【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-勾股定理和弦图-4星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-直线型几何-勾股定理和弦图-4星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率勾股定理和弦图B1.能够理解勾股定理的概念2.熟练应用勾股定理和弦图来解决相关的几何问题少考知识提要勾股定理和弦图 勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2 + AC2 = BC2 勾股图与弦图 (a+b)2-4ab2=a2+2ab+b2-2ab=c2，所以 c2=a2+b2 (a-b)2+4ab2=a2-2ab+b2+2ab=c2，所以 c2=a2+b2 精选例题勾股定理和弦图 1. 在下图中，将一个每边长均为 12 厘米的正八边形的 8 个顶点间隔地连线，可以连出两个正方形图中阴影部分

2、的面积是 平方厘米【答案】288【分析】如下左图，记 AD=a，由对称性知，DB=a，BC=a取 E 为 DC 中点，连接 BE，将 ABC 分成直角三角形 ABE 和等腰直角三角形 BEC四个 BEC 可以拼成一个边长 a 的正方形记 BE=b，则 CE=b，DE=b由 AE=a+b，BE=b 知：由 4 个 ABE 和一个以 a 为边长的正方形可拼成一个以 AB 为边长的正方形（如下右弦图）题中阴影可看做 8 个 ABE 再加上 8 个 BEC 的面积和，4 个 ABE 与 4 个 BEC 拼成边长为 12 的正方形，因此本题答案为 1222=288 平方厘米 2. 如下图所示，两个正方形

3、 ABCD 和 DEFG 的边长都是整数厘米，点 E 在线段 CD 上，且 CEb），将边长为 a 的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形【答案】见解析【分析】拼成大正方形的面积应是 aa+bb，设边长 c，则有等式 cc=aa+bb，又因为将边长为 a 的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线 MN 为大正方形边长，如图（1），一定有 MNMN=aa+bb，而 MH=a，则：NH=b，所以 AN=CM=BH=(a-b)2，由此可以确定 MN，然后将 MN 绕中心 O 旋转 90 到 EF 位置，即可把正方形切成符合要求的 4 块如

4、图（2）与图（3）这种分法同时确保图（3）的中间部分就是边长为 b 的小正方形这是因为：中心四边形的角即边长为 a 的正方形的四个角，A，B，C，D，又因为各边长度相等因此中心四边形是正方形中心正方形的边长 =a-(a-b)2-(a-b)2=a-(a-b)=b因此，中间部分是边长为 b 的正方形59. 如下图所示，在以 AB 为直径的半圆上取一点 C，分别以 AC 和 BC 为直径在 ABC 外作半圆 AEC 和 BFC当 C 点在什么位置时，图中两个弯月型（即阴影部分）AEC 和 BFC 的面积和最大【答案】当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分面积最大【分析】因为 ACB=90，由勾股定理及圆的面积公式可知两个小半圆的面积之和等于大半圆的面积，所以月牙面积等于 ABC 的面积，当 C 在弧 AB 中点时，ABC 中 AB 边上的高最大，从而 ABC 的面积最大，所以当 C 在弧 AB 中点时，阴影部分面积最大