【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-勾股定理和弦图-0星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-直线型几何-勾股定理和弦图-0星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率勾股定理和弦图B1.能够理解勾股定理的概念2.熟练应用勾股定理和弦图来解决相关的几何问题少考知识提要勾股定理和弦图 勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2 + AC2 = BC2 勾股图与弦图 (a+b)2-4ab2=a2+2ab+b2-2ab=c2，所以 c2=a2+b2 (a-b)2+4ab2=a2-2ab+b2+2ab=c2，所以 c2=a2+b2 精选例题勾股定理和弦图 1. 下图中有三个直角三角形请问 x= 厘米【答案】15【分析】、 两个直角三角形完全一样，所以 、 两直角三

2、角形的两直角边分别为 9 cm和 12 cm，由勾股定理得，x2=92+122=152，所以 x=15(厘米) 2. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是 【答案】C【分析】A：242+152202；B：202+152242；D：24 和 20 写反了；C：242+72=252，152+202=252 3. 如下图所示，已知长方形长是宽的 2 倍，对角线的长是 9，则长方形的面积是 【答案】32.4【分析】可以根据勾股定理进行分析：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方因为长方形的长是宽的 2 倍，设长方形的宽为 a，那么长用 2

3、a 来表示，长方形的面积可以用 2aa 来表示根据勾股定理，2a2a+aa=99，得出 aa=815，那么长方形的面积等于 8152=1625=32.4 4. 下图所示，长方形 ABCD 的长 BC=10 厘米，宽 AB=6 厘米在 BC 上取点 M，在 AD 上取点 N，使得四边形 BMDN 是一个菱形则菱形 BMDN 的面积是 【答案】40.8【分析】因为 BMDN 是一个菱形，可设 BM=MD=ND=BN=x，则 AN=10-x在 直角三角形 ABN 中，由勾股定理得 62+(10-x)2=x2，即 136=20x，解得 x=6.8菱形 BMDN 的面积 =6.86=40.8平方厘米 5

4、. 如下图所示，长方体的三条棱长分别为 3、4、12，对角线 AC= 【答案】13【分析】如下图所示，根据勾股定理，边长为 3 和 4 的长方形的对角线长为 5，这条对角线和长为 12 的边垂直，在直角三角形 ABC 中，AC2=52+122，所以 AC 长为 13 6. 如 图所示，一个五边形有四条边的长度已经标出，其中有三个 角是直角，则五边形的面积是 【答案】58【分析】详解：如图所示，作 EF2=EB2-BF2=AB2+AE2-BF2=25+25-1=49，所以 EF=7，五边形面积等于三角形 ABE 面积加上梯形 BEDC 面积，即 552+6727=58 7. 在下图中，将一个每边

5、长均为 12 厘米的正八边形的 8 个顶点间隔地连线，可以连出两个正方形图中阴影部分的面积是 平方厘米【答案】288【分析】如下左图，记 AD=a，由对称性知，DB=a，BC=a取 E 为 DC 中点，连接 BE，将 ABC 分成直角三角形 ABE 和等腰直角三角形 BEC四个 BEC 可以拼成一个边长 a 的正方形记 BE=b，则 CE=b，DE=b由 AE=a+b，BE=b 知：由 4 个 ABE 和一个以 a 为边长的正方形可拼成一个以 AB 为边长的正方形（如下右弦图）题中阴影可看做 8 个 ABE 再加上 8 个 BEC 的面积和，4 个 ABE 与 4 个 BEC 拼成边长为 12

6、 的正方形，因此本题答案为 1222=288 平方厘米 8. 如图，校园内有两棵树，相距 12 米，一棵树高 13 米，另一棵树高 8 米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米【答案】13【分析】由勾股定理，122+13-82=169=132，至少飞了 13 米 9. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 m路，却踩伤了花草【答案】5【分析】依题意，这条路和长方形花圃的两条边恰好形成一个直角三角形，由勾股定理可以计算出，这条路的长度为 5m少走了 3+4-5=2(km)10. 如下图所示的三角形 ABC 的三条边

7、 AB、BC、AC 中，最长的是 【答案】BC【分析】根据勾股定理：AB2=22+42=20，AC2=12+52=26，BC2=32+52=34显然 BC 最长11. 如图，分别以一个面积为 169 的正方形的四条边为底，做 4 个面积为 101.4 平方厘米的等腰三角形图中阴影部分的面积是 平方厘米【答案】49【分析】169=132, 可见大正方形的边长为 13；等腰三角形的高为101.4213=15.6,则若设等腰三角形的腰为 x，如下图所示，根据勾股定理：x2=6.52+15.62则x=16.9;则图中AB=101.4216.9=12再根据勾股定理：AC2+122=132AC=5;从弦图

8、的角度看原图，易知中间正方形的边长为 12-5=7, 则其面积为72=4912. 如下图所示，一个边长为 10 厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计），AO 距离为 8 厘米，那么点 C 距离地面的高度是 厘米【答案】14【分析】如下图，由勾股定理得，直角三角形的短边为 6 厘米，所 以高为 6+8=14(厘米)13. 华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科请小朋友求解九章算术中的一个古代问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐问葛长几何？”白话译文：如下图所示，有圆柱形木棍直立地面，高 20 尺，圆柱底面周长 3 尺葛藤生于圆柱底部 A 点，等距缠绕圆柱七周恰好长

9、到圆柱上底面的 B 点则葛藤的长度是 尺【答案】29【分析】从 A 点将葛藤剪断，顶点处 B 不动，将缠绕的葛藤解开拉直，如下图所示，A 点变为地面上的 C 点则葛藤长为直角三角形 BAC 的斜边 BC由 AB=20，AC=37=21 得：BC2=202+212=292所以 BC=29(尺)14. 如下图所示，两个正方形 ABCD 和 DEFG 的边长都是整数厘米，点 E 在线段 CD 上，且 CEb），将边长为 a 的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形【答案】见解析【分析】拼成大正方形的面积应是 aa+bb，设边长 c，则有等式 cc=aa+bb，又因

10、为将边长为 a 的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线 MN 为大正方形边长，如图（1），一定有 MNMN=aa+bb，而 MH=a，则：NH=b，所以 AN=CM=BH=(a-b)2，由此可以确定 MN，然后将 MN 绕中心 O 旋转 90 到 EF 位置，即可把正方形切成符合要求的 4 块如图（2）与图（3）这种分法同时确保图（3）的中间部分就是边长为 b 的小正方形这是因为：中心四边形的角即边长为 a 的正方形的四个角，A，B，C，D，又因为各边长度相等因此中心四边形是正方形中心正方形的边长 =a-(a-b)2-(a-b)2=a-(a-b)=b因此，中间部分是边

11、长为 b 的正方形72. 如图，直角三角形如果以 BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 16，以 AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 12，那么如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？【答案】9.6【分析】设 BC=a，AC=b 那么以 BC 边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为 ab23，以 AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 a2b3，由此可得到两条等式：$left begingatheredab2 = 48hfill a2b = 36hfill endgathered right.$，两条等式相除得到 ba=43，将这条比例式再代入原

12、来的方程中就能得到 $leftbegingathereda = 3 hfillb = 4 hfillendgathered right.$，根据勾股定理，直角三角形的斜边 AB 的长度为 5，那么斜边上的高为 2.4如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为 2.4，高的和为 5，所以体积是 2.4253=9.673. 如图，某会展中心在会展期间准备将高 5 m，长 13 m，宽 2 m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？【答案】612 元【分析】地毯在水平部分的长度总和为 12 米，总共需

13、要12+5218=612(元).74. 分别别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S1，S2，S3 表示，则它们之间的关系是 【答案】S3+S2=S1【分析】根据圆的面积公式，圆的面积与其直径的平方成正比，而在直角三角形 ABC 中，由勾股定理，有AC2+CB2=AB2,因此这三个圆的面积也同样满足上述关系，即 S3+S2=S175. 三角形 ABC 中，线段 ARBQ 分别是 BC、AC 边上的中线，且 BQ 与 AR 互相垂直如图所示，已知 AC=8、BC=6请问 AB2+BC2+CA2 等于多少？【答案】120【分析】如右图所示，连接 RQ，AR 与 BQ 交于

14、 O 点，设 AO=c，BO=a，OR=d，OQ=b，因为 c2+b2=AQ2=14AC2=16，a2+d2=BR2=14BC2=9，又因为 a2+c2=AB2，b2+d2=QR2=14AB2，所以 54AB2=a2+b2+c2+d2=16+9=25所以 AB2=20所以 AB2+AC2+BC2=20+64+36=12076. 如图所示，一张边长为 18 厘米的正方形纸片，从距离四角 5 厘米处，用剪刀剪出 45 的角度，纸片中间会形成一个小正方形这个小正方形的面积是多少平方厘米？【答案】50【分析】如下图所示添加辅助线根据题目中的角度可以推出，图中新产生的小三角形为等腰直角三角形，它的斜边的

15、平方=52+52=50=图中小正方形边长的平方，因此小正方形的面积为 50 平方厘米77. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米早晨 8:00 甲先出发，他以 6 千米/时的速度向东行走，1 小时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进，上午 10:00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？【答案】13 千米；能保持联系【分析】如图，甲从上午 8:00 到上午 10:00 一共走了 2 小时，走了62=12(千米),即 AB=12（千米），乙从上午 9:00 到上午 10:00 一共走了 1 小时，走了

16、 5 千米，即 AC=5（千米）在直角三角形 ABC 中，AB2=122+52=169,所以 AB=13（千米），因此，上午 10:00 时，甲、乙两人相距 13 千米由于 1513，所以甲、乙两人还能保持联系78. 如下图所示，在以 AB 为直径的半圆上取一点 C，分别以 AC 和 BC 为直径在 ABC 外作半圆 AEC 和 BFC当 C 点在什么位置时，图中两个弯月型（即阴影部分）AEC 和 BFC 的面积和最大【答案】当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分面积最大【分析】因为 ACB=90，由勾股定理及圆的面积公式可知两个小半圆的面积之和等于大半圆的面积，所以月牙面积等于 ABC 的面积

17、，当 C 在弧 AB 中点时，ABC 中 AB 边上的高最大，从而 ABC 的面积最大，所以当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分面积最大79. 如下图所示，长方形 ABCD，AB=24，BC=18，把 AB 边对折到 AC 上与 AC 重合，把 AD 边也对折到 AC 上与 AC 重合，请问得到的新图形的面积是多少？【答案】255【分析】如上图所示，把 AB 对折到 AC 上与 AC 重合，把 AD 对折到 AC 上与 AC 重合，得 到四边形 AECF，由勾股定理，AC=30，设 BE=EG=x，SABC=SBAE+SAEC，所以 24182=24x2+30x2，那么 x=8，设 FH=DF

18、=y，SADC=SADF+SAFC，所以 24182=18y2+30y2，那么 y=9，S四边形AECF=SAEC+SAFC=30(8+9)2=25580. 如图所示，在长方形 ABCD 中，AB=30 厘米，BC=40 厘米，P 为 BC 上一点，PQ 垂直于 AC，PR 垂直于 BD求 PQ 与 PR 的长度之和【答案】24 厘米【分析】利用勾股定理可得 AC=50 厘米，所以 OB=OC=25 厘米而长方形 ABCD 的面积等于 3040=1200 平方厘米，所以 BOC 的面积等于141200=300如图，连结 OP，观察 OPB 与 OPC，它们分别以 OB 和 OC 为底，是一对等

19、底三角形，而对应的高就是 PR 和 PQ，因此面积和就等于(OBPR+OCPQ)2=25(PR+PQ)2=12.5(PR+PQ),而这个面积和就是 BOC 的面积，等于 300 平方厘米，所以12.5(PR+PQ)=300由此可得PR+PQ=30012.5=24(厘米).81. 如图，以 AD 为直径的半圆 O 内接一个等腰梯形 ABCD，梯形的上底是 60，下底是 100，以梯形上底和腰为直径向外作半圆，形成的阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14）【答案】2258【分析】由已知可得，阴影部分的面积为梯形面积加以 AB、BC、CD 为直径的半圆面积减去以 AD 为直径的半圆面积，作 OE 垂

20、直于 BC，根据勾股定理可得梯形的高 OE 为 40，则 AB2=BF2+AF2=402+202=2000，阴影部分的面积为：12AD+BCOE+12AB22+12CD22+12BC22-12AO22=2258.82. 求下图正方形的面积，并写出思考过程【答案】242 平方厘米【分析】如下图所示，延长 BD 与正方形的下边的延长线交于点 C，因为图中的 45，我们可知，三角形 ACD 为等腰直角三角形，即 AD=CD=14(厘米)，所以 BC=14+8=22(厘米)，又 C=45，则 BC 的长度等于正方形对角线的长度设正方形的边长为 a，根据勾股定理，那么 2a2=222，所以正方形的面积为

21、 a2=2222=242(平方厘米)83. 有一个直角三角形 PQR，直角在 Q 点，以其三边为直径作三个半圆矩形 STUV 的各边与半圆相切且平行于 PQ 或 QR，如下图所示如果 PQ=6 厘米，QR=8 厘米，则 STUV 的面积是多少平方厘米？【答案】144【分析】由勾股定理得大半圆的直径为 10 厘米，则三个半圆的半径分别为 3 厘米，4 厘米，5 厘米可知：SV=3+4+5=12(厘米)，ST=5+3+4=12(厘米)面积为 1212=144(平方厘米)84. 在下图中，线段 AB 是圆 C 的直径，在线段 AB 上作两个半圆 APC 及 CQB圆 PQR 分别与这三个半圆都相切若

22、 AB=28 厘米，试求圆 PQR 的半径的长度【答案】143【分析】如下图所示，设小圆半径为 x 厘米，则 (14-x)2+72=(x+7)2，x=14385. 如图，求阴影部分的面积【答案】24【分析】阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上两个直径分别为 6 和 8 的半圆面积减去直径为 10 的半圆的面积，1268+12622+12822-121022=24.注：这就是著名的希波克拉底模型，结合了勾股定理的运用86. 请只用直尺和铅笔在下图网格（每格边长为 1）中画出一个面积为 13 的正方形【答案】见解析【分析】由于 13=22+32，利用勾股定理，即可以得到下图正方形 ABCD 面积

23、为 1387. 如图，平面上 CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底 AD=23 厘米，下底 BC=35 厘米求三角形 ADE 的面积【答案】69【分析】如下图，作等腰梯形的两个高 AH1 和 DH2，CH2=BC-AD2=35-232=6.易知，将 H2DC 旋转 90 到 HDE 的位置则 A，D，H 三点在一条直线上EHAH，EH=H2C=6 是 ADE 的底边 AD 上的高所以，三角形 ADE 的面积为6232=69.88. 如图所示，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的线段与小圆相切，其长度为 10 厘米求阴影部分的面积（ 取 3.14）【答案】78.5 平方厘米【分析

24、】如图所示，从圆心连结其中一个端点，长度为大圆半径，再从圆心向线段作垂线，长度为小圆半径，图中的三角形为直角三角形，由勾股定理可得R2-r2=52=25,所以图中阴影部分面积为R2-r2=R2-r2=25=78.5(平方厘米).89. 如下图所示，分别以直角三角形的三个边为直径作半圆，这三个半圆交出两个月牙形的区域（即阴影部分），求这两个月牙形面积之和【答案】30【分析】因为 ABC=90，由勾股定理 AC2=AB2+BC2，又 S大半圆=14AC2，S中半圆=14BC2，S小半圆=14AB2，所以 S大半圆=S中半圆+S小半圆，那么S月牙=S中半圆+S小半圆+SABC-S大半圆=SABC=1

25、2512=30.90. 如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形【答案】见解析【分析】实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的 2 倍，设十字形面积是 5 个平方单位，长方形的长为 x 长度单位，宽为 x2 长度单位，那么有 xx2=5,x2=10，即 x2=32+12，由勾股定理可知：所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是 3 和 1 的斜边它恰是两个对角顶点的连线剪拼方法如下图所示，甲拼在甲位置，乙拼在乙位置，就可得符合题意的图形【总结】假若沿第二条线把另一片

26、也剪成两片，那么共剪成的 4 片是 4 个全等多边形，这时两条直线都经过十字形的中心，并且互相垂直剪开的这 4 个图形其中一个绕中心旋转 90 也和另一个重合由此我们便得到一个重要结论：对于一个正方形来讲，如果从中心沿 3604=90 角的两边切开，得到整个图形的 14，这个 14 的图形若绕中心旋转 90 一定和另外的 14 的图形重合对于一个正三角形来讲，如果从中心沿 3603=120 角的两边切开，得到整个图形的 13，这个 13 的图形若绕中心旋转 120 一定也和另外的 13 的图形重合一般情况：对于一个正 n 边形，如果从它的中心沿 360n 的角的两边剪开，得到整个图形的 1n，

27、这个 1n 的图形若绕中心旋转 360n 角，一定也和另一个 1n 图形重合91. 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为 0.5 米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为 5 平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？ 【答案】1.25 平方米【分析】我们先按题目中的条件画出示意图（如图 a），我们先看图中剩下的长方形，已知它的面积为 5 平方米，它的长和宽相差 0.5 米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图（如图 b）图 b 是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，即 0.5 米所以中间的小正方形的面积为0.50.5=0.2

28、5平方米那么大正方形的面积为54+0.25=20.25平方米因为4.54.5=20.25所以大正方形的边长等于 4.5 米所以原题中剩下的长方形的长与宽的和为 4.5 米，而长与宽的差为 0.5 米，所以剩下的长方形的长为：(4.5+0.5)2=2.5米即原正方形的边长为 2.5 米又知锯下的长方形玻璃条的宽为 0.5 米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为2.50.5=1.25平方米92. 从一个正方形的木板上锯下宽 1m 的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为 6m2，问锯下的长方形木条面积是多少？ 【答案】6m2【分析】我们用构造“弦图”的方法，取同样大小的 4 个剩下的长方形木板拼成一个大正方形（如右下图），同时中间形成了一个小正方形（图中阴影部分）仔细观察这幅图就会发现，中间阴影小正方形的边长正好是长方形木板的长与宽之差（1m）那么，阴影小正方形的面积11=1(m2)所以，整个大正方形的面积是1+46=25=55(m2)求得大正方形的边长为 5m那么，剩下的长方形木条的长 - 宽 =1，长 + 宽 =5，可得剩下的长方形木条的长为(5+1)2=3(m)宽为(5-1)2=2(m)所以，锯下的长方形木条面积是32=6(m2)