【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-勾股定理和弦图-5星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-直线型几何-勾股定理和弦图-5星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率勾股定理和弦图B1.能够理解勾股定理的概念2.熟练应用勾股定理和弦图来解决相关的几何问题少考知识提要勾股定理和弦图 勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2 + AC2 = BC2 勾股图与弦图 (a+b)2-4ab2=a2+2ab+b2-2ab=c2，所以 c2=a2+b2 (a-b)2+4ab2=a2-2ab+b2+2ab=c2，所以 c2=a2+b2 精选例题勾股定理和弦图 1. 如下图所示，长方形 ABCD 中被嵌入了 6 个相同的正方形已知 AB=22 厘米BC=20 厘米，那么

2、每一个正方形的面积为 平方厘米【答案】40【分析】如下图所示，对每个正方形作弦图，设小直角三角形的长直角边为 x 厘米，短直角边为 y 厘米，则 3x+y=203x+2y=22，所以 x=6y=2，小正方形面积为 62+22=40(平方厘米) 2. 在下图中，将一个每边长均为 12 厘米的正八边形的 8 个顶点间隔地连线，可以连出两个正方形图中阴影部分的面积是 平方厘米【答案】288【分析】如下左图，记 AD=a，由对称性知，DB=a，BC=a取 E 为 DC 中点，连接 BE，将 ABC 分成直角三角形 ABE 和等腰直角三角形 BEC四个 BEC 可以拼成一个边长 a 的正方形记 BE=b

3、，则 CE=b，DE=b由 AE=a+b，BE=b 知：由 4 个 ABE 和一个以 a 为边长的正方形可拼成一个以 AB 为边长的正方形（如下右弦图）题中阴影可看做 8 个 ABE 再加上 8 个 BEC 的面积和，4 个 ABE 与 4 个 BEC 拼成边长为 12 的正方形，因此本题答案为 1222=288 平方厘米 3. 如下图所示，一块边长为 180 厘米的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为 40 厘米的小正方形现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来剪出的正方形面积最大为 平方厘米【答案】18000【分析】如右图所示，铁片分为中间的正方形和四个长方形两部分，中 间部分的面积

4、为 1002=10000平方厘米，四个长方形每个的面积为 40100=4000平方厘米，剪出的最大正方形为中间的正方形加上四个长方形的一半，面积为 10000+400024=18000平方厘米 4. 平面上的五个点 A，B，C，D，E 满足：AB=16 厘米，BC=8 厘米，AD=10 厘米，DE=2 厘米，AC=24 厘米，AE=12 厘米如果三角形 EAB 的面积为 96 平方厘米，则点 A 到 CD 的距离等于 厘米【答案】12013【分析】得三角形 CAD 是直角三角形，CD=26 厘米，点 A 到 CD 的距离为 102426=12013 厘米 5. 如图，在正方形 ABCD 中，E

5、、F 分别在 BC 与 CD 上，且 CE=2BE，CF=2DF，连接 BF、DE，相交于点 G，过 G 作 MN、PQ 得到两个正方形 MGQA 和 PCNG，设正方形 MGQA 的面积为 S1，正方形 PCNG 的面积为 S2，则 S1:S2= 【答案】9:4【分析】连接 BD、EF设正方形 ABCD 边长为 3，则CE=CF=2,BE=DF=1,所以，EF2=22+22=8,BD2=32+32=18.因为EF2BD2=818=144=122,所以EFBD=12.由梯形蝴蝶定理，得SGEF:SGBD:SDGF:SnBGE=EF2:BD2:EFBD:EFBD=8:18:12:12=4:9:6

6、:6,所以，SBGE=64+9+6+6S梯形BDFE=625S梯形BDFE.因为SBCD=332=92,SCEF=222=2,所以S梯形BDFE=SBCD-SCEF=52,所以，SBGE=62552=35.由于 BGE 底边 BE 上的高即为正方形 PCNG 的边长，所以CN=3521=65,ND=3-65=95,所以AM:CN=DN:CN=3:2,则S1:S2=AM2:CN2=9:4. 6. 将矩形 ABCD 分成四个全等的矩形，如下图所示若 AE=29 厘米 AF=41 厘米，请问 AC 的长度是多少厘米？【答案】71 厘米【分析】设 AD=a，DE=EF=b，所以 a2+b2=292，a

7、2+(2b)2=412，由此得 b2=280于是 AC2=a2+(4b)2=(a2+b2)+15b2=292+15280=5041=712所以 AC=71 厘米 7. 如下图所示，长方形 ABCD，AB=24，BC=18，把 AB 边对折到 AC 上与 AC 重合，把 AD 边也对折到 AC 上与 AC 重合，请问得到的新图形的面积是多少？【答案】255【分析】如上图所示，把 AB 对折到 AC 上与 AC 重合，把 AD 对折到 AC 上与 AC 重合，得 到四边形 AECF，由勾股定理，AC=30，设 BE=EG=x，SABC=SBAE+SAEC，所以 24182=24x2+30x2，那么

8、 x=8，设 FH=DF=y，SADC=SADF+SAFC，所以 24182=18y2+30y2，那么 y=9，S四边形AECF=SAEC+SAFC=30(8+9)2=255 8. 三角形 ABC 中，线段 ARBQ 分别是 BC、AC 边上的中线，且 BQ 与 AR 互相垂直如图所示，已知 AC=8、BC=6请问 AB2+BC2+CA2 等于多少？【答案】120【分析】如右图所示，连接 RQ，AR 与 BQ 交于 O 点，设 AO=c，BO=a，OR=d，OQ=b，因为 c2+b2=AQ2=14AC2=16，a2+d2=BR2=14BC2=9，又因为 a2+c2=AB2，b2+d2=QR2=

9、14AB2，所以 54AB2=a2+b2+c2+d2=16+9=25所以 AB2=20所以 AB2+AC2+BC2=20+64+36=120 9. 如下图所示，点 E 是正方形 ABCD 的 CD 边上的一点，以 BE 为一条直角边作等腰直角三角形 BEF，斜边 BF 交 AD 于 G，已知 AG=5 厘米，GD=15 厘米求三角形 BEF 的面积【答案】272 平方厘米【分析】如下图作辅助线，由于 AG=5，而 AB=20，令 SF=a，而 SB=4a而 MN=20+20-a=4a解之得 a=8，则 FN=12，MN=32，NE=20，则阴影部分面积为：(122+202)2=272(平方厘米

10、)10. 下图是由边长为 3 厘米和 4 厘米的两个正方形组成请按尺寸在发给你的彩纸上画上这一图形，再将它剪成 3 块，拼成一个大的正方形，并求这个大正方形的边长是多少？【答案】5 厘米【分析】本题考査考生对弦图的认识面积和 =32+42=52，所以拼成大正方形边长为 5边长 5 厘米拼法如下图所示11. 如下图所示，对角线 BD 将矩形 ABCD 分割为两个三角形，AE 和 CF 分別是两个三角形上的高，长度都等于 6 厘米，EF 的长度为 5 厘米，求矩形 ABCD 的面积【答案】78【分析】如下图所示，将 AE 平移到 AF，因为 AE 是三角形 ABD 的高，所以 AEBD，AFBD，

11、AAFE 是矩形，并且 A、F、C 在同一条直线上面，再根据 AAAF，运用勾股定理可以得到 AC2=AA2+AC2，其中 AA=EF=5 厘米，AC=AE+FC=12 厘米，由此根据勾股定理可求得矩形 ABCD 的对角线 AC 的长度为 13 厘米，由于 BD 也是矩形 ABCD 的对角线，所以 BD 的长度也为 13 厘米，那么矩形 ABCD 的面积为三角形 ABD 和三角形 BCD 的面积之和，为 13622=78(平方厘米)12. 如下图两个正方形的边长分别是 a 和 b（ab），将边长为 a 的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形【答案】见解析【

12、分析】拼成大正方形的面积应是 aa+bb，设边长 c，则有等式 cc=aa+bb，又因为将边长为 a 的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线 MN 为大正方形边长，如图（1），一定有 MNMN=aa+bb，而 MH=a，则：NH=b，所以 AN=CM=BH=(a-b)2，由此可以确定 MN，然后将 MN 绕中心 O 旋转 90 到 EF 位置，即可把正方形切成符合要求的 4 块如图（2）与图（3）这种分法同时确保图（3）的中间部分就是边长为 b 的小正方形这是因为：中心四边形的角即边长为 a 的正方形的四个角，A，B，C，D，又因为各边长度相等因此中心四边形是正方形中

13、心正方形的边长 =a-(a-b)2-(a-b)2=a-(a-b)=b因此，中间部分是边长为 b 的正方形13. 如图，以 AD 为直径的半圆 O 内接一个等腰梯形 ABCD，梯形的上底是 60，下底是 100，以梯形上底和腰为直径向外作半圆，形成的阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14）【答案】2258【分析】由已知可得，阴影部分的面积为梯形面积加以 AB、BC、CD 为直径的半圆面积减去以 AD 为直径的半圆面积，作 OE 垂直于 BC，根据勾股定理可得梯形的高 OE 为 40，则 AB2=BF2+AF2=402+202=2000，阴影部分的面积为：12AD+BCOE+12AB22+12CD

14、22+12BC22-12AO22=2258.14. 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为 0.5 米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为 5 平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？ 【答案】1.25 平方米【分析】我们先按题目中的条件画出示意图（如图 a），我们先看图中剩下的长方形，已知它的面积为 5 平方米，它的长和宽相差 0.5 米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图（如图 b）图 b 是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，即 0.5 米所以中间的小正方形的面积为0.50.5=0.25平方米那么大正方形的面积为54

15、+0.25=20.25平方米因为4.54.5=20.25所以大正方形的边长等于 4.5 米所以原题中剩下的长方形的长与宽的和为 4.5 米，而长与宽的差为 0.5 米，所以剩下的长方形的长为：(4.5+0.5)2=2.5米即原正方形的边长为 2.5 米又知锯下的长方形玻璃条的宽为 0.5 米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为2.50.5=1.25平方米15. 如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形【答案】见解析【分析】实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的 2 倍

16、，设十字形面积是 5 个平方单位，长方形的长为 x 长度单位，宽为 x2 长度单位，那么有 xx2=5,x2=10，即 x2=32+12，由勾股定理可知：所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是 3 和 1 的斜边它恰是两个对角顶点的连线剪拼方法如下图所示，甲拼在甲位置，乙拼在乙位置，就可得符合题意的图形【总结】假若沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的 4 片是 4 个全等多边形，这时两条直线都经过十字形的中心，并且互相垂直剪开的这 4 个图形其中一个绕中心旋转 90 也和另一个重合由此我们便得到一个重要结论：对于一个正方形来讲，如果从中心沿 3604=90 角的两边切开，得到整个图

17、形的 14，这个 14 的图形若绕中心旋转 90 一定和另外的 14 的图形重合对于一个正三角形来讲，如果从中心沿 3603=120 角的两边切开，得到整个图形的 13，这个 13 的图形若绕中心旋转 120 一定也和另外的 13 的图形重合一般情况：对于一个正 n 边形，如果从它的中心沿 360n 的角的两边剪开，得到整个图形的 1n，这个 1n 的图形若绕中心旋转 360n 角，一定也和另一个 1n 图形重合16. 从一个正方形的木板上锯下宽 1m 的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为 6m2，问锯下的长方形木条面积是多少？ 【答案】6m2【分析】我们用构造“弦图”的方法，取同样大小的 4 个剩下的长方形木板拼成一个大正方形（如右下图），同时中间形成了一个小正方形（图中阴影部分）仔细观察这幅图就会发现，中间阴影小正方形的边长正好是长方形木板的长与宽之差（1m）那么，阴影小正方形的面积11=1(m2)所以，整个大正方形的面积是1+46=25=55(m2)求得大正方形的边长为 5m那么，剩下的长方形木条的长 - 宽 =1，长 + 宽 =5，可得剩下的长方形木条的长为(5+1)2=3(m)宽为(5-1)2=2(m)所以，锯下的长方形木条面积是32=6(m2)