【精品奥数】六年级下册数学思维训练讲义-第七讲 抽屉原理（二）人教版（含答案）.docx

1、第七讲 抽屉原理（二）第一部分：趣味数学月黑风高穿袜子有一个晚上你房间的电灯忽然坏了,伸手不见五指,这时朋友喊你出去,于是你就摸床底下的袜子。你有三双颜色分别为红、白、蓝的袜子,可是你平时比较懒,从来就是袜子脱完就乱丢,在黑暗中你不知道哪一双是颜色相同的。你想拿最少数目的袜子出去,在外面借街灯配成同颜色的一双。这最少数目应该是多少?【答案】只需拿出来四只袜子就行。第二部分：习题精讲在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式： 元素总数=商抽屉数+余数如果余数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是

2、0，则最小数=商。例题1：幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？把120个小朋友看做是120个抽屉，把玩具件数看做是元素。则364=1203+4，4120。根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把mxk（xk1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具。练习1：1、一个幼儿园大班有40个小朋友，班里有各种玩具125件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？2、把16枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于6

3、枝。这是为什么？3、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球？例题2： 布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第（2）条，要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。即24+1=9（个）球。列算式为 （31）4+1=9（个）练习2：1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球？2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样。当你被蒙上眼睛去

4、容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块？3、一副扑克牌共54张，其中113点各有4张，还有两张王的扑克牌。至少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同？例题3：某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同？参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种类型，只参加两个小组的有6个类型，只参加三个组的有4种类型，参加四个组的有1种类型。把4+6+4+1=15（种）类型看做15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉，因为46=315+

5、1，所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。练习3：1、某班有37个学生，他们都订阅了小主人报、少年文艺、小学生优秀作文三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同？2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。某班有52名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，问：在31个 搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？例题4：从1至30中，3的倍数有303=10个，不是3的倍数的数有3010=20个，至少要取出20+1=21个不同的数才能保证其中一定有一个数是3的倍数。

6、练习4：1、在1，2，3，49，50中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被5整除？2、从1至120中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数？3、从1至36中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是5的倍数？例题5：将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不能超过11张，试证明：找少有七名同学得到的卡片的张数相同。这题需要灵活运用抽屉原理。将分得1，2，3，11张可片看做11个抽屉，把同学人数看做元素，如果每个抽屉都有一个元素，则需1+2+3+10+11=66（张）卡片。而40066=64（张），即每个周体都有6个元素，还余下4张卡片没分掉

7、。而这4张卡片无论怎么分，都会使得某一个抽屉至少有7个元素，所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。练习5：1、把280个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过10个。证明：无论怎样分，至少有6只猴子得到的桃一样多。2、把61颗棋子放在若干个格子里，每个格子最多可以放5颗棋子。证明：至少有5个格子中的棋子数目相同。3、汽车8小时行了310千米，已知汽车第一小时行了25千米，最后一小时行了45千米。证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了80千米。第三部分：数学史批驳“算命”的谬论在我国古代文献中,有不少成功地运用抽屉原理来分析问题的例子。例如宋代费衮的梁溪漫志中,就曾运用抽屉原理来批驳“

8、算命”一类迷信活动的谬论。费衮指出:把一个人出生的年、月、日、时,也就是大家平时所说的“八字”作算命的根据,这是很荒谬的。把“八字”作为“抽屉”,我们以12年为例,不同的抽屉数有1236524=105120(个)。以天下之人为“物品”,进入同一抽屉的人必然千千万万,因而结论是同时出生的人为数众多。清代钱大昕的潜研堂文集、阮葵生的茶余客话、陈其元的庸闲斋笔记中都有类似的文字。然而,令人遗憾的是,我国学者虽然很早就会用抽屉原理来分析具体问题,但是在古代文献中并未发现关于抽屉原理的概括性文字,没有人将它抽象为一条普遍的原理,最后不得不将这一原理冠以数百年后西方学者狄利克雷的名字。在数学的学习中,抽象

9、概括能力还是很重要的。参考答案：练习1：1.把40名小朋友看做40个抽屉，将125件玩具放入这些抽屉，因为125340+5，根据抽屉原理，可知至少有一个抽屉有4件或4件以上的玩具，所以肯定有人会得到4件或4件以上的玩具。2.把三个笔盒看做3个抽屉，因为1653+1，根据抽屉原理可以至少有一个笔盒里的笔有6枝或6枝以上。3.把盒子数看成抽屉，要使其中一个抽屉里至少有7个球，那么球的个数至少应比抽屉个数的（71）倍多1，而254（71）+1，所以最多方子4个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有7个球。练习2：1.最少应取出（31）5+111个球2.至少取出（41）3+110块木块。3.如果没有两张王

10、牌，至少要取（41）13+140张，再加上两张王牌，至少要摸出40+242张，才能保证其中必有4张牌点数相同。练习3：1.至少有6位同学订的报刊相同。2.至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。3.至少有4人搬运的完全相同。练习4：1.在150中，5的倍数有50510个，不是5的倍数的就有501040个，至少要取出40+141个不同的数才能保证其中有个数能贝5整除。2.在1120中，4的倍数有120430个，不是4的倍数有1203090个，正是要取出90+191个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数。3.差是5的两数有下列5组：1、6，11、16，21、26，31、36；2、7，12

11、、17，22、27；3、8，13、18，23、28、33；4、9，14、19，24、29，34；5、10，15、20，25、30、35。要使取出的数中没有两个数的差是5的倍数，最多只能从每组中各取1个数，即最多可以取5个数。练习5：1. 每只猴子不超过10个，那么可能分得的桃子数量为：1，2，39，10。1+2+3+9+10=55如果最多有5只猴子分的桃子一样多，那么最多只能分555=275只桃子，现在有280只桃子。所以至少还有一只猴子分的桃子为15个，与前面的猴子分得数量相同，所以至少有6只猴子分的桃子一样多2. 如果每个抽屉有一个元素，则需1+2+3+4+5=15个，而61=154+1，可知肯定有某个抽屉至少有5个元素，所以至少有5个格子中的棋子数数目相同。3. 汽车在中间的6小时行了310-25-45=240千米,将2小时看做一个抽屉,则6小时看做3个抽屉,240=803,根据抽屉原理可知：一定存在连续的2小时,在这两小时内汽车至少行了80千米。