专题01辅助圆定点定长（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

1、专题01 辅助圆定点定长（知识解读）【专题说明】 最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值。初中阶段动点的运动轨迹主要是“一条直线”或“圆”。在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题。【方法技巧】模型一：定点定长作圆点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。模型一：点圆最值已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离为d，O半径为r.位置关系点D在O内点D在O上点D在O外图示DE的最大值dr2rdr此时点E

2、的位置连接DO并延长交O于点EDE的最小值rd0dr此时点E的位置连接OD并延长交O于点E点E与点D重合连接OD交O于点E【典例分析】【典例1】如图，在四边形ABCD中，ABACAD，CAD2BAC，若BCD105，则BDC 版权所【变式1】如图，在四边形ABCD中，90BAD180，ABACAD，请画出满足条件时点C的轨迹【典例2】如图，在ABC中，点D是边BC的中点，点E是边AC上的任意一点（点E不与点C重合），沿DE翻折DCE使点C落在点F处，请画出点F的轨迹【变式2】如图，在ABCD中，AEBC于点E，将AEB绕点B顺时针旋转，使AB与边BC重合，得到MNB，请画出在旋转过程中点M的运

3、动轨迹【典例3】如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，F是线面BC边上的动点，将沿EF所在的直线折叠得到，连接，求的最小值。 【变式3-1】（2019锦州）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将AMN沿MN所在直线折叠，得到AMN，连接AC，则AC的最小值是 【变式3-2】如图，矩形ABCD中，AB4，BC8，P是直线AB上的一个动点，AE2，APE沿PE翻折形成FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是 ，点F到线段BC的最短距离是 【典例4】（2021秋邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点

4、，且满足ACB90，D为直线yx上的动点，则线段CD长的最小值为（）A1B2CD【变式4-1】（2021秋武江区校级期末）如图，M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是M上的任意一点，PAPB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 【变式4-2】（2021秋萨尔图区校级期末）如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 专题01 辅助圆定点定长（知识解读）【专题说明】 最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值。初中阶段动点的运动轨迹

5、主要是“一条直线”或“圆”。在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题。【方法技巧】模型一：定点定长作圆点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。模型一：点圆最值已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离为d，O半径为r.位置关系点D在O内点D在O上点D在O外图示DE的最大值dr2rdr此时点E的位置连接DO并延长交O于点EDE的最小值rd0dr此时点E的位置连接OD并延长交O于点E点E与点D重合连接OD交O于点E【典例分析】【典例

6、1】如图，在四边形ABCD中，ABACAD，CAD2BAC，若BCD105，则BDC 版权所有【解答】解：以A为圆心，AB为半径画圆，CAD2CBD，BAC2BDC，CAD2BAC，CBD2BDC，CBD+BDC+BCD180，3CBD+105180，CBD25故答案为：25 【变式1】如图，在四边形ABCD中，90BAD180，ABACAD，请画出满足条件时点C的轨迹【解答】解：ABACAD，点C在以A为圆心，AB为半径的圆上运动，四边形ABCD中，90BAD180，点C的运动轨迹为（不与B、D重合）【典例2】如图，在ABC中，点D是边BC的中点，点E是边AC上的任意一点（点E不与点C重合）

7、，沿DE翻折DCE使点C落在点F处，请画出点F的轨迹版权所有【解答】解：DFDC，则点F在以点D为圆心DC为半径的圆上运动，当点E与A重合时，AD与D交于Q，则即为点F的运动轨迹FDECDECDA，则轨迹为优弧MQC，满足MDACDA，此时点F的轨迹为【变式2】如图，在ABCD中，AEBC于点E，将AEB绕点B顺时针旋转，使AB与边BC重合，得到MNB，请画出在旋转过程中点M的运动轨迹【解答】解：如图，弧AM即为所求【典例3】如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，F是线面BC边上的动点，将沿EF所在的直线折叠得到，连接，求的最小值。解：如图，点E为圆心，为半径作圆， 当点E，D三点共线时的

8、值最小。 ， ， 【变式3-1】（2019锦州）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将AMN沿MN所在直线折叠，得到AMN，连接AC，则AC的最小值是 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质版权所有【解答】解：四边形ABCD是矩形ABCD3，BCAD2，M是AD边的中点，AMMD1将AMN沿MN所在直线折叠，AMAM1点A在以点M为圆心，AM为半径的圆上，如图，当点A在线段MC上时，AC有最小值，MCAC的最小值MCMA1故答案为：1【变式3-2】如图，矩形ABCD中，AB4，BC8，P是直线AB上的一个动点，AE2，APE沿PE翻折形成FPE，连接

9、PF、EF，则FC的最小值是 ，点F到线段BC的最短距离是 【解答】解：连接CE，作EGBC于G，AEEF2，点F在以E为圆心，AE为半径的圆上运动，在RtCDE中，由勾股定理得，CE2，FC的最小值为CE222，DABABCBGE90，四边形ABGE是矩形，EGAB4，点F到线段BC的最短距离是2，故答案为：22，2【典例4】（2021秋邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足ACB90，D为直线yx上的动点，则线段CD长的最小值为（）A1B2CD【解答】解：ACB90，点C在以AB为直径的圆上，AB为直径的圆的圆心为E点，如图，

10、连接DE交E于C，A（1，0），B（3，0），AB2，AE1，DCDECE（当且仅当D、C、E共线时取等号）即DCDE1，DE直线yx时，DE最短，DE的最小值为OE，线段CD长的最小值为1故选：C【变式4-1】（2021秋武江区校级期末）如图，M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是M上的任意一点，PAPB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 【解答】解：连接OP，PAPB，APB90，AOBO，AB2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交M于点P，当点P位于P位置时，OP取得最小值，过点M作MQx轴于点Q，则OQ5，MQ12，OM13，又MP4，OP9，AB2OP18，故答案是：18【变式4-2】（2021秋萨尔图区校级期末）如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 【解答】解：C为坐标平面内一点，BC2，点C的运动轨迹是在半径为2的B上，如图，取ODOA4，连接OD，点M为线段AC的中点，OM是ACD的中位线，OM，OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，此时在RtOBD中，BD4，CD2+4，OM的最大值是1+2故答案为：1+2