个圆的周长也是小圆的 3 倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题中小圆自身转了 3 圈53. 奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6 厘米，外圆直径为 8

26、 厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是 77.1 平方厘米，求每个小曲边四边形的面积（=3.14）【答案】4.1 平方厘米【分析】每个圆环的面积为：42-32=7=21.98(平方厘米)五个圆环的面积和为：21.985=109.9(平方厘米)八个阴影的面积为：109.9-77.1=32.8(平方厘米)每个阴影的面积为：32.88=4.1(平方厘米)54. 下图中四个圆的半径都是 5 厘米，求阴影部分的面积。【答案】257 平方厘米【分析】直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中的空白部分是 4 个四分之一圆

27、，利用割补法，可以得到下图。其中的阴影部分的面积与原图相同，等于一个正方形与 4 个半圆（即 2 个圆）的面积之和，为(2r)2r22=1023.1450257(厘米2).55. 如图，直角三角形 ABC 中，AB 是圆的直径，且 AB=20，阴影甲（上方阴影）的面积比阴影乙（下方阴影）的面积大 7，求 BC 长（ 取 3.14）【答案】15【分析】阴影甲和阴影乙的面积差等于半圆的面积减去直角三角形ABC的面积，半圆的面积为 122022=50157，所以 SABC=157-7=150，BC=SABCAB=215020=1556. 如图，是一个边长是 12 厘米的正方形，阴影部分的面积是多少平

28、方厘米？（3.14）【答案】41.04【分析】根据容斥原理，阴影面积是1212223.14+181223.14-121212=41.04(平方厘米).57. 如图（1）是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径如图（2）所示，让 A 点不动，把整个半圆逆时针转 60，此时 B 点移动到 C 点请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（ 取 3.14）【答案】4.71 平方厘米【分析】图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个半圆面积与一个圆心角为 60 的扇形面积之和因此阴影面积等于圆心角为 60 的扇形面积，即 1632=4.7158. 如下图，有 8 个半径为 1

29、厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心则花瓣图形的面积是多少平方厘米？（ 取 3）【答案】19【分析】本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解如上图，连接顶角上的 4 个圆心，可得到一个边长为 4 的正方形可以看出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下 4 个 14 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为 42+12=19（平方厘米）在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的图形，从而利用面积公式进行求解

30、这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关键。59. 如图，直角三角形的三条边长度为 6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？【答案】24-4.5【分析】S阴影=S直角三角形-S半圆，设半圆半径为 r，直角三角形面积用 r 表示为：6r2+10r2=8r又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为 1268=24，所以 8r=24，r=3所以 S阴影=24-129=24-4.560. 如图所示，正方形 ABCD 的面积是 64 平方厘米，E、F 分别为所在半圆弧的中点求阴影部分的面积（ 取 3.14）【答案】73.12 平方厘米【分析】从图中可以看出，两块空白图形的面

31、积等于半圆面积加上正方形面积减去 AED 的面积，即88+422-8122=41.12而阴影部分面积等于整个图形面积减去空白的面积，即88+42-41.12=73.12(平方厘米).61. 如图所示，一块半径为 2 厘米的圆板，从位置 起始，依次沿线段 AB、BC、CD 滚到位置 如果 AB、BC、CD 的长都是 20 厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米？（ 取 3.14，答案保留两位小数）【答案】228.07【分析】小圆滚动时所经过的区域如下图所示半圆 FEQ、半圆 JKL 的面积之和是 4 平方厘米；长方形 FGBQ、BHIP、IJLM 的面积之和是(18+16+14)4=192(

32、平方厘米);60 的扇形 BGH 的面积为1642=83;PIMNO 部分的面积为 (12+) 平方厘米所以总面积为4+192+83+12+=204+233228.07(平方厘米).62. 如图，直角三角形 ABC 中，AB 是圆的直径，且 AB=20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大 7，求 BC 长（ 取 3.14）【答案】15【分析】因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成 1 个半圆和 1 个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了因为阴影甲比阴影乙面积大 7，也就是半圆面积

33、比直角三角形面积大 7半圆面积为：12102=157,则直角三角形的面积为157-7=150,可得BC=215020=15.63. 如图所示，两个边长均为 6 厘米的正方形，左图中的阴影部分是 4 个圆，右图中的阴影部分是 9 个圆哪个图中的阴影部分面积大？【答案】面积相等【分析】设正方形的边长为 a，每一个圆的半径为 r，则正方形的每一条边上都有 a2r 个圆，从而正方形内部共有 a2ra2r 个圆，于是这些圆的总面积为：S阴影=r2a2ra2r=14a2可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方

34、形的边长不变，那么阴影部分的面积就是一定的由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等64. 如图，正方形的面积是 8，阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14）【答案】4.56【分析】四个半圆的面积之和减去正方形的面积就是阴影部分的面积，四个半圆可以拼成两个相同的圆，而这个圆和正方形正好是方中圆的关系，由此可求出圆的面积是 6.28，那么阴影部分的面积就是 6.282-8=4.5665. 在半径为 1 的圆内，画 13 个点，其中任意 3 点不共线请证明：一定存在 3 个点，以它 们为顶点的三角形面积小于 6【答案】略【分析】证明：将半径为 1 的圆八等分，分为六个扇形，每个扇

35、形的面积是 6，根据抽屉原理，至少有三个点在同部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即 666. 已知三角形 ABC 是直角三角形，AC=4 厘米，BC=2 厘米，求阴影部分的面积（ 取 3.14）【答案】3.85 平方厘米【分析】设两个半圆的交点为 D，接 CD，S阴影=S大半圆-SADC+S小半圆-SBDC=S大半圆+S小半圆-SABC,所以，S阴影=12422+12222-1224=2.5-4=3.85(平方厘米).67. 如图，等腰直角三角形的一腰的长是 8 厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那么阴影部分的面积共有多少平方厘米？（ 取 3.14）【答案】18.24【分析

36、】如下图，我们将原题中阴影部分分成 、 4 个部分，并且这 4 个部分的面积相等有 、 部分的面积和为二分之一圆的面积与其内等腰直角三角形的面积差二分之一圆的面积为124483.14=25.12.其内等腰直角的底为 8，高为 4，所以其面积为1284=16,所以 、 部分的面积和为25.12-16=9.12(平方厘米).而 、 四部分的面积和为 、 部分的面积和的 2 倍，即为9.122=18.24(平方厘米).所以，原题中阴影部分的面积共有 18.24 平方厘米68. 如图，求阴影部分的面积（ 取 3.14）【答案】2.28【分析】阴影部分面积等于四块扇形面积减去正方形面积，而四块扇形恰好构

37、成一个整圆圆的直径等于正方形的对角线设正方形对角线为 l，圆的直径为 d，则l22=4,则l2=8,d2=8,圆的面积为S=d24=2=6.28,阴影的面积为S阴=6.28-4=2.28.69. 如下图所示，曲线 PRSQ 和 ROS 是两个半圆RS 平行于 PQ如果大半圆的半径是 1 米，那么阴影部分是多少平方米？（ 取 3.14）【答案】1.07【分析】如左下图所示，弓形 RS 的面积等于扇形 ORS 的面积与三角形 ORS 的面积之差，为 1412-1211=4-12（平方米），半圆 ROS 的面积为 12RS22=12OR2+OS24 =1212+124=4（平方米），所以阴影部分的面

38、积为 4-12+4=12-1=1.07（平方米）70. 如图，半径分别是 15 厘米、10 厘米、5 厘米的圆形齿轮 A、B、C 为某传动机械的一部分，A 匀速转动后带动 B 匀速转动，而后带动 C 匀速转动，请问：（1）当 A 匀速顺时针转动，C 是顺时针转动还是逆时针转动？（2）当 A 转动一圈时，C 转动了几圈？【答案】（1）顺时针转动；（2）3【分析】（1）当 A 顺时针转动时，带动逆时针转动，当 B 逆时针转动时带动 C 顺时针转动所以当 A 匀速顺时针转动时，C 顺时针转动（2）当 A 转动时可带动 B 转动，而 B 转动时可带动 C 转动，且 A，B，C 转动时，所转过的长度相等

39、，即当 A 转动一圈时，即 A 上的定点转了一圈，转过的长度为圆 A 的周长，LA=215=30(厘米),此时，C 上的点也转过了 30 厘米，所以当 A 转动一圈时，C 转动的圈数是：3025=3(圈).所以当 A 转动一圈时，C 转动了 3 圈71. 下图中，AB=3，阴影部分的面积是多少 【答案】4.5【分析】如图可知 EF= 3，设大半圆半径为 R，小圆半径为 r，如右图 R=EH，r=HG=EG，根据勾股定理得 R2=2r2，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知S阴影=S小圆-S柳叶=S小圆-2(S扇形EHF-SEHF)=S小圆-2S扇形EHF+2SEHF=S小圆-S大半圆+2SEHF

40、=2SEHF=EFGH=332=4.572. 传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10 平方米每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影（如下图）那么，阴影部分的面积是多少平方米【答案】5【分析】等积变形，对应思想将中间的正三角形旋转如下图，图中阴影部分的面积与原图阴影部分的面积相等由 A 与 A，B 与 B 面积相等，推知阴影部分占圆面积的一半102=5(平方米)73. 图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？【答案】1:1【分析】根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解：阴影部分甲=120的扇形-三角形-小弓形;阴影部分乙=

41、三角形+小弓形;由于 120 扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积：综上所述：阴影部分甲的面积=圆的面积的13-16=圆的面积的16.所以甲、乙面积之比为 1:174. 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为 2:1.5:0.5 的 6 条半圆曲线连成的问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【答案】5:11【分析】假设最小圆的半径为 r，则三种半圆曲线的半径分别为 4r，3r 和 r阴影部分的面积为：124r2-123r2+12r2+r2=5r2，空白部分的面积为：4r2-5r2=11r2，则阴影部分面积与空白部分面积的比为 5:1175. 在水平地

42、面上匀速行驶的拖拉机速度是每秒 5 米，已知拖拉机前轮直径 0.8 米，后轮直径 1.25 米设某一时刻两轮上与地面接触的点为 A 和 B，那么经过多少秒后，A 和 B 再次同时与地面接触？（圆周率取近似值 3）【答案】2 秒【分析】前轮与后轮的周长比是 0.8:1.25=16:25，因此走同样的路程，前轮与后轮转的圈数比是 25:16；从此时到 A 和 B 再次同时与地面接触，两轮都转了整数圈，所以 A 轮转了 25 圈，B 轮转了 16 圈，走的路程是 0.8325=60 米，需要的时间是 605=12 秒76. 图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心如

43、果每个圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？（ 取 3.14）【答案】8 平方厘米【分析】如图，阴影部分总面积等于虚边正方形面积，该正方形的对角线长为圆直径的两倍，等于 4 厘米，所以面积为 442=8 平方厘米77. 如图，以 AD 为直径的半圆 O 内接一个等腰梯形 ABCD，梯形的上底是 60，下底是 100，以梯形上底和腰为直径向外作半圆，形成的阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14）【答案】2258【分析】由已知可得，阴影部分的面积为梯形面积加以 AB、BC、CD 为直径的半圆面积减去以 AD 为直径的半圆面积，作 OE 垂直于 BC，根据勾股定理可得梯形的高

44、OE 为 40，则 AB2=BF2+AF2=402+202=2000，阴影部分的面积为：12AD+BCOE+12AB22+12CD22+12BC22-12AO22=2258.78. 一枚半径为 1cm 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置，那么与原 A 点重合的点是哪个硬币自己转动几周，硬币圆心的运动轨迹周长为多少【答案】6【分析】先计算轨迹的长度：三个半径为 2 的半圆，12(22)3=6，62=3，即为 3 周，所以答案为 A 点，3 周，679. ABC 为等腰直角三角形，D 为半圆中点，BC 为半圆直径已知 AB=BC=10，那么阴影部分面积

45、为多少？（圆周率取 3.14）【答案】32.125【分析】设 BC 中点为 O，连接 OD，则 OD=5，OB=5，BP:PO=AB:OD=10:5=2:1，BP=523=313，PO=OB-BP=5-313=123，SABP=12ABBP=1210313=1623，SOPD=125123=416，阴影部分的面积为 1623+1452-416=1212+254=32.12580. 如图中，正方形的边长是 5cm，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？（圆周率取 3.14）【答案】142.75cm2【分析】5234+5522=142.75(cm2)81. 如图，在一个正方形中恰好放了四个相

46、同的半圆，每个半圆的直径恰好都在边上，一些线段的长度如图所示，那么中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是多少？【答案】16【分析】方法一：根据题意，令空白部分的半圆的半径为 r，则可知： r+62+r+22=4r2，解之得：r=10 S中间阴影=2r2-r2=400-100； S四角阴影=122+r6+r-14r24=384-100所以 S中间阴影-S四角阴影=400-100-384-100=16方法二：四角上的阴影部分加上一个圆的面积等于 4 个直角三角形的面积，中间阴影部分加上一个圆的面积等于中间正方形的面积，根据差不变原理，阴影部分的面积差等于正方形面积与 4 个直角三角形的面积差，根

47、据弦图可得，两者的差为 6-22=1682. 如图，这是一个卡通图案，图中的正方形边长是 4 厘米，各个小半圆的半径相同，则阴影部分的面积是多少平方厘米（ 取 3.14）【答案】22.28【分析】四个小半圆互相抵消，阴影部分等于正方形加半圆，故面积为：42+1222=22.28(cm2).83. 有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？（ 取 3） 【答案】45【分析】由右图知，绳长等于 6 个线段 AB 与6个 BC 弧长之和将图中与 BC 弧相似的 6 个弧所对的圆心角平移拼补，可得到 6 个角的和是 360，所以 BC 弧所对的圆心

48、角是 60，6 个 BC 弧合起来等于直径 5 厘米的圆的周长而线段 AB 等于塑料管的直径，由此知绳长为：56+5=45(厘米)84. 图中的长方形的长与宽的比为 8:3，求阴影部分的面积【答案】244【分析】如下图，设半圆的圆心为 O，连接 OC从图中可以看出，OC=20，OB=20-4=16，根据勾股定理可得 BC=12阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，为：20212-(162)12=200-384=24485. 请看下图，共有多少个圆圈？【答案】25【分析】此题中，各圆大小各异，不如按照从左到右的顺序来数共有个 25 圆圈86. 某仿古钱币直径为 4 厘米，钱币内孔边缘恰好是

49、圆心在钱币外缘均匀分布的等弧（如图）求钱币在桌面上能覆盖的面积为多少？ 【答案】10.84cm2【分析】将古钱币分成 8 个部分，外部的 4 个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形，中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：422-4222+42224=6-8=10.84 (cm2)87. 如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB 弦约等于 17 厘米，半径为 10 厘米，求阴影部分的面积【答案】12413 平方厘米【分析】阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了由已知条件，若分别连结 AO1，AO2，BO1，BO2，O

50、1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形（各边长均等于半径），则 AO2O1=BO2O1=60，即 AO2B=120这样就可以求出以 O2 为圆心的扇形 AO1BO2 的面积，然后再减去三角形 AO2B 的面积，就得到弓形的面积，三角形 AO2B 的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦 AB，高是 O1O2 的一半所以，阴影部分面积 =2S扇形AO2B-SAO2B=23.14102120360-1217102=20913-85=12413(平方厘米)88. 左图是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径让 A 点不动，把整个半圆逆时针转 60，此时 B 点移动到 C 点，如右图所示那么图中

51、阴影部分的面积是多少平方厘米？（ 取 3.14）【答案】略【分析】右图中阴影部分面积等于以 AC 为直径的半圆以及以 AC 为半径的 60 扇形的面积和减去以 AB 为直径的半圆面积那么阴影部分的面积等于以 AC 为半径的 60 扇形的面积，即60360321.53.14=4.71(平方厘米).89. 12 个相同的硬币可以排成下面的 4 种正多边形（圆心的连线） 用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周问：在哪个图中这枚硬币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？【答案】6【分析】对于同样是 12 个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在”角”上的转动，一是在”边

52、”上的滚动抓住关键方法：圆心轨迹长度 2= 自身转动圈数结论：一样多；都是 6 圈90. 平面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分的面积是多少？【答案】20【分析】题中阴影部分面积可以视为一个完整的圆与 6 个下图阴影部分的面积和而图形 可以通过割补得到图形 ，而图形 是一个圆心角为 60 的扇形，即 16 圆所以，原题图中阴影部分面积为 1 个完整圆与 6 个 16 圆，即 2 个圆的面积即原题图中阴影部分面积为 210=20.91. 如下图所示，在以 AB 为直径的半圆上取一点 C，分别以 AC 和 BC 为直径在 ABC 外作半圆 AEC 和 B

53、FC当 C 点在什么位置时，图中两个弯月型（即阴影部分）AEC 和 BFC 的面积和最大【答案】当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分面积最大【分析】因为 ACB=90，由勾股定理及圆的面积公式可知两个小半圆的面积之和等于大半圆的面积，所以月牙面积等于 ABC 的面积，当 C 在弧 AB 中点时，ABC 中 AB 边上的高最大，从而 ABC 的面积最大，所以当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分面积最大92. 如下图所示，AB 为圆 O 的直径，点 D 在圆 O 上在梯形 ABCD 中，线段 AB 与线段 DC 都分别垂直于 BC；AB=2CD；弧 DMB 是以点 C 为圆心的圆弧请问下图中阴影部

54、分的面积与圆 O 的面积之比是多少？（取 =227）【答案】1344【分析】不妨设两圆的半径为 1，则圆 O 的面积为 227，阴影部分的面积等于梯形 ABCD 的面积减去弓形 DMB 的面积的 2 倍：12(1+2)1-21422712+21212=1314,所以面积比为1314:227=1344.93. 图中的三个图形都是由 A、B、C、D（线段或圆）中的两个组合而成，记为 AB、CD、AD请你画出表示 AC 的图形【答案】见解析【分析】观察上图，第一个图形和第三个图形的共同之处是都有一条竖向线段，而它们共有的字母是 A，因此 A 表示竖向线段；第二个图形与第三个图形的共同之处是都有一条横向线段，它们的共同字母是 D，因此 D 表示横向线段这样，由第一个图形可知 B 表示大圆，由第二个图形可知 C 表示小圆，从而 AC 表示的图形应为竖向线段和小圆组合而成，即下图