2023-2024年广东新高考高二（上）数学期末模拟卷（解析版）.pdf

1、 学科网（北京）股份有限公司2023-2024 年广东新高考高二（上）数学期末模拟卷 一选择题（共 8 小题，满分 40 分，每小题 5 分）1（5 分）已知直线的方程为10 xy+=，则该直线的倾斜角为()A6 B4 C 23 D 56 【答案】B 【详解】直线10 xy+=的斜率1k=，设其倾斜角为(0180)的面积为ab现学校附近停车场有一辆 车，车上有一个长为 7m 的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为3m，短轴长为1.8m，学科网（北京）股份有限公司则该储油罐的容积约为(3.14)()A320m B330m C340m D350m 【答案】B 【详解】长为 7m 的储

2、油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为3m，短轴长为1.8m，可得32a=，0.9b=，7h=，所以该储油罐的容积：333.140.9730()2abhm=故选：B 5（5 分）已知(2,3)A，(2,1)B，若直线l 经过点(0,1)P，且与线段 AB 有交点，则l 的斜率的取值范围为()A(，22，)+B 2，2 C(，11，)+D 1，1【答案】D 【详解】已知(2,3)A，(2,1)B，若直线l 经过点(0,1)P，且与线段 AB 有交点，如图所示：故1APk=，1BPk=，则 l 的斜率的取值范围为 1，1 故选：D 6（5 分）如图，在直三棱柱111ABCA B C中，1

3、AAACBC=，且 ACBC，已知 E 为 BC 的中点，则异面直线1AC 与1C E 所成角的余弦值为()学科网（北京）股份有限公司 A155 B105 C 3 1010 D1010 【答案】B 【详解】在直三棱柱111ABCA B C中，1AAACBC=，且 ACBC，以 C 为坐标原点，以CA 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为 y 轴，1CC 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，设12AAACBC=，又 E 为 BC 的中点，则1(2A，0，2)，(0C，0，0)，1(0C，0，2)，(0E，1，0)，1(2AC=，0，2)，1(0C E=，1，2)，则异面直线1AC 与1C E

4、 所成角的余弦值为：111111|410|cos,|5|85AC C EAC C EA EC E=故选：B 7（5 分）已知数列na满足11a=，1(1)12022nnnnaa+=，记数列na的前 n 项和为nS，则2023(S=)A506 B759 C1011 D1012【答案】A 学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意，可得2023122023Saaa=+1234520222023()()()aaaaaaa=+2420221(1)(1)(1)202220222022=+20222420221 1()2202220222022=+12101110121011+=1011 101211012

5、21011=506=故选：A 8（5 分）已知正方体1111ABCDA B C D的内切球的表面积为，P 是棱1BB 上一动点，当直线1C D 与平面11AC P 的夹角最大时，四面体11DAC P的体积为()A 14 B 13 C 16 D 19 【答案】A 【详解】建系如图，正方体1111ABCDA B C D的内切球的表面积为，易得正方体的棱长为 1，1(1A，0，0)，1(0C，1，0)，(1D，1，1)，设(0P，0，)t，0t，1，1(1,0,1)C D=，11(1,1,0)C A=，1(1,0,)A Pt=，设平面11AC P 的法向量为(,)nx y z=，则11100n C

6、Axyn A Pxtz=+=，取(,1)nt t=，直线1C D 与平面11AC P 的夹角的正弦值为：211221|12(1)|cos,|221|221C D nttC D ntC D nt+=+，令1tu+=，0t，1，1u，2，222222(1)22143221224322tutuuuu+=+，令1vu=，1u，2，12v，1，学科网（北京）股份有限公司22212121432222342223()33vvvuu=+，12v，1，当23v=，即 1213t=+，即12t=时，直线1C D 与平面11AC P 的夹角的正弦值取得最大值，此时直线1C D 与平面11AC P 的夹角也最大，当直

7、线1C D 与平面11AC P 的夹角最大时，P 为棱1BB 的中点，此时平面11AC P 的法向量1 1(,1)2 2n=，又1(1,0,1)C D=，点 D 到平面11AC P 的距离为1113|32|cos,|232C D nC DC D nn=，又易知此时1152A PC P=，112AC=，11AC P 的面积为 151622424=，此时四面体11DAC P的体积 16313424=，故选：A 二多选题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）9（5 分）设a，b，c 是

8、空间一个基底，则下列选项中正确的是()A若 ab，bc，则 ac B ac+，bc+，ca+一定能构成空间的一个基底 C对空间中的任一向量 p，总存在有序实数组(x，y，)z，使 pxaybzc=+D存在有序实数对，使得 cxayb=+学科网（北京）股份有限公司【答案】BC 【详解】对于 A，ab，bc，不能得出 ac，也可能是 a、c 相交不一定垂直，选项 A 错误；对于 B，假设向量 ab+，bc+，ca+共面，则()()abx bcy ca+=+，x、yR，化简得()(1)(1)xy cx by a+=+，所以 a、b、c 共面，这与已知矛盾，所以选项 B 正确；对于C，根据空间向量基本

9、定理知，对空间任一向量 p，总存在有序实数组(x，y，)z，使 pxaybzc=+，选项C 正确；对于 D，因为a，b，c 是空间一个基底，所以 a 与 b、c 不共面，选项 D 错误 故选：BC 10（5 分）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 A（离地面最近的点）距地面 m 千米，远地点 B（离地面最远的点）距地面 n 千米，并且 F、A、B 三点在同一直线上，地球半径约为 R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a、2b、2c，则()A acmR=+B acnR+=+C 2amn=+D()()bmR nR=+【答案】ABD

10、【详解】设椭圆的长半轴为 a，短半轴为b，半焦距为 c，则由题意可知：acRm=，acRn+=，可得 acmR=+，所以 A 正确；acRn+=+，所以 B 正确；可得2mnaR+=+，2nmc=则22222()()()()22mnnmbacRmR nR+=+=+则()()bmR nR=+所以 D 正确；故选：ABD 11（5 分）已知直线:50l xy+=，过直线上任意一点 M 作圆22:(3)4Cxy+=的两条切线，切点分别为A，B，则有()学科网（北京）股份有限公司A|MA 长度的最小值为 4 22 B不存在点 M 使得AMB为 60 C当|MCAB最小时，直线 AB 的方程为210 x

11、y=D若圆C 与 x 轴交点为 P，Q，则 MP MQ 的最小值为 28【答案】BD 【详解】由题知圆C 的圆心为(3,0)，半径为2r=，对于 A：因为圆心(3,0)到直线:50l xy+=的距离为84 22d=，所以|4 2minMC=，所以22|2 7minminMAMCr=，对于 B：假设存在点 M 使得AMB为 60，如图，则30AMC=，故在 Rt AMC中，|24MCr=，由 A 知|4 24minMC=，故矛盾，即不存在点 M 使得AMB为 60，故 B 正确；对于C：由于 MCAB，故四边形 MACB 的面积为1|2|2|2MACBMACSMCABSMA rMA=，所以|4|

12、MCABMA=，故当|MCAB最小时，|MA 最小，由 A 选项知22|2 7minminMAMCr=，此时 MCl，/lAB，即直线 AB 的斜率为 1，由于直线210 xy=的斜率为 12，故C 错误；对于 D：由题知(1,0)P，(5,0)Q，设(,5)M x x+，(1MP MQx=，5)(5xx，2225)(5)(1)(5)24302(1)28 28xxxxxxx=+=+=+，当且仅当1x=时等号，故 MP MQ 的最小值为 28，故 D 正确 故选：BD 12（5 分）如图，棱长为 2 的正方体1111ABCDA B C D中，E、F 分别为棱11A D、1AA 的中点，G 为面对

13、角线1B C 上一个动点，则()学科网（北京）股份有限公司A三棱锥1AEFG的体积为定值 B线段1B C 上存在点G，使平面/EFG平面1BDC C当134CGCB=时，直线 EG 与1BC 所成角的余弦值为 13 D三棱锥1AEFG的外接球半径的最大值为 3 22【答案】ACD 【详解】对于 A，1 11111 1 23 23VAEFGVGA EF=，所以 A 正确；对于 B，若存在 G 线段1B C，使平面/EFG平面1BDC G 线段1B C，因为平面11A B CD 交平面 EFG 与平面1BDC 分别为 NG 与 DM，于是/NGDM，G 应在1CB 的延长线上，所以 B 错；对于C

14、，以在为原点建立如图所示的空间直角坐标系，当134CGCB=时，则3(2G，2，3)2，(1E，0，2)(2B，2，0)，1(0C，2，2)，所 以1(2EG=，2，1)2，1(2BC=，0，2)，所 以 cosEG=，所以直线 EG 与1BC 所成角的余弦值为 13，所以C 正确；对于 D，当G 在 C 点时，三棱锥1AEFG外接球半径最大，连接1A D 交 EF 于点 N，则 N 为 EF 的中点，因为三角形 AEF 为直角三角形，所以外接球的球心在过点 N 且垂直于面1A EF 的直线 NH 上，NH 与1B C 交于 H，设球心为O，如平面展开图，设半径1OCOAR=，因为11222A

15、 NEF=，12 2A D=，所以3 22CHDN=，所以2222112()2ONOAA NR=，22223 2()2OHOCCHR=，由2ONOH+=，可得222223 2()()222RR+=，解得3 22R=，所以 D 正确，故选：ACD 学科网（北京）股份有限公司 三填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）13（5 分）抛物线2yx=的焦点坐标是 【答案】1(0,)4 【详解】抛物线2yx=，即2xy=，12p=，124p=，焦点坐标是1(0,)4，故答案为：1(0,)4 14（5 分）过点(2,3)P 作圆22:420E xyxy+=的两条切线，切点分别为 M，N 则直

16、线 MN 的方程为 学科网（北京）股份有限公司【答案】4470 xy=【详解】圆 E 的标准方程为22(2)(1)5xy+=，设切点1(M x，1)y，2(N x，2)y，则切点所在的切线方程为：11(2)(2)(1)(1)5xxyy+=，22(2)(2)(1)(1)5xxyy+=，因为点 P 在切线上，所以11(2)(22)(1)(31)5xy+=，即114(2)4(1)5xy+=，224(2)4(1)5xy+=，所以 M，N 在直线 4(2)4(1)5xy+=上，即 MN 的直线方程为 4470 xy=，故答案为：4470 xy=15（5 分）已知O 为坐标原点，直线:l ykxt=+与椭

17、圆2222:1(0)xyCabab+=交于 A，B 两点，P 为 AB的中点，直线OP 的斜率为0k 若03143kk，则椭圆的离心率的取值范围为 【答案】1(2，6)3【详解】设1(A x，1)y，2(B x，2)y，0(P x，0)y，则1212yykxx=，1202xxx+=，1202yyy+=，所以0120012yyykxxx+=+，所以221202212yykkxx=，将 A，B 两点坐标代入椭圆方程可得：22112222222211xyabxyab+=+=，两式作差可得：22221212220 xxyyab+=，所以22212022212yybkkxxa=，则223143ba，所以

18、213134e，即21243e，所以 1623e，所以CP 长度的最大值为174 故答案为：174 四解答题（共 6 小题，满分 70 分）17（10 分）已知圆C 的圆心在 x 轴上，且经过坐标原点 O 和点(3,3)A 学科网（北京）股份有限公司（1）求圆C 的标准方程；（2）求过点(4,4)P与圆C 相切的直线方程【答案】（1）22(2)4xy+=；（2）4x=或3440 xy+=【详解】（1）根据题意，圆 C 的圆心C 在 x 轴上，设其坐标为(,0)a，圆C 的半径为 r，又由圆C 经过坐标原点O 和点(3,3)A|ra=，则有222(3)(03)ra=+，解可得2a=，则2r=，则

19、圆C 的标准方程为22(2)4xy+=，（2）根据题意，圆C 的标准方程为22(2)4xy+=，若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为4x=，与圆C 相切，符合题意；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为4(4)yk x=，即440kxyk+=，若直线l 与圆C 相切，且有2|244|21kkk+=+，解可得：34k=，又由直线经过点(4,4)，则直线l 的方程为3440 xy+=故直线l 的方程为4x=或3440 xy+=18（12 分）已知数列na为等差数列，nS 是其前 n 项和，且315S=，1516aa+=数列 nb中，11b=，112nnbb+=，(*)nN（1）分别求数列n

20、a，nb的通项公式；（2）求数列nnab+的前 n 项和nT 【答案】（1）31nan=；11()2nnb=；（2）nT21312()22nnn+=+【详解】（1）设等差数列的公差为 d，因为312315Saaa=+=，1516aa+=所以2315a=，3216a=，所以25a=，38a=，所以公差323daa=，所以首项122aad=，所以数列na的通项公式为1(1)23(1)31naandnn=+=+=，数列 nb中，11b=，11(*)2nnbb nN+=，学科网（北京）股份有限公司所以数列 nb是首项为 1，公比为 12 的等比数列，所以11()2nnb=（2）数列nnab+的前 n

21、项和1212nnnTaaabbb=+11()(231)21212nnn+=+21312()22nnn+=+19（12 分）如图，在四面体 ABCD 中，AD 平面 BCD，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点Q 在线段 AC 上，且3AQQC=（1）求证：/PQ平面 BCD；（2）若4DADBDC=，90BDC=，求 AC 与平面 BQM 所成角的余弦值 【答案】（1）见解析；（2）417【详解】（1）证明：过 P 作/PSMD，交 BD 于 S，过Q 作/QRMD，交CD 于 R，连接 RS，/PSMD，P 是 BM 的中点，学科网（北京）股份有限公司S是 BD 的中点，且12PS

22、MD=，/QRMD，3AQQC=，M 是 AD 的中点，1142QRADMD=，/QRPS，且QRPS=，四边形 PQRS 为平行四边形，/PQSR，PQ/平面 BCD，SR 平面 BCD，/PQ平面 BCD （2）以 D 为坐标原点，DB，DC，DA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A，0，4)，(4B，0，0)，(0C，4，0)，(2P，0，1)，(0Q，3，1)，则(4BM=，0，2)，(0MQ=，3，1)，(0AC=，4，4)，设平面 BQM 的一个法向量为(nx=，y，)z，则42030n BMxzn MQyz=+=，取2y=，得(3n=，2，6)，

23、设 AC 与平面 BQM 所成角为，则|2 7sin7|AC nACn=，则 AC 与平面 BQM 所成角的余弦值为：22 741cos1()77=20（12 分）记直线:l ykx=为曲线22:1(1,0)4yE xxy=的渐近线若1(1,0)A，过1A 作 x 轴的垂线交l 于点1B，过1B 作 y 轴的垂线交 E 于点2A，再过2A 作 x 轴的垂线交l 于点2B 依此规律下去，得到点列1A，2A，nA 和点列1B，2B，nB，n 为正整数记nB 的横坐标为na，|nnOAb=（1）求数列 nb的通项公式；（2）证明：221(8)(252)(2)nkkkbannn n=+【答案】（1）5

24、4nbn=；（2）见解析【详解】（1）由直线:l ykx=为曲线22:1(1,0)4yE xxy=的渐近线，可得直线l 的方程为2yx=，可得1(1,0)A，1(1,2)B，2(2A，2)，2(2B，2 2)，3(3A，2 2)，3(3B，2 3)，学科网（北京）股份有限公司4(2A，2 3)，4(2,4)B，则11a=，22a=，33a=，424a=，nan=；11b=，26b=，311b=，416b=，54nbn=；（2）证明：运用数学归纳法证明 2(8)(54)kkbakk+=+，当2n=时，原不等式的左边914 2=+，右边20 2=，由96 2+，当1nk=时，2914 2.(54)

25、(59)1(252)(59)1kkkkkkkkk+，要证原不等式成立，即证22(252)(59)12(1)5(1)21kkkkkkkk+，上式化为22(252)(24)1kkkkkk+，即为(21)(2)2(2)1kkkk kk+，即为(21)21kkk k+，两边平方可得32324444kkkkk+，该不等式显然成立，所以1nk=+时，原不等式也成立 所以221(8)(252)(2)nkkkbannn n=+21（12 分）已知圆22:4xy+=上的动点 M 在 x 轴上的投影为 N，点C 满足22CNMN=（1）求动点C 的轨迹方程C；（2）过点(1,0)P的直线l 与 C 交于 A，B

26、两个不同点，求 OAB面积的最大值【答案】（1）22142xy+=；（2）62 【详解】（1）设(,)C x y，动点(,)M m n，由22CNMN=，可得 mx=，2ny=，(,)M m n在圆22:4xy+=上，224mn+=，2224xy+=，动点C 的轨迹方程为22142xy+=；（2）由题意，设直线l 的方程为 1，1(A x，1)y，2(B x，2)y，由22124xmyxy=+=，消去 x 得，即22(2)230mymy+=，所以12222myym+=+，12232y ym=+，学科网（北京）股份有限公司所以2222221212222232 46|1()41()4()1222m

27、mABmyyy ymmmmm+=+=+=+，而 O 到 AB 的距离2|1|1dm=+，所以222222112 46|1|46|122221AOBmmSAB dmmmm+=+=+，设2466mt+=，则221(6)4mt=，所以211112(6)442AOBtSttt=+，142tt+在 6，)+上单调递增，所以 AOB面积的最大值为62，此时0m=22（12 分）如图，焦点为 F 的抛物线22(0)ypx p=过点(1Q，)(0)m m，且|2QF=（1）求 p 的值；（2）过点 Q 作两条直线 1l，2l 分别交抛物线于1(A x，1)y，2(B x，2)y两点，直线 1l，2l 分别交

28、x 轴于 C，D 两点，若QCDQDC=，证明：12yy+为定值 【答案】（1）2p=；（2）见解析【详解】（1）抛物线的准线方程为2px=，由抛物线的定义得|122pQF=+=，得2p=；（2）由（1）可知，抛物线的方程为24yx=，将点Q 的坐标代入抛物线的方程得24 14m=，0m，得2m=，所以，点Q 的坐标为(1,2)QCDQDC=，所以，直线 AQ 和 BQ 的斜率互为相反数 学科网（北京）股份有限公司则12122211AQBQyykkxx+=+121222221212224(2)4(2)441144yyyyyyyy=+=+1244022yy=+=+所以12220yy+=，因此124yy+=（定值）