【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-勾股定理和弦图-2星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-直线型几何-勾股定理和弦图-2星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率勾股定理和弦图B1.能够理解勾股定理的概念2.熟练应用勾股定理和弦图来解决相关的几何问题少考知识提要勾股定理和弦图 勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2 + AC2 = BC2 勾股图与弦图 (a+b)2-4ab2=a2+2ab+b2-2ab=c2，所以 c2=a2+b2 (a-b)2+4ab2=a2-2ab+b2+2ab=c2，所以 c2=a2+b2 精选例题勾股定理和弦图 1. 如下图所示的三角形 ABC 的三条边 AB、BC、AC 中，最长的是 【答案】BC【分析】根据勾股定理：

2、AB2=22+42=20，AC2=12+52=26，BC2=32+52=34显然 BC 最长 2. 如图，AEAB 且 AEAB，BCCD 且 BCCD，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为 【答案】40.5【分析】由弦图知：AF=2,AG=6,CG=3,CH=2,则FH=2+6+3+2=13,梯形 EFHD 的面积为(6+3)132=58.5,原图形面积为58.5-(26+23)=40.5. 3. 如下图所示，加油站 A 和商店 B 在马路的 MN 同一侧，A 到 MN 的距离为 5 米，B 到 MN 的距离为 3 米，DC=6 米行人 P 在马路 MN 上行走问：当 P

3、到 A 的距离和 P 到 B 的距离之和最小时，这个和最小等于 米【答案】10【分析】如下图所示，关于直线 MN 作 B 的对称点 B，那么可知 PB=PB，所以 PA+PB=PA+PB，那么当 A、B、P 共线时，距离之和最小，因为 CD=6，DA+CB=5+3=8，那么根据勾股定理可得此时距离和为 10 米 4. 有一个直角边为 1 和 1 的直角三角形，以它的斜边和 1 为直角边，向外作另一个直角三角形重复以上操作，如下图求第 1023 个直角三角形的斜边长度是 第 个直角三角形的斜边长度是 17【答案】32；288【分析】第 n 个直角三角形的斜边长度的平方为 n+1，1023+1=1

4、024=322，172=289=1+288 5. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 m路，却踩伤了花草【答案】5【分析】依题意，这条路和长方形花圃的两条边恰好形成一个直角三角形，由勾股定理可以计算出，这条路的长度为 5m少走了 3+4-5=2(km) 6. 如下图所示，已知长方形长是宽的 2 倍，对角线的长是 9，则长方形的面积是 【答案】32.4【分析】可以根据勾股定理进行分析：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方因为长方形的长是宽的 2 倍，设长方形的宽为 a，那么长用 2a 来表示，长方形的面积可以用 2aa 来表示

5、根据勾股定理，2a2a+aa=99，得出 aa=815，那么长方形的面积等于 8152=1625=32.4 7. 如下图所示，两个正方形 ABCD 和 DEFG 的边长都是整数厘米，点 E 在线段 CD 上，且 CEDE，线段 CF=5 厘米，则五边形 ABCFG 的面积等于 平方厘米【答案】71【分析】CF=5 厘米，又 CE 和 EF 都是整数，根据勾股定理可知 CE=3，EF=4，CD=7，所 以五边形 ABCFG 的面积为：42+72+1243=71(平方厘米) 8. 下图所示，长方形 ABCD 的长 BC=10 厘米，宽 AB=6 厘米在 BC 上取点 M，在 AD 上取点 N，使得

6、四边形 BMDN 是一个菱形则菱形 BMDN 的面积是 【答案】40.8【分析】因为 BMDN 是一个菱形，可设 BM=MD=ND=BN=x，则 AN=10-x在 直角三角形 ABN 中，由勾股定理得 62+(10-x)2=x2，即 136=20x，解得 x=6.8菱形 BMDN 的面积 =6.86=40.8平方厘米 9. 华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科请小朋友求解九章算术中的一个古代问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐问葛长几何？”白话译文：如下图所示，有圆柱形木棍直立地面，高 20 尺，圆柱底面周长 3 尺葛藤生于圆柱底部 A 点，等距缠绕圆柱七周恰好长到

7、圆柱上底面的 B 点则葛藤的长度是 尺【答案】29【分析】从 A 点将葛藤剪断，顶点处 B 不动，将缠绕的葛藤解开拉直，如下图所示，A 点变为地面上的 C 点则葛藤长为直角三角形 BAC 的斜边 BC由 AB=20，AC=37=21 得：BC2=202+212=292所以 BC=29(尺)10. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是 【答案】C【分析】A：242+152202；B：202+152242；D：24 和 20 写反了；C：242+72=252，152+202=25211. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 AB 上有

8、一点 D，已知 CD=5，BD-AD=2，那么三角形 ABC 的面积是 【答案】24【分析】等腰直角三角形，面积等于斜边高的平方过 C 点做斜边 AB 的垂线，交 AB 于点 E，由于 BD-AD=2，得到 DE=1根据勾股定理，CE2=CD2-DE2=52-12=24.所以 SABC=24.12. 如图，分别以一个面积为 169 的正方形的四条边为底，做 4 个面积为 101.4 平方厘米的等腰三角形图中阴影部分的面积是 平方厘米【答案】49【分析】169=132, 可见大正方形的边长为 13；等腰三角形的高为101.4213=15.6,则若设等腰三角形的腰为 x，如下图所示，根据勾股定理：

9、x2=6.52+15.62则x=16.9;则图中AB=101.4216.9=12再根据勾股定理：AC2+122=132AC=5;从弦图的角度看原图，易知中间正方形的边长为 12-5=7, 则其面积为72=4913. 甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了 4 km，乙往南走了 3 km，此时甲、乙两人相距 km【答案】2【分析】依题意，甲、乙的最终位置和他们的出发点形成一个直角三角形，这个三角形的直角边分别为 3 km 和 4 km，因此由勾股定理，这时候甲、乙两人相距 5 km14. 下图中有三个直角三角形请问 x= 厘米【答案】15【分析】、 两个直角三角形完全一样，所以 、 两直角

10、三角形的两直角边分别为 9 cm和 12 cm，由勾股定理得，x2=92+122=152，所以 x=15(厘米)15. 如下图所示，长方体的三条棱长分别为 3、4、12，对角线 AC= 【答案】13【分析】如下图所示，根据勾股定理，边长为 3 和 4 的长方形的对角线长为 5，这条对角线和长为 12 的边垂直，在直角三角形 ABC 中，AC2=52+122，所以 AC 长为 1316. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7 cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为 cm【答案】49【分析】将左上的小正方形的面积计为 S1，将右上的小正方形的

11、面积计为 S2，由勾股定理，有 SA+SB=S1，SC+SD=S2，S1+S2=72=4917. 如下图所示的等腰梯形上底长度等于 3，下底长度等于 9，高等于 4这个等腰梯形的周长等于 【答案】22【分析】两边的直角三角形的较短直角边为 (9-3)2=3，腰长的平方为 32+42=52，所 以周长为 3+5+9+5=2218. 如下图所示，一个 14 圆中有一个正方形，阴影正方形的面积是 16，那么图中的扇形面积是 （ 取 3）【答案】30【分析】给图中标上字母，如下图所示，由于阴影正方形的面积为 16，则边长为 4，OC=CH=ED=2,OD=2+4=6，根据勾股定理，可知扇形的半径满足：

12、r2=22+62=40.所以图中扇形的面积为：1440=30.19. 如图，校园内有两棵树，相距 12 米，一棵树高 13 米，另一棵树高 8 米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米【答案】13【分析】由勾股定理，122+13-82=169=132，至少飞了 13 米20. 如下图是一张长方形折叠起来后形成的图形，其中长方形的长 BC 为 18 厘米，宽 AB 为 12 厘米，则 DF 的长为 厘米【答案】13【分析】设 AF=x，(18-x)2=122+x2，算出 x=5，DF=13 厘米也可以直接考虑常用勾股数为 5、12、1321. 如下图，今年的冰雪灾害中，一棵

13、大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4 米处，那么这棵树折断之前的高度是 米【答案】8 米【分析】由勾股定理，折断处以上的长度是 5 米，总长度为 3+5=8（米）22. 如下图所示，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于 1680 平方厘米阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个圆的面积等于 平方厘米【答案】105【分析】如下图所示，设小圆半径为 r，大圆半径为 R，则 (R-r)2+R2=(R+r)2，R=4r，所以大圆面积是小圆的 16 倍，所以小圆面积为 168016=105(平方厘米)23. 任何一个直角三角形都有这

14、样的性质：以两个直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积这就是著名的勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理勾股定理有着悠悠 4000 年的历史，出现了数百个不同的证明，魏晋时期的中国古代数学家刘徽给出了如下左图所示的简洁而美妙的证明方法，如下右图则是以这个方法为基础设计的刘徽模式勾股拼图板：如果上图中两个正方形的边长分别为 3 与 4，那么，三角形 ACE 的面积 = （用分数表示），三角形 BCD 的面积 = （用分数表示）【答案】278，38【分析】由图可知，两个正方形的边长为 3 与 4，所以三角形的两个直角边分别为 3 与 4，所以BD=4-3=1,如图连接 BE、A

15、D：AEBD，所以SCBE=SCAD,SABD=SEBD,又因为SABE=SABD=AE:BD=3:1,所以SABE:SEBD=3:1;而SABE:SEBD=AC:CB=3:1,所以AC=333+1=94,CB=313+1=34,综上可知SACE=9432=278,SBCD=3412=38.24. 如 图所示，一个五边形有四条边的长度已经标出，其中有三个 角是直角，则五边形的面积是 【答案】58【分析】详解：如图所示，作 EF2=EB2-BF2=AB2+AE2-BF2=25+25-1=49，所以 EF=7，五边形面积等于三角形 ABE 面积加上梯形 BEDC 面积，即 552+6727=582

16、5. 如下图所示，正方形 ABCD 的边长是 5 厘米，点 E、F 分别是 AB 和 BC 的中点，DF 交于点 G，则四边形的面积等于 平方厘米【答案】5【分析】如下图所示，分别找到 AD、DC 的中点连线，利用割补法，原正方形面积变换成 5 个小正方形面积之和，每个小正方形面积是 555=5(平方厘米)，而阴影部分面积等于 1 个小正方形面积，所以也是 5 平方厘米26. 如图，梯形 ABCD 中，ABDC，ADC+BCD=90，且 DC=2AB，分别以 DA、AB、BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是 【答案】S1+S3=S2【分

17、析】做 AEBC，交 DC 于 E，则四边形 AECB 是平行四边形，AE=BC,CE=AB,DE=DC-CE=2AB-AB=AB,因为ADC+BCD=90,所以ADE+AED=90,DAE=180-ADC+BCD=180-90=90,在直角三角形 DAE 中，由勾股定理，AD2+AE2=DE2,所以AD2+BC2=AB2,即S1+S3=S2.27. 如下图所示，一个边长为 10 厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计），AO 距离为 8 厘米，那么点 C 距离地面的高度是 厘米【答案】14【分析】如下图，由勾股定理得，直角三角形的短边为 6 厘米，所 以高为 6+8=14(厘米)28.

18、边长为 a+b 的正方形纸片有以下两种剪裁方法，按照“等量减等量差相等”的原则，阴影部分所表示的三个小正形的面积之间的关系可以用 a，b，c 表示为 【答案】c2=a2+b2【分析】两个正方形一样，空白部分都是 2ab，阴影部分一样29. 下图是一张边长为 5 厘米的方格纸，借助没有刻度的直尺，一共能在这张方格纸上画 种不同大小的正方形（正方形的面积必须是整平方厘米数），它们的面积分别是 平方厘米【答案】11；1，4，9，16，25，2，5，10，17，8，13【分析】根据勾股定理，可以找到的正方形的面积如下：02+12=1，02+22=4，02+32=9，02+42=16，02+52=25，

19、12+12=2，12+22=5，12+32=10，12+42=17，22+22=8，22+32=1330. 如下图所示，沿直线将一个长方形剪掉一个角后形成一个五边形，已知这个五边形 5 条边的长分别是 5 厘米、9 厘米、13 厘米、14 厘米、17 厘米（未必是按顺序的）这个五边形的面积是 平方厘米【答案】208 或 215【分析】长方形的长肯定是 17 厘米，又知截下的一角为直角三角形，直角三角形的三条边 满足勾股定理，所以五边形各边的长度只有以下两种情况，如下图所示，左图中，五边形的面积为 1714-5122=208平方厘米，下图中，五边形的面积为 1713-432=215平方厘米31.

20、 勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”，是一个有着悠悠 4000 多年历史的重要几何定理它揭示了这样一个事实：对任何一个直角三角形而言，以它的两条直角边的长度为边长的正方形的面积之和，等于以斜边的长度为边长的正方形的面积关于勾股定理，人们发现了 400 多种证明，甚至连美国总统也曾加入到证明者的队伍中在众多证明方法中，我国古代数学家刘徽给出的证明简单直观，耐人寻味（如下图所示）这个证明实际上给出了一个通过有限次直线切割，将两个正方形拼补为一个更大的正方形的方法设两个小正方形的边长分别为 3 和 4，按照刘徽的方法，这两个小正方形被切割成 5 部分，请分别计算出这 5 部分的面积，并按从小到大的顺序

21、写在下面： 【答案】38，278，458，6，778【分析】分割成的 5 部分从小到大分别是 1、2、3、4、5，如下图：1 的面积：由题中可得到 BD=1，AB=AF=3，AD=4，所以BD:AD=BE:AF即1:4=BE:3得到BE=34所以S1=1342=382 的面积：S2=3(3-34)2=2783 的面积：S3=342-38=4584 的面积：S4=4(4-1)2=65 的面积：S5=44-38-6=77832. 如下图所示，梯形 ABCD 中上底 AB 的长度是 10 厘米，梯形的高 BE 的长度是 12 厘米，且 E 是 CD 中点，BF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分

22、那么，BF 的长度是 厘米【答案】13【分析】见上图，取 AB 中点 G，连接 GE，因为 E 是 CD 中点，所以 GE 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，又因为 BF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，所以三角形 BOG 和三角形 EOF 的面积相等，所以 EF=BG=5 厘米，由勾股定理，BF2=122+52=169，所以 BF=13 厘米33. 任何一个直角三角形都有这样的性质：以两个直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积这就是著名的勾股定理，在西方又被称为毕达哥拉斯定理勾股定理有着悠悠 4000 年的历史，出现了数百个不同的证明，魏晋时期的中国古代数

23、学家刘徽给出发如下图所示的简洁而美妙的证明方法，如下图则是以这具方法为基础设计的刘徽模式勾股拼图板：刘徽模式勾股拼图板的 5 个组块还可以拼成一个如图所示的梯形，如果其中的直角三角形直角边分别为 3 厘米与 4 厘米，那么，这个梯形的上下底分别为 厘米与 厘米 【答案】54；354【分析】根据题意，不难得出下图：根据三角形 ABF 与三角形 BFG 相似，可以得出BG=34AB=154,即得出上底=CG=5-154=54;下底=AD+BG=5+154=354.34. 正方形 A 的边长是 10，若正方形 B，C 的边长都是自然数，且 B，C 的面积和等于 A 的面积，则 B 和 C 的边长的和

24、是 【答案】14【分析】B，C 的面积和等于 A 的面积，即 B，C 的面积和是1010=100,则 b2+c2=100, 且 b，c 皆为自然数，一试便知为 6 和 8，B 和 C 的边长的和是6+8=14.35. 如图，大正方形的面积是 400 平方厘米，则圆环面积是 平方厘米（ 取 3.14）【答案】157【分析】如图所示，由大正方形的面积为 400 平方厘米知 AB=20(厘米)取圆心 O，AB 中点 M，连接 OM 交小正方形于点 E，连接 OB 交大圆于点 F于是MB=OM=OF=10(厘米),易知 OEF 为等腰直角三角形，所以2OE2=OF2=100(平方厘米),于是OE2=5

25、0(平方厘米),所以圆环的面积为OM2-OE2=102-50=50157(平方厘米).36. 如图所示，是正方形 内部最大的正十二边形，正方形与正十二边形的边长差为，那么正十二边形的面积是 【答案】54【分析】连接OQ，ON，QNQON=60，OQ=QN，所以 QON为正三角形由勾股定理得OQ=ON2=QN2=DQ2+DN2=2(62)2=18另一方面，正十二边形面积为1212rr2=3r2所以阴影部分面积为3ON2=318=5437. 如图所示，在边长为 15 厘米的正方形纸片从各顶点起 4 厘米处，沿着 45 角下剪，中间形成一 个小正方形这个小正方形的面积为 （平方厘米）【答案】32【分

26、析】（解法一）如图，延长小正方形的一边 AB，与大正方形的一边交于 C 点，连接 CDCED 为直角边长为 4cm 的等腰直角三角形，CD2=CE2+DE2=42+42=32(cm2)而 CD 等于小正方形的边长，所以阴影正方形的面积为 32cm2（解法二）如图所示，在大正方形中有四个相同的图形，我们可以把它们缺的一角补上（左图），此时得到了四个相同的等腰直角三角形，且这个等腰直角三角形的斜边为 15cm，然后把这四个等腰直角三角形拼成一个正方形（右图），这个正方形的边长刚好为 15cm，恰好与原来的大正方形的边长一样这说明补上的四个角，也就是直角边为 4 的四个等腰直角三角形的面积之和恰好等

27、于中间阴影正方形的面积每个小等腰直角三角形的面积是442=8(cm2).所以阴影正方形的面积为84=32(cm2).38. 已知：ABC 中，AB13，AC15，BC 边上的高 AD12，求 ABC 的面积【答案】84 或 24【分析】需要分两种情况讨论，当高 AD 在三角形 ABC 内部的时候，如左图，此时由勾股定理，BC=BD+DC=5+9=14，当高 AD 在三角形 ABC 外部的时候，如右图，此时由勾股定理，BC=CD-CB=9-5=4，再通过三角形的面积公式，ABC 的面积为 84 或 2439. 科技小组演示自制的机器人若机器人从点A向南行走 1.2 米，再向东行走 1 米，接着又

28、向南行走 1.8 米，再向东行走 2 米最后又向南行走 1 米到达 B 点则 A 点与 B 点的距离是多少米？【答案】5 米【分析】往南一共走了1.2+1.8+1=4(米),一共向东走了2+1=3(米),由勾股定理，AB2=32+42=25=52,所以AB=5(米).40. 计算右图中 BE 的长度【答案】13【分析】如下图所示，过 B 点作 DE 的垂线，垂足为 G则 BGE 为直角三角形且 AB+BG=EF，则 7+BG=19，BG=12又 CB=DG=3，且 DG+GE=DE=8，3+GE=8，GE=5再根 据勾股定理：BE2=BG2+GE2=132所以 BE=1341. 根据图中所给的

29、条件，求梯形 ABCD 的面积【答案】144【分析】作 DFBC 于 F，则 DF=AE=12，在直角三角形 ABE 中，BE2=AB2-AE2=152=122=81=92,BC=BE+EC=9+10=19,在直角三角形 DFC 中，FC2=DC2-DF2=132-122=25=52,所以 FC=5，AD=CF=CE-FC=10-5=5，SABCD=12AD+BCAE=125+1912=144.42. 如图，小明在广场上先向东走 10 米，又向南走 40 米，再向西走 20 米，又向南走 40 米，再向东走 70 米求小明到达的终止点与原出发点的距离【答案】100 米【分析】小明往南一共走了4

30、0+40=80(米),往东一共走了70+10-20=60(米),由勾股定理，802+602=10000=1002,距离为 100 米43. 如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积【答案】60【分析】如图，做 EFAD 于 F，在直角三角形 AED 中，AD2=AE2+DE2=82+62=100=102,所以 AD=10，由三角形面积公式，SAED=12AEED=12EFAD,所以EF=AEEDAD=6810=245,SABCD=12(AD+BC)EF=1210+15245=60.44. 如下图所示，P 是正方形 ABCD 外面一点，PB=12 厘米，APB 的面积是 90 平方厘米，CPB

31、 的面积是 48 平方厘米，请你回答：正方形 ABCD 的面积是多少平方厘米？【答案】289 平方厘米【分析】如下图所示，自 A、C 分别作 PB 的垂线，交延长线于 E、F则由 APB 的面积为 90 平方厘米，可得：PBAE2=90，求 得 AE=15 厘米由 CPB 面积为 48 平方厘米，可得 PBCF2=48，求得 CF=8 厘米，根据弦图，BE=CF=8 厘米，由勾股定理得 AB2=AE2+BE2=152+82=289(平方厘米)45. 如图，两个长方形大小相同，长、宽分别是 12 和 8，求阴影部分的面积是多少？【答案】略【分析】如图，连接 AC，DC=8-7=1；根据勾股定理：

32、AC2=AD2+DC2=AB2+BC2,所以BC2=122+12-82=81,BC=9,则四边形 ABCD 的面积是12121+1289=42,阴影部分的面积是128-42=54.46. 如下图所示，ABCD 为一个长方形，问阴影长方形的面积是多少？【答案】18【分析】阴影部分加上两边的小直角三角形，组成一个平行四边形，由勾股定理可知平行四边形的较长边的长为 10，所以阴影长方形的宽为 6510=3，再根据勾股定理可知小直角三角形的较长直角边长为 4，所以阴影长方形的长为 10-4=6，所以阴影长方形的面积为 63=1847. 有一大一小的两个正方形（如下图），对应边之间的距离都是 1 厘米，

33、如果夹在两个正方形之间部分的面积为 12 平方厘米，那么大正方形的面积是多少？【答案】49【分析】填加辅助线构成弦图的形状，可以知道图中每个长方形的面积为124=3(平方厘米),又这个长方形的宽就是原图中的边之间的距离 1 厘米，所以长方形的宽为 3 厘米，因此大正方形的边长为1+3=4(厘米),所以大正方形的面积是44=16(平方厘米).48. 如下图所示，在直线 l 上的一侧摆放着七个正方形，已知斜放着的3个正方形的面积分别为 1、3 和 3.5，试确定 S1+S2+S3+S4 的值【答案】4.5【分析】由勾股定理，可知 S1+S2=1，S3+S4=3.5，所以 S1+S2+S3+S4=4

34、.549. 如图所示，把长方形 ABCD 的一个角折起来，使得 D 点恰好与 AB 重合于 F已知 F 点是 AB 边上最靠近 A 的五等分点，且 AF=1请问：三角形 EDC 的面积等于多少？【答案】416【分析】由题目条件可知，AB=5，CF=CD=5，在直角 BCF 中，BF=4，由勾股定理可得 BC=3设 ED=x，则 EF=x，AE=3-x，在 AEF 中，由勾股定理得 12+(3-x)2=x2，解得 x=53，所以 EDC 的面积为 12535=41650. 如图，某会展中心在会展期间准备将高 5 m，长 13 m，宽 2 m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米 18 元，请你帮助计算

35、一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？【答案】612 元【分析】地毯在水平部分的长度总和为 12 米，总共需要12+5218=612(元).51. 如下图所示，如果长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米那么四边形 MNPQ 的面积是多少平方厘米？【答案】32.5 平方厘米【分析】连线如下图所示，可知四边形内外两部分面积之差为 中间的小长方形的面积，差为 (5-2)(6-3)=9(平方厘米)，所以四边形 MNPQ 面积为 (56+9)2=32.5(平方厘米)52. 如图，已知四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积【答案】36【分析

36、】连接 AC，在直角三角形 ABC 中，AC2=AB2+BC2=32+42=52,所以 AC=5在三角形 ACD 中，由于AC2+CD2=25+122=169,而AB2=132=169,AC2+CD2=AB2,所以 ACD=90所以SABCD=SABC+SACD=12ABBC+12ACCD=1234+12512=36.53. 下图中的两个滑块 A、B 由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动开始时，滑块 A 距 O 点 20 厘米，滑块 B 距 O 点 15 厘米问：当滑块 A 向下滑到 O 点时，滑块 B 滑动了多少厘米？【答案】10 厘米【分析】由 AB2=AO2+OB2=202+

37、152=252，可知连杆的长度等于 25 厘米当滑块 A 向下滑到 O 点时，滑块 B 距 O 点的距离是 25 厘米，故滑块 B 滑动了 25-15=10(厘米)54. 分别别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S1，S2，S3 表示，则它们之间的关系是 【答案】S3+S2=S1【分析】根据圆的面积公式，圆的面积与其直径的平方成正比，而在直角三角形 ABC 中，由勾股定理，有AC2+CB2=AB2,因此这三个圆的面积也同样满足上述关系，即 S3+S2=S155. 从一个正方形木板锯下宽为 12 米的一个木条以后，剩下的面积是 6518 平方米，问据下的木条面积是多少

38、平方米？【答案】1112 平方米【分析】剩下长方形长宽之差为 12 米，面积为 6518 平方米，将四块这样的长方形，拼成下图的大正方形，中心空一个小正方形这个小正方形的边长是 12 米大正方形的面积是：65184+122=26018+14=52936(平方米)因为 236236=52936，所以大正方形的边长是 236 米大正方形的边长比原正方形的 2 倍少 12 米，所以，原正方形的边长是 236+122=2662=136(米)锯下的木条面积是 13612=1112(平方米)56. 一个零件的形状如图所示，已知 AC=3，AB=4，BD=12求 CD 的长【答案】13【分析】在直角三角形

39、ABC 中，根据勾股定理，得 BC2=AC2+AB2=32+42=25，在直角三角形 CBD 中，根据勾股定理，得 CD2=BC2+BD2=25+122=169，所以 CD=1357. 如图所示，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的线段与小圆相切，其长度为 10 厘米求阴影部分的面积（ 取 3.14）【答案】78.5 平方厘米【分析】如图所示，从圆心连结其中一个端点，长度为大圆半径，再从圆心向线段作垂线，长度为小圆半径，图中的三角形为直角三角形，由勾股定理可得R2-r2=52=25,所以图中阴影部分面积为R2-r2=R2-r2=25=78.5(平方厘米).58. 图中有三个大小不同的正方形，

40、其中大正方形的周长比小正方形的周长大 8，大正方形的面积比中正方形的面积大 12，大正方形的面积是多少？【答案】49【分析】小正方形的边长是两直角边之差，大正方形的边长是两直角边之和，大正方形的周长与小正方形的周长的差是较短直角边长度的 8 倍，所以较短的直角边的边长为88=1.大正方形比中正方形多出 4 个直角三角形，每个直角三角形的面积为124=3,则较长的直角边的长度为321=6,所以大正方形的边长为 6+1=7，大正方形的面积为77=49.59. 在下图中，线段 AB 是圆 C 的直径，在线段 AB 上作两个半圆 APC 及 CQB圆 PQR 分别与这三个半圆都相切若 AB=28 厘米

41、，试求圆 PQR 的半径的长度【答案】143【分析】如下图所示，设小圆半径为 x 厘米，则 (14-x)2+72=(x+7)2，x=14360. 求下面各三角形中未知边的长度【答案】13；3；8【分析】c2=122+52=169，c=13；a2=52-42=9,a=3；b2=262-242-62=64,a=861. 如图是一个直角三角形，沿三角形的斜边旋转一周得到的立体图形的体积是多少？（ 取 3）【答案】28.8【分析】斜边上的高为345=125,所以V=13(125)25=1445=28.862. 任意一个边长超过 10 厘米的正方形纸，从四角的 5 厘米处，用剪刀剪出 45 的角度，中间

42、便会形成一个小正方形（见下图）这个小正方形的面积是多少平方厘米？【答案】50 平方厘米【分析】如下图所示，连接小正方形的对角线，易知右上角三角形面积为小正方形面积的 14，可求得小正方形面积为：5524=50(平方厘米)63. 请画一个面积是 5 平方厘米的正方形【答案】【分析】5=12+2264. 如图，求阴影部分的面积【答案】24【分析】阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上两个直径分别为 6 和 8 的半圆面积减去直径为 10 的半圆的面积，1268+12622+12822-121022=24.注：这就是著名的希波克拉底模型，结合了勾股定理的运用65. 有一个直角三角形 PQR，直角在

43、Q 点，以其三边为直径作三个半圆矩形 STUV 的各边与半圆相切且平行于 PQ 或 QR，如下图所示如果 PQ=6 厘米，QR=8 厘米，则 STUV 的面积是多少平方厘米？【答案】144【分析】由勾股定理得大半圆的直径为 10 厘米，则三个半圆的半径分别为 3 厘米，4 厘米，5 厘米可知：SV=3+4+5=12(厘米)，ST=5+3+4=12(厘米)面积为 1212=144(平方厘米)66. 从一个正方形的木板上锯下宽 0.5 米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为 5 平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？【答案】1.25 平方米【分析】我们可以将四个剩下的长方形这样的木板拼成

44、一个如上图的“弦图”，从图中可以看出，中间的小正方形的边长就是剩下的长方形的长和宽的差 0.5 米，所以这个小正方形面积是0.50.5=0.25(平方米),大正方形的面积是54+0.25=20.25(平方米).所以大正方形的边长是 4.5 米也就是剩下的长方形的长和宽的和是 4.5 米，这样就可以分别求出剩下长方形的长为 2.5 米，宽为 2 米，所以锯下的木条的面积是0.52.5=1.25(平方米).67. 请只用直尺和铅笔在下图网格（每格边长为 1）中画出一个面积为 13 的正方形【答案】见解析【分析】由于 13=22+32，利用勾股定理，即可以得到下图正方形 ABCD 面积为 1368.

45、 如下图所示，分别以直角三角形的三个边为直径作半圆，这三个半圆交出两个月牙形的区域（即阴影部分），求这两个月牙形面积之和【答案】30【分析】因为 ABC=90，由勾股定理 AC2=AB2+BC2，又 S大半圆=14AC2，S中半圆=14BC2，S小半圆=14AB2，所以 S大半圆=S中半圆+S小半圆，那么S月牙=S中半圆+S小半圆+SABC-S大半圆=SABC=12512=30.69. 如图所示，一张边长为 18 厘米的正方形纸片，从距离四角 5 厘米处，用剪刀剪出 45 的角度，纸片中间会形成一个小正方形这个小正方形的面积是多少平方厘米？【答案】50【分析】如下图所示添加辅助线根据题目中的角

46、度可以推出，图中新产生的小三角形为等腰直角三角形，它的斜边的平方=52+52=50=图中小正方形边长的平方，因此小正方形的面积为 50 平方厘米70. 小强用八个相同的直角三角形，其直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，拼砌成两个中空但大小不相同的正方形已知砌得的大正方形的中空部分刚巧能容纳所砌的小正方形，且大小正方形的中空部分的面积相差是 y 平方厘米，求 y 的值【答案】24【分析】本题考査考生对弦图的认识拼成的大小正方形分别如下左图和右图：所以面积差为 4 个直角三角形的面积：y=3424=2471. 如图，直角三角形如果以 BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 16，以 AC

47、 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 12，那么如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？【答案】9.6【分析】设 BC=a，AC=b 那么以 BC 边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为 ab23，以 AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 a2b3，由此可得到两条等式：$left begingatheredab2 = 48hfill a2b = 36hfill endgathered right.$，两条等式相除得到 ba=43，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到 $leftbegingathereda = 3 hfillb = 4 hfillendgat

48、hered right.$，根据勾股定理，直角三角形的斜边 AB 的长度为 5，那么斜边上的高为 2.4如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为 2.4，高的和为 5，所以体积是 2.4253=9.672. 如图所示，在长方形 ABCD 中，AB=30 厘米，BC=40 厘米，P 为 BC 上一点，PQ 垂直于 AC，PR 垂直于 BD求 PQ 与 PR 的长度之和【答案】24 厘米【分析】利用勾股定理可得 AC=50 厘米，所以 OB=OC=25 厘米而长方形 ABCD 的面积等于 3040=1200 平方厘米，所以 BOC 的面积等于141

49、200=300如图，连结 OP，观察 OPB 与 OPC，它们分别以 OB 和 OC 为底，是一对等底三角形，而对应的高就是 PR 和 PQ，因此面积和就等于(OBPR+OCPQ)2=25(PR+PQ)2=12.5(PR+PQ),而这个面积和就是 BOC 的面积，等于 300 平方厘米，所以12.5(PR+PQ)=300由此可得PR+PQ=30012.5=24(厘米).73. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米早晨 8:00 甲先出发，他以 6 千米/时的速度向东行走，1 小时后乙出发，他以 5 千米/

50、时的速度向北行进，上午 10:00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？【答案】13 千米；能保持联系【分析】如图，甲从上午 8:00 到上午 10:00 一共走了 2 小时，走了62=12(千米),即 AB=12（千米），乙从上午 9:00 到上午 10:00 一共走了 1 小时，走了 5 千米，即 AC=5（千米）在直角三角形 ABC 中，AB2=122+52=169,所以 AB=13（千米），因此，上午 10:00 时，甲、乙两人相距 13 千米由于 1513，所以甲、乙两人还能保持联系74. 求下图正方形的面积，并写出思考过程【答案】242 平方厘米【分析】如下图所示，延长 BD 与正

51、方形的下边的延长线交于点 C，因为图中的 45，我们可知，三角形 ACD 为等腰直角三角形，即 AD=CD=14(厘米)，所以 BC=14+8=22(厘米)，又 C=45，则 BC 的长度等于正方形对角线的长度设正方形的边长为 a，根据勾股定理，那么 2a2=222，所以正方形的面积为 a2=2222=242(平方厘米)75. 如图，平面上 CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底 AD=23 厘米，下底 BC=35 厘米求三角形 ADE 的面积【答案】69【分析】如下图，作等腰梯形的两个高 AH1 和 DH2，CH2=BC-AD2=35-232=6.易知，将 H2DC 旋转 90

52、到 HDE 的位置则 A，D，H 三点在一条直线上EHAH，EH=H2C=6 是 ADE 的底边 AD 上的高所以，三角形 ADE 的面积为6232=69.76. 如下图所示，在以 AB 为直径的半圆上取一点 C，分别以 AC 和 BC 为直径在 ABC 外作半圆 AEC 和 BFC当 C 点在什么位置时，图中两个弯月型（即阴影部分）AEC 和 BFC 的面积和最大【答案】当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分面积最大【分析】因为 ACB=90，由勾股定理及圆的面积公式可知两个小半圆的面积之和等于大半圆的面积，所以月牙面积等于 ABC 的面积，当 C 在弧 AB 中点时，ABC 中 AB 边上的高最大，从而 ABC 的面积最大，所以当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分面积最大