不等式证明中的放缩技巧 讲义——2022届高三数学三轮冲刺专练 WORD版含解析.docx

1、1,已知函数，在处的切线方程为.（1）求；（2）若，证明：.【解析】（1），；（2）由（1）可知，由，可得， 令，则，当时，当时，设，则，故函数在上单调递增，又，所以当时，当时， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，即.故.【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.2,已知函数.（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：【解析】（1）； （2）设数列的前项的和分别为，则由于，解得；同理，所以只需证明.由（1）知时，有，即. 令，则， 所以，所以；再证明，亦即，因为，所以只需证， 现证明

2、.令，则，所以函数在上单调递减，所以当时，恒成立，令，则， 综上，所以对数列分别求前项的和，得.【思路总结】待证数列不等式的一端是项之和（或积）的结构，另一端含有变量时，可以将它们分别视为两个数列的前项的和（或积），从而将不等式的证明转化为两个数列的对应项之间的大小关系的证明.3,已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明：当时，都有.【解析】（1），令，则，当时，所以，当时，所以，所以函数在上单调递增，在上单调递减；（2）要证明，即证，令，则， 当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以.要证，只需再证即可.易证，当且仅当时取等号（证明略），所以，综上所述，当时，都有.4, 数列

3、an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，并证明：.(1)证明an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)解由(1)知2n1，Snn2，.证明：1.5, (1)已知数列an的通项为an=(-1)n(4n-3),求数列an的前50项和.(2)正项数列an的前n项和Sn满足Sn2-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.求数列an的通项公式an;令bn=n+1(n+2)2an2,数列bn的前n项和为Tn.证明:对于任意的nN*,都有Tn0,Sn=n2+n,于是a1=S1=2.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-

4、1)=2n.综上,数列an的通项公式为an=2n.由于an=2n,故bn=n+1(n+2)2an2=n+1(n+2)24n2=1161n2-1(n+2)2.则Tn=1161-132+122-142+132-152+1(n-1)2-1(n+1)2+1n2-1(n+2)2=1161+122-1(n+1)2-1(n+2)21161+122=564.即对任意的nN*,都有Tn564.6, 已知数列an的首项为a1=1,且满足对任意的nN*,都有an+1-an2n,an+2-an32n成立,则a2018=().A.22018-1B.22018+1 C.22019-1D.22019+1【解析】an+1-a

5、n2n,an+2-an+12n+1,两式相加,可得an+2-an2n+1+2n=32n.又an+2-an32n,an+2-an=32n且an+1-an=2n,当n2时,an=(an-an-1)+(a2-a1)+a1=2n-1+21+1=1(2n-1)2-1=2n-1,a2018=22018-1,故选A.【答案】A7, 已知数列an满足an0,a1=13,an-1-an=2anan-1(n2,nN*).(1)求证:1an是等差数列.(2)求证:a12+a22+an214.【解析】(1)an-1-an=2anan-1(n2),1an-1an-1=2(n2),1an是以3为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,1an=3+(n-1)2=2n+1,an=12n+1,an2=1(2n+1)214n2+4n=14n(n+1)=141n-1n+1,a12+a22+an21411-12+1412-13+141n-1n+1=1411-12+12-13+1n-1n+1=141-1n+114.