专题01 二次函数压轴题-线段周长面积最大值（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

1、专题01 线段周长面积最大值（知识解读）【专题说明】 从近几年的各地中考试卷来看，求线段、周长面积的最大问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。这个专题为同学们介绍解题方法，供同学们参考。【方法点拨】考点1：线段、周长最大问题考点2 ：面积最大问题（1）铅锤法（1）求 A、B 两点水平距离，即水平宽； （2）过点 C 作 x 轴垂线与 AB 交于点 D，可得点 D 横坐标同点 C； （3）求直线 AB 解析式并代入点 D 横坐标，得点 D 纵坐标； （4）根据 C、D 坐标求得铅垂高（5）（2）面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等如图2，同底三角形的面积比等

2、于高的比如图3，同高三角形的面积比等于底的比 如图1 如图2 如图3（3） 利用相似性质利用相似图形，面积比等于相似比的平方。【典例分析】【考点1 线段最大值问题】【典例1】（盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+4交y轴于点C，交x轴于A、B两点，A（2，0），a+b，点M是抛物线上的动点，点M在顶点和B点之间运动（不包括顶点和B点），MEy轴，交直线BC于点E（1）求抛物线的解析式；（2）求线段ME的最大值；【变式1-1】（2022春丰城市校级期末）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二

3、次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与BC交于点M，连接PC求线段PM的最大值；【变式1-2】（2021柳南区校级模拟）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线yx+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不

4、存在，请说明理由？【典例2】（2022澄海区模拟）如图，抛物线yax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x1点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PMx轴，交抛物线于点P，交BC于点Q（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）过点P作PNBC，垂足为点N求线段PN的最大值；【变式2】（2022广元）在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yax2+bx+c（a0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动

5、点，过点Q作QDAB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值【考点2 周长最大值问题】【典例3】（2022春衡阳期中）如图，直线yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yax2+x+c经过A、B两点（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作EDAB，交AB于点D，作EFAC，交AC于点F，交AB于点M，求DEM的周长的最大值；【变式3】（2022春北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yax2+bx+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，一次函数yx1交抛物线于A，D两点，其中点D（

6、3，4）（1）求抛物线C1的解析式；（2）点G为抛物线上一点，且在线段BC上方，过点G作GHy轴交BC于H，交x轴于点N，作GMBC于点M，求GHM周长的最大值；【考点3 面积最大值问题】【典例4】（2021秋龙江县校级期末）综合与探究如图，已知抛物线yax2+bx+4经过A（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C（1）求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是 （，）；（3）点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出BCQ面积的最大值【变式4-1】（2022春南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线

7、yax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC3（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的最大值，以及此时点P的坐标；【变式4-2】（2022东方二模）如图，抛物线yx2+bx+c经过B（3，0）、C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线BC的下方运动时，求CBE的面积的最大值；【典例5】（聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（2，0），点B（4，0），与y轴

8、交于点C（0，8），连接BC又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E（1）求抛物线的表达式；（2）作PFBC，垂足为F，当直线l运动时，求RtPFD面积的最大值【变式5】（2022广东）如图，抛物线yx2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB4，点P为线段AB上的动点，过P作PQBC交AC于点Q（1）求该抛物线的解析式；（2）求CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标专题01 线段周长面积最大值（知识解读）【专题说明】 从近几年的各地中考试卷来看，求线段、周长面积的最

9、大问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。这个专题为同学们介绍解题方法，供同学们参考。【方法点拨】考点1：线段、周长最大问题考点2 ：面积最大问题（1）铅锤法（1）求 A、B 两点水平距离，即水平宽； （2）过点 C 作 x 轴垂线与 AB 交于点 D，可得点 D 横坐标同点 C； （3）求直线 AB 解析式并代入点 D 横坐标，得点 D 纵坐标； （4）根据 C、D 坐标求得铅垂高（5）（2）面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等如图2，同底三角形的面积比等于高的比如图3，同高三角形的面积比等于底的比 如图1 如图2 如图3（3） 利用相似性质利用相似图形，

10、面积比等于相似比的平方。【典例分析】【考点1 线段最大值问题】【典例1】（盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+4交y轴于点C，交x轴于A、B两点，A（2，0），a+b，点M是抛物线上的动点，点M在顶点和B点之间运动（不包括顶点和B点），MEy轴，交直线BC于点E（1）求抛物线的解析式；（2）求线段ME的最大值；【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：04a2b+4，则，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+x+4；（2）yx2+x+4，令x0，则y4，令y0，则x4或2，故点A、B、C的坐标分别为：（2，0）、（4，0）、（0，4），设直线BC的表达式为：ykx+b，

11、则，解得：，故直线BC的表达式为：yx+4，设点M（x，x2+x+4），则点E（x，x+4），则ME（x2+x+4）（x4）x2+2x，故ME有最大值，当x2时，ME的最大值为2；【变式1-1】（2022春丰城市校级期末）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与BC交于点M，连接PC求线段PM的最大值；【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，解得，这个二次函数的表达式yx22x3；（2）设BC的解析式为ykx+b，将

12、B，C的坐标代入函数解析式得，解得，BC的解析式为yx3，设M（n，n3），P（n，n22n3），PM（n3）（n22n3）n2+3n（n）2+，当n时，PM最大，线段PM的最大值；【变式1-2】（2021柳南区校级模拟）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线yx+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；线段PE的长h是

13、否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？【解答】解：（1）点A（3，4）在直线yx+m上，43+mm1设所求二次函数的关系式为ya（x1）2点A（3，4）在二次函数ya（x1）2的图象上，4a（31）2，a1所求二次函数的关系式为y（x1）2即yx22x+1（2）设P、E两点的纵坐标分别为yP和yEPEhyPyE（x+1）（x22x+1）x2+3x即hx2+3x（0x3）存在h（x）2+，又a10，x时，h的值最大，最大值为【典例2】（2022澄海区模拟）如图，抛物线yax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（1，0），点C坐标为（0，3）

14、，对称轴为x1点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PMx轴，交抛物线于点P，交BC于点Q（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）过点P作PNBC，垂足为点N求线段PN的最大值；【解答】解：（1）抛物线对称轴为x1，点B与A（1，0）关于直线x1对称，B（3，0），设ya（x3）（x+1），把C（0，3）代入得：3a3，解得：a1，y（x3）（x+1）x2+2x+3，设直线BC的解析式为ykx+d，则，解得：，直线BC的解析式为yx+3，故抛物线解析式为yx2+2x+3，直线BC的解析式为yx+3；（2）设P（t，t2+2t+3），则Q（t，t+3），PQt2+2t+3（t+3

15、）t2+3t，OBOC3，BOC90，BCO45，PQx轴，PQy轴，PQNBCO45，PNBC，PNPQsinPQN（t2+3t）sin45（t）2+，0，当t时，PN的最大值为；【变式2】（2022广元）在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yax2+bx+c（a0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QDAB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值【解答】解：（1）直线yx2中，当x0时，y2，B（0，2），当y0时，x20，x2，A（2，

16、0），将A（2，0），B（0，2）代入抛物线yax2+bx+c（a0）中，得，2ab1，c2；（2）当a1时，21b1，b1，yx2+x2，A（2，0），B（0，2），C（1，0），OAOB，AOB是等腰直角三角形，OAB45，如图2，过点Q作QFx轴于F，交AB于E，则EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m2），则E（m，m2），QE（m2）（m2+m2）m22m（m+1）2+1，QDQE（m+1）2+，当m1时，QD有最大值是，当m1时，y1122，综上，点Q的坐标为（1，2）时，QD有最大值是【考点2 周长最大值问题】【典例3】（2022春衡阳期中）如图，直线yx+3与x轴交于点A，

17、与y轴交于点B，抛物线yax2+x+c经过A、B两点（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作EDAB，交AB于点D，作EFAC，交AC于点F，交AB于点M，求DEM的周长的最大值；【解答】解：（1）直线yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，A（4，0），B（0，3）抛物线yax2+x+c经过A、B两点，解得二次函数的解析式为：yx2+x+3（2）A（4，0），B（0，3）OA4，OB3，AB5EDAB，EDMAOB90，DEM+EMDFMA+BAO90，FMAEMD，DEMBAO，AOBEDM，AO：OB：ABED：DM：EM4：3：

18、5，设E的横坐标为t，则E（t，t2+t+3），M（t，t+3），EMt2+t+3（t+3）t2+tDEM的周长为：ED+DM+EMEM（t2）2+，当t2时，DEM的周长的最大值为【变式3】（2022春北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yax2+bx+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，一次函数yx1交抛物线于A，D两点，其中点D（3，4）（1）求抛物线C1的解析式；（2）点G为抛物线上一点，且在线段BC上方，过点G作GHy轴交BC于H，交x轴于点N，作GMBC于点M，求GHM周长的最大值；【解答】解：（1）一次函数yx1交抛物线于A点，且点A在x轴上

19、，A（1，0）；将A（1，0）和D（3，4）代入抛物线C1：yax2+bx+2，解得，抛物线C1：yx2+x+2（2）由（1）知抛物线C1：yx2+x+2令y0，解得x1或x2，B（2，0）；令x0，则y2，C（0，2）OBOC2，直线BC的解析式为：yx+2；OBC是等腰直角三角形，且OBCOCB45；GHy轴，GNB90，BHN45，GMBC，GMH90，MGHGHM45，GMMHGH；设点G的横坐标为t，则G（t，t2+t+2），H（t，t+2），GHt2+2t（t1）2+110，当t1时，GH有最大值1；GHM的周长为：GM+MH+GH（+1）GH，GHM周长的最大值为+1【考点3 面

20、积最大值问题】【典例4】（2021秋龙江县校级期末）综合与探究如图，已知抛物线yax2+bx+4经过A（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C（1）求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是 （，）；（3）点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出BCQ面积的最大值【解答】解：（1）把A（1，0），B（4，0）代入yax2+bx+4，得到，解得，yx2+3x+4；在yx2+3x+4中，令x0，则y4，C（0，4），设BC的解析式为ykx+b，B（4，0），C（0，4），直线BC的解析式为yx+4；（2）如

21、图1中，由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x对称，连接BC交直线x于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长4，直线BC的解析式为yx+4，x时，y+4，此时P（，）故答案为：（，）；（3）设Q（m，m2+3m+4）过Q作QDx轴，交BC于点D，则D（m，m+4），QD（m2+3m+4）（m+4）m2+4m，B（4，0），OB4，当m2时，SBCQ取最大值，最大值为8，BCQ面积的最大值为8；【变式4-1】（2022春南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC3（1）求该抛物线的解析式；（2）点P

22、为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的最大值，以及此时点P的坐标；【解答】解：（1）OC3，C（0，3），将点A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入yax2+bx+c，得，解得，yx22x3；（2）S四边形PCABSABC+SPBC，当SPBC面积最大时，S四边形PCAB的面积最大，设BC的直线解析式ykx+b，解得，yx3，过点P作PQx轴交BC于点Q，设P（t，t22t3），则Q（t，t3），当PQ最大时，SPBC面积最大，PQt3t2+2t+3t2+3t（t）2+，当t时，PQ取最大值，P（，），A（1，0），B（3，0），C（0，3），

23、AB4，S四边形PCABSABC+SPBC43+3；【变式4-2】（2022东方二模）如图，抛物线yx2+bx+c经过B（3，0）、C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线BC的下方运动时，求CBE的面积的最大值；【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入yx2+bx+c得：，解得，抛物线的解析式为yx22x3；（2）连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设直线BC的解析式为ykx+m，将B，C两点的坐标代入得：，解得：，直线BC的解解析式为yx3，设点F（x，x3）

24、，点E（x，x22x3），EF（x3x2+2x+3）x2+3x，SCBESCEF+SBEFEFOB（x2+3x）（x）2+，a0，且0x3，当x时，SCBE有最大值，最大值是，此时E点坐标为（，）；【典例5】（聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E（1）求抛物线的表达式；（2）作PFBC，垂足为F，当直线l运动时，求RtPFD面积的最大值【答案】（1）yx2+2x+8 （

25、2）【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+2x+8；（2）在RtPFD中，PFDCOB90，ly轴，PDFOCB，RtPFDRtBCO，SPDFSBOC，而SBOCOBOC16，BC4，SPDFSBOCPD2，即当PD取得最大值时，SPDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y2x+8，设点P（m，m2+2m+8），则点D（m，2m+8），则PDm2+2m+8+2m8（m2）2+4，当m2时，PD的最大值为4，故当PD4时，SPDFPD2【变式5】（2022广东）如图，抛物线yx2+bx+c（b，c是常数）

26、的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB4，点P为线段AB上的动点，过P作PQBC交AC于点Q（1）求该抛物线的解析式；（2）求CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标【解答】（1）抛物线yx2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB4，B（3，0），解得，抛物线的解析式为yx2+2x3；（2）过Q作QEx轴于E，过C作CFx轴于F，设P（m，0），则PA1m，yx2+2x3（x+1）24，C（1，4），CF4，PQBC，PQABCA，即，QE1m，SCPQSPCASPQAPACFPAQE（1m）4（1m）（1m）（m+1）2+2，3m1，当m1时 SCPQ有最大值2，CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（1，0）