【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-一半模型-5星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-直线型几何-一半模型-5星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率一半模型B1.了解典型的一半模型2.能够灵活运用一半模型解决几何问题少考知识提要一半模型 平行四边形的一半模型 梯形的一半模型 任意四边形一半模型精选例题一半模型 1. 下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形，E、F、G、H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 mn，那么，(m+n) 的值等于 【答案】5【分析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分

2、的面积如下图所示，在左图中连接 EG设 AG 与 DE 的交点为 M左图中 AEGD 为长方形，可知 AMD 的面积为长方形 AEGD 面积的 14，所以三角形 AMD 的面积为 121214=18又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为 1-184=12如上图所示，在右图中连接 AC、EF设 AF、EC 的交点为 N可知 EFAC 且 AC=2EF那么三角形 BEF 的面积为三角形 ABC 面积的 14，所以三角形 BEF 的面积为 121214=18，梯形 AEFC 的面积为 12-18=38在梯形 AEFC 中，由于 EF:AC=1:2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分

3、的面积比为：12:12:12:22=1:2:2:4，所以三角形 EFN 的面积为 3811+2+2+4=124，那么四边形 BENF 的面积为 18+124=16而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 1-164=13那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 12:13=3:2，即 mn=32，那么 m+n=3+2=5 2. 如图所示，矩形 ABCD 的面积为 36 平方厘米，四边形 PMON 的面积是 3 平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米【答案】12【分析】因为三角形 ABP 面积为矩形 ABCD 的面积的一半，即 18 平方厘米，三角形 ABO 面积

4、为矩形 ABCD 的面积的 14，即 9 平方厘米，又四边形 PMON 的面积为 3 平方厘米，所以三角形 AMO 与三角形 BNO 的面积之和是 18-9-3=6(平方厘米)又三角形 ADO 与三角形 BCO 的面积之和是矩形 ABCD 的面积的一半，即 18 平方厘米，所以阴影部分面积为 18-6=12(平方厘米) 3. ABCD 是边长为 12 的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，BL=DM=4、BK=DN=5，那么阴影部分的面积是 【答案】34【分析】（方法一）特殊点法由于 P 是内部任意一点，不妨设 P 点与 A 点重合（如下图），那么阴影部分就是 AMN 和 ALK而 AMN

5、的面积为 (12-5)42=14，ALK 的面积为 (12-4)52=20，所以阴影部分的面积为 14+20=34（方法二）寻找可以利用的条件，连接 AP、BP、CP、DP 可得下图所示：则有：SPDC+SPAB=12SABCD=12122=72.同理可得：SPAD+SPBC=72;而SPDM:SPDC=DM:DC=4:12=1:3,即SPDM=13SPDC;同理：SPBL=13SPAB,SPND=512SPDA,SPBK=512SPBC;所以：(SPDM+SPBL)+(SPND+SPBK)=13(SPDC+SPAB)+512(SPDA+SPBC)而(SPDM+SPBL)+(SPND+SPBK

6、)=(SPNM+SPLK)阴影面积+(SDNM+SBLK);SDNM=SBLK=1245=10;所以阴影部分的面积是：SPNM+SPLK=13(SPDC+SPAB)+512(SPDA+SPBC)-(SDNM+SBLK),即为：1372+51272-102=24+30-20=34. 4. 如图，正方形的边长为 12，阴影部分的面积为 60，那么四边形 EFGH 的面积是 【答案】6【分析】如图所示，设 AD 上的两个点分别为 M、N连接 CN根据面积比例模型，CMF 与 CNF 的面积是相等的，那么 CMF 与 BNF 的面积之和，等于 CNF 与 BNF 的面积之和，即等于 BCN 的面积而

7、BCN 的面积为正方形 ABCD 面积的一半，为 12212=72又 CMF 与 BNF 的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了 2 个四边形 EFGH 的面积，所以四边形 EFGH 的面积为：72-602=6 5. 如图，长方形 ABCD 的边上有两点 E、F，线段 AF、BF、CE、BE 把长方形分成若干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分面积是多少平方米？【答案】97【分析】运用等积变换，SDFA+SFCB=12SABCD,SBCE=12SABCD=SDAF+SFCB,因此，阴影面积为15+36+46=97(平方米). 6. 如图，正六边形 ABCDEF 的面积为 1，那么阴影部

8、分的面积是多少？【答案】14【分析】把三角形 EGD 移到三角形 CHB 的位置，则长方形 DHBG 面积为六边形面积一半，阴影面积又为此长方形面积一半，因此为122=14. 7. 如图所示，O 是长方形 ABCD 一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积 3 和 4，那么阴影直角三角形的面积是多少？【答案】318【分析】由 SAOD=4 可知 SBCD=12S长方形ABCD=124SAOD=8而 CDF 与 CDB 从 C 出发的高相同，则 DFDB=SCDFSCDB=58由于 EFCD，把线段的比例转移到 BC 上，则有 CEBC=DFDB=38，从而得到 BEBC=1-38=58，

9、所以阴影 BEF 的面积是 BCF 面积的 58于是阴影三角形的面积是58SBCF=58SBCD-SCDF=58(8-3)=258. 8. 如图，四边形 ABCD 中，DE:EF:FC=3:2:1，BG:GH:AH=3:2:1，AD:BC=1:2，已知四边形 ABCD 的面积等于 4，则四边形 EFHG 的面积 = 【答案】43【分析】运用三角形面积与底和高的关系解题连接 AC、AE、GC、GE，因为DE:EF:FC=3:2:1,BG:GH:AH=3:2:1,所以，在 ABC 中，SBCG=12SABC,在 ACD 中，SAED=12SACD,在 AEG 中，SAEH=12SHEG,在 CEG

10、 中，SCFG=12SEFG.因为SBCG+SAED=12SABC+12SACD=12SABC+SACD=12SABCD=2SBCG,所以SAGCE=SABCD-SBCG+SAED=4-2=2.又因为SAGCE=SAEH+SHEG+SCFG+SEFG=12SHEG+SHEG+12SEFG+SEFG=32SHEG+SEFG=32SEFGH,所以SEFGH=232=43. 9. 如图，ABCD 为正方形，AM=NB=DE=FC=1cm 且 MN=2cm，请问四边形 PQRS 的面积为多少？【答案】23cm2【分析】（法 1）由 ABCD，有MPMN=PCDC,所以PC=2PM,又MQQC=MBEC

11、,所以MQ=QC=12MC,所以PQ=12MC-13MC=16MC,所以 SSPQR 占 SAMCF 的 16，得到SSPQR=161(1+1+2)=23(cm2).（法 2）如图，连结 AE，则SABE=1244=8(cm2),而RBAB=EREF,所以RBEF=ABEF=2,SABR=23SABE=238=163(cm2).而SMBQ=SANS=123412=3(cm2),因为MNDC=MPPC,所以MP=13MC,则SMNP=122413=43(cm2),阴影部分面积等于SABR-SANS-SMBQ+SMNP=163-3-3+43=23(cm2).10. 如图所示，长方形 ABCD 内的

12、阴影部分的面积之和为 70，AB=8，AD=15，四边形 EFGO 的面积为 【答案】10【分析】从整体上来看，四边形EFGO的面积=三角形AFC面积+三角形BFD面积-白色部分的面积，而 三角形AFC的面积+三角形BFD面积 为长方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即 120-70=50，所以四边形的面积为 60-50=1011. 如图，ABCE 是一个平行四边形，ADE 是一个直角三角形，他们组成了梯形 ABCD如果这个梯形的上底、下底和高分别为 2cm、5cm 和 4cm，则图中阴影部分面积为是多少平方厘米？【答案】6【分析】用梯形面积减去三角形 C

13、FB 的面积和三角形 ABD 的面积，且三角形 BFC 面积为平行四边形 ABCE 面积的一半，因此，因此阴影面积为12(2+5)4-1224-1224=612. 有一个边长为 16 厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形求图中阴影部分的面积？【答案】80cm2【分析】如下图左所示，S 阴 =4S1S阴=16162=128(cm2)如下图中所示，此时斜放的正方形面积为 128cm2，S=S 阴 S=S阴=1282=64(cm2)如图右所示，此时外面正方形面积为 64，图中S阴=6422=16(cm2)所以，图中阴影部分总面积为：S阴+S阴=64+16=80(cm2)