【考前叮咛】备战2023高考数学考前必备4（二级结论）.docx

1、备战2023高考数学考前必备4二级结论集合、常用逻辑用语、不等式1：子集的个数问题若一个集合含有（）个元素，则集合有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集.理解：的子集有个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则个元素共有种选择，该结论需要掌握并会灵活应用.对解决有关集合的个数问题，可以直接利用这些公式进行计算.计算时要分清这个集合的元素是从哪里来的，有哪些，即若可供选择的元素有个，就转化为求这个元素集合的子集问题.另外要注意子集真子集子集非空真子集之间的联系有区别.2：子集交集并集补集之间的关系（其中为全集）.（1）当时，显然成立；（2）当时，图如图所示，结论正确.这

2、个结论通过集合的交并补运算与集合的包含关系的转换解决问题.3. 均值不等式链（，当且仅当时取等号）4.两个经典超越不等式（1）对数形式：，当且仅当时，等号成立（2）指数形式：，当且仅当时，等号成立进一步可得到一组不等式链：（且）上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：，截取片段：，当且仅当时，等号成立；进而：，当且仅当时，等号成立函数及其性质1.奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)+f(-x)=0特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0D，则f(0)=02.函数周期性问题【结论阐述】已知函数f(x)是

3、定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)+f(-x)=0特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0D，则f(0)=0 已知定义在R上的函数f(x)，若对任意xR，总存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期除周期函数的定义外，还有一些常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f(x+a)=-f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a(2)如果f(x+a)=(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a0)，那么f(x)是周期函数，其

4、中的一个周期T=2a(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=6a3.不同底的指数函数图像变化规律当底数大于时，底数越大指数函数的图像越靠近轴；当底数大于且小于时，底数越小，指数函数的图像越靠近轴.即如图1所示的指数函数图像中，底数的大小关系为：，即图1中由轴右侧观察，图像从下至上，指数函数的底数依次增大.图14.不同底的对数函数图像变化规律当底数大于且小于时，底数越小，对数函数的图像越靠近轴；当底数大于时，底数越大，对数函数的图像越靠近轴.即如图2所示的对数函数图像中，底数的大小关系为：，即图2中，在轴上侧观察，图像从左向右，对数函数的

5、底数依次增大.图25.方程的根为，方程的根若函数是定义在非空数集上的单调函数，则存在反函数.特别地，与（且）互为反函数.在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图像关于对称，即与分别在函数与反函数的图像上.若方程的根为，方程的根为，则.三角函数与解三角形1.降幂扩角公式【结论阐述】2.升幂缩角公式【结论阐述】3.万能公式【结论阐述】；.3.正切恒等式若为斜三角形，则有（正切恒等式）4.射影定理在中，数列1.等差数列的性质设为等差数列的前项和，则有如下性质：项的性质在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为从第二项起每一项是它前一项与后一项的等差中项，也是与它等间距的两项

6、的等差中项：两和式项数相同，下标和相等，则两式和相等：即若，则；若则若为项数相同的等差数列，则仍为等差数列（为常数）等差数列的图像是直线上一列均匀分布的孤立点(当时，是的一次函数)和的性质也成等差数列，公差为当时，是的二次函数是等差数列为奇数时，；为偶数时，若为项数相同的等差数列，且前项和分别为与则（处理方法分别设）单调性在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为2.等比数列的性质设为等比数列的前项和，则有如下性质：项的性质在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比列，即为等比数列，公比为从第二项起每一项是它前一项与后一项的等比数列，也是与它等间距的两项的等比中项

7、.两积式项数相同，下标和相等，则两式积相等：即若则；若则若为项数相同的等比数列，则（其中为常数）为等差数列；（其中为常数）为等比数列.等比数列的图像是一列分布的孤立点(当时，是的指数型函数)，则成等比数列和的性质若是的等比数列，则数列也成等比数列（其中为常数）；且为偶数时，数列是常数列，它不是等比数列；在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，单调性时，数列是常数列，如数列；时，数列是摆动数列，如数列；时，数列是递减数列，如数列；时，数列是递增数列，如数列；时，数列是递增数列，如数列；时，数列是递减数列，如数列.平面向量1.极化恒等式（1）极化恒等式：；（2）极化恒等式平行四边形型：在平行

8、四边形中，即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的；（3）极化恒等式三角形模型：在中，为边中点，则；.说明：（1）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；（2）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.2.三角形“四心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，内角，所对的边分别为，则（1）为的外心.（如图1）（2）如图2，为的重心.（3）如图2，为的垂心.（4）如图3，为的内心.说明：三角形“四心”重心，垂心，内心，外心（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与

9、对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.3.奔驰定理奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作，则.说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：是的重心.是的内心.是的外心.是的垂心.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.立体几何1.三余弦定理与三正弦定理三余弦定理（又称最小角定理）：如图，是平面的一条斜线，是平面内的一条直线，平面于，于，则，即斜线与平面内一条直线夹角的余弦值等于斜线与平面所成角的余弦值乘以射影与平面内直线夹角的余弦值：；说明：为方便

10、记忆，我们约定为线线角，为线面角，为射影角，则由三余弦定理可得线面角是最小的线线角，即平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中的最小者.三正弦定理（又称最大角定理）：如图，设二面角的平面角为，平面，平面，设，则.说明：为方便记忆，我们约定为二面角，为线棱角，为线面角，则由三正弦定理可得二面角是最大的线面角，即对于一个锐二面角，在其中一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所成的线面角的最大值等于该二面角的平面角.2.多面体的外接球和内切球类型一球的内切问题（等体积法）例如：如图，在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：即：，可求出.类型二球的外接问题1.

11、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2.补形法（补长方体或正方体）墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，）3.单面定球心法（定+算）步骤：定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；过外心做（找）底面的垂线，如图中面，则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；计算求半径：在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.4.双面定球心法（两次单面定球心）如图：在三棱锥

12、中：选定底面，定外接圆圆心；选定面，定外接圆圆心；分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.解析几何1.焦点三角形的面积公式1.椭圆中焦点三角形面积公式在椭圆（）中，分别为左右焦点，为椭圆上一点，的面积记为，则：；，其中.2.双曲线中焦点三角形面积公式在双曲线（，）中，分别为左右焦点，为双曲线上一点，的面积记为，则：；.注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定理，基本不等式等综合应用.2.圆锥曲线的切线问题1.过圆：上一点的切线方程为.2.过椭圆上一点的切线方程为.3.已知点，抛物线：和直线：.（1）当点在抛物线上时，直线与抛

13、物线相切，其中为切点，为切线.（2）当点在抛物线外时，直线与抛物线相交，其中两交点与点的连线分别是抛物线的切线，即直线为切点弦所在的直线.（3）当点在抛物线内时，直线与抛物线相离.3.圆锥曲线的中点弦问题1.在椭圆：中（特别提醒此题结论适用焦点在轴上椭圆）：（1）如图所示，若直线与椭圆交于，两点，过，两点作椭圆的切线，有/，设其斜率为，则.（2）如图所示，若直线与椭圆交于，两点，为椭圆上异于，的点，若直线，的斜率存在，且分别为，则.（3）如图所示，若直线与椭圆交于，两点，为弦的中点，设直线的斜率为，则.2.在双曲线：中，类比上述结论有（特别提醒此题结论）：（1）；（2）；（3）.3.在抛物线：

14、中类比1（3）的结论有.4：圆锥曲线中的定值问题1在椭圆中：已知椭圆，定点（）在椭圆上，设，是椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，且满足则直线的斜率2在双曲线：中，定点（）在双曲线上，设，是双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，且满足则直线的斜率3在抛物线：，定点（）在抛物线上，设，是抛物线上的两个动点，直线，的斜率分别为，且满足则直线的斜率5.圆锥曲线中的定点问题若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合，则斜边所在直线过定点（1）对于椭圆（）上异于右顶点的两动点，以为直径的圆经过右顶点，则直线过定点同理，当以为直径的圆过左顶点时，直线过定点（2）对于双曲线上异于右顶点的两

15、动点，以为直径的圆经过右顶点，则直线过定点同理，对于左顶点，则定点为（3）对于抛物线上异于顶点的两动点，若，则弦所在直线过点同理，抛物线上异于顶点的两动点，若，则直线过定点6.圆锥曲线中的定直线问题1已知椭圆外一点，当过点的动直线与椭圆相交于不同的两点时，在线段上取一点，满足则点必在定直线上；2已知椭圆外一点，当过点的动直线与椭圆相交于不同的两点时，在线段上取一点，满足则点必在定直线上；3已知抛物线 ，定点不在抛物线上，过点的动直线交抛物线于两点，在直线上取点，满足则点在定直线上7.抛物线的焦点弦长公式不妨设抛物线方程为，如图1，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对

16、称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：8.抛物线中的三类直线与圆相切问题不妨设抛物线方程为，如图1，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则有如下结论（图2）：图1图2图3以为直径的圆与准线相切；以为直径的圆与轴相切；以为直径的圆与轴相切；分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切结合圆的几何性质易得有关直线垂直关系的结论，如图3有，以为直径的圆的圆心在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即；以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相

17、垂直，即；以为直径的圆必过原点，即；排列组合及二项式定理1：排列组合中的分组与分配“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组，使用分步组合法；“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有个组的元素是均匀的，都有种顺序不同的分法只能算一种分法；对于非均匀编号分组采用分步先组合后排列法，部分均匀编号分组采用分组法；平均分堆问题倍缩法采用缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法）；有序分配问题逐分法采用分步法）；全员分配问题采用先组后排法；名额分配问题采用隔板法（或元素相同分配问题隔板法、无差别物品分配问题隔板法）

18、；限制条件分配问题采用分类法2、三项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：（1）通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法求解；（2）将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形；（3）也可以按照推导二项式定理的方法解决问题二、几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可3.二项式系数和的性质若，则设，有：；.【应用场景】函数及其性质1.条件概率计算条件概率有两种方法（1）定义法：利用定义；（

19、2）压缩事件空间法：若表示试验中事件包含的基本事件的个数，则【应用场景】（1）注意：利用定义求条件概率时，事件与事件有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清的求法（2）当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，即，2.常见分布的数学期望和方差典型分布数字特征两点分布：，成功概率为二项分布：超几何分布：数学期望方差3.二项分布概率的最值下图是不同参数的二项分布的图象图1不同参数下的二项分布的图象从图1中可以看出，对于固定的及，当增加时，概率先是单调递增到最大值，随后单调减少可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且： （1）当不为整数时，概率在时达到最大值；（2）当为整数时，概率在和同时达到最大值注：为取整函数，即为不超过的最大整数