专题01 全等模型-倍长中线与截长补短（原卷版）.docx

1、专题01 全等模型-倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点

2、E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；2、中点型:如图2，为的中点.证明思路：若延长至点，使得，连结，则;若延长至点，使得，连结，则.3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点.证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则.1（2022山东烟台一模）（1）方法呈现：如图：在中，若，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点

3、E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明2（2022河南南阳中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：证明（已知），（两直线平行，内错角相等）在与中，（已证），（已知），（全等三角形的对应边相等）（1）【方法应用】如图，在中，则BC边上的中线AD长度的取值范围是_（2）【猜想证明】如图，在四边形ABCD中，点E

4、是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，若，求出线段DF的长3（2022河北中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证： 简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，

5、求证：（2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，若，求的长（3）如图（5），是的中线，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ 模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。【常见模型及证法】（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。例：如图，求证BE+DC=AD 方法：在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF

6、=DC；在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等例：如图，求证BE+DC=AD方法：延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE1（2022安徽淮南八年级期中）利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍（1）尺规作图：作的平分线 【模型构造】（2）填空：如图在中，是的角平分线，则_（填“”、“”或“”）方法一：巧翻折，造全等在上截取，连接，则如图，在四边形中，和的平分线，交于点若，则点到的距离是_方法二：构距离，造全等过点作，垂足为点，则【模型应用】（3）如图，在中，是的两条角平分线，且，交于点请直接

7、写出_；试猜想与之间的数量关系，并说明理由2（2022河南模拟预测）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF=60，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系某同学做了如下探究，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应该是_（2）如图，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E、F分别是BC、CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出正确的结论，并说明理由（3）如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处

8、）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离 3（2022辽宁大连八年级期末）已知点D是ABC外一点，连接AD，BD，CD，(1)【特例体验】如图1，ABBC，60，则ADB的度数为 ；(2)【类比探究】如图2，ABBC，求证：ADBBDC；(3)【拓展迁移】如图3，60，ACB+BCD180，CEBD于点E，ACkDE，直接写出的值（用k的

9、代数式表示）课后专项训练：1（2022四川成都八年级期中）如图中，点为的中点，则的面积是_2（2022北京中考真题）在中，D为内一点，连接，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，若，求证：；(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明3（2022内蒙古中考真题）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点求证（提示：取的中点，连接）。(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；(2)如图1，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变求证：；(3)在（2）的条件下，

10、连接，过点作，垂足为设，当为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明 4（2022江苏九年级期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，ABC中，若AB8，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DEAD，连接BE请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到ADCEDB，依据是 ASAS；B. SSS；C. AAS；D. HL(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中(3)【初

11、步运用】如图，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且ACBF求证AEFE(4)【灵活运用】如图，在ABC中，A90，D为BC中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论5（2022山东九年级专题练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE 根据_可以判定 _，得出_这样就能把线段AB、AC、集中在中利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值

12、范围是【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可考虑做“辅助线”把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法【问题解决】（2）如图2，在中，D是BC边的中点，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：【问题拓展】（3）如图3，中，AD是的中线，且直接写出AE的长_6（2022浙江台州八年级阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧(1)【阅读理解】如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围小聪同学是这样思考的：延长至E，使，连接利用全等将边转化到，在中利用三

13、角形三边关系即可求出中线的取值范围在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_；中线的取值范围是_(2)【理解与应用】如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若求证：(3)【问题解决】如图3，在中，点D是的中点，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由7（2022山东临沂八年级期末）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，BAD，BCD180，BD平分ABC如图1，若90，根据教材中一个重要性质直接可得ADCD，这个性质是 ；在图2中，求证：ADCD；（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰ABC中，BAC100，BD平分ABC，求证BD+ADB

14、C8（2022北京九年级专题练习）如图，在三角形中，是边的高线，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F(1)依题意补全图形，写出_(2)求和的度数；(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明9（2022吉林公主岭市范家屯镇第二中学校九年级期末）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为_；如图3，当时，则长为_猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明10（2022湖北孝感八年级期中）（1）感知：如图1，AD平分BAC，B+C180，B90，易知DB，DC数量关系为： （2）探究：如图2，AD平分BAC，ABD+ACD180，ABD90，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DBDC，ABD+ACD180，ABD90，DEAB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由